【课件】4.5函数的应用（二）4.5.2 用二分法求方程的近似解 高中数学-RJA-必修第一册(共22张PPT)

(共22张PPT)
数学-RJ·A-必修第一册
4.5　函数的应用（二）
4.5.2 用二分法求方程的近似解
第四章 指数函数与对数函数
学习目标
1.了解二分法求方程近似解的原理，能借助计算器用二分法求函数零点的近似值.
2.根据具体函数的图象，能够用二分法求相应方程的近似值.
重点：用二分法求函数零点的近似值.
难点：对二分法的理解.
知识梳理
对于在区间［a，b］上图象连续不断且f（a）f（b）<0的函数y＝f（x），通过不断地把它的零点所在区间 ，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法.
一、二分法的概念
一分为二
二、用二分法求函数的零点的近似值
给定精确度ε，且二分法求函数y＝f（x）零点x0的近似值的一般步骤如下：
1.确定零点x0的初始区间［a，b］，验证f（a）f（b）<0.
2.求区间（a，b）的中点c.
为了刻画与准确值的接近程度，这里给出了精确度ε，由|a-b|<ε可知，区间［a，b］中任意一个值都是零点x0满足精确度ε的近似值.
3.计算f（c），并进一步确定零点所在的区间：
（1）若f（c）＝0（此时x0＝c），则c就是函数的零点；
（2）若f（a）f（c）<0（此时x0∈（a，c）），则令b＝c；
（3）若f（c）f（b）<0（此时x0∈（c，b）），则令a＝c.
4.判断是否达到精确度ε：若|a-b|<ε，则得到零点近似值a（或b）；否则重复步骤2~4.
常考题型
例1 （1）已知函数y＝f（x）的图象如图所示，则y＝f（x）零点的个数与可以用二分法求解的零点的个数分别为（　　）
A.4，4 B.3，4 C.5，4 D.4，3
（2）用二分法求方程x3-2x-5＝0在区间（1，3）内的根，取区间的中点x0＝2，那么根所在的下一个区间是　　　.
一、二分法求方程近似解的条件判断
【解析】　（1）函数y＝f（x）的图象与x轴有4个交点，所以y＝f（x）零点的个数为4；左、右函数值异号的零点有3个，所以可以用二分法求解的零点个数为3.
（2）设f（x）＝x3-2x-5，则f（1）＝1-2-5＝-6<0， f（2）＝8-4-5＝-1<0，
f（3）＝27-6-5＝16>0，故f（x）的零点所在的区间为（2，3），即方程x3-2x-5＝0的根所在区间是（2，3）.
【答案】　（1）D　（2）（2，3）
◆用二分法求方程近似解的适用条件
1.依据函数零点存在定理，二分法求函数零点的近似解仅适用于变号零点，即函数存在零点，且零点两侧函数值异号.
2.在零点两侧函数值同号的函数，不能用二分法求相应方程的近似解.
3.从图象上看，利用二分法求函数的零点必须满足两个条件：
（1）函数的图象连续；
（2） 函数的图象在x轴上方、下方都有图象.
2.［2019·河南省灵宝市实验中学高一检测］下列图象表示的函数能用二分法求零点的是（　　）
B
A. B. C. D.
训练题
1.［2020·江苏扬州高一期末］下列函数中，不能用二分法求函数零点的是（　）
A.f（x）＝2x-1 B.f（x）＝x2-2x+1 C.f（x）＝log2x D.f（x）＝ex-2
C
3.［2019·宁夏大学附属中学高一月考］用“二分法”求方程x3-2x-5＝0在区间［2，3］内的实根，取区间中点为x0＝2.5，那么下一个有根的区间是　　　　　　.
4.［2019·云南曲靖会一中高一检测］用二分法求函数f（x）＝ln（x+1）+x-1在区间［0，1］上的零点，要求精确度为0.01时，所需二分区间次数最少为 （　　）
A.5 B.6 C.7 D.8
C
5.［2020·太原高一检测］根据下表，用二分法求函数f（x）＝x3-3x+1在区间（1，2）上的零点的近似值（精确度为0.1）是 （　　）
f（1）＝-1 f（2）＝3 f（1.5）＝-0.125
f（1.75）＝1.109 375 f（1.625）＝0.416 015 625 f（1.562 5）＝0.127 197 266
A.1.75 B.1.625 C.0.127 197 266 D.1.562 5
D
二、用二分法求方程的近似解、二分法的实际应用
例2 ［2020·上海华东师范大学第二附属中学高一月考］借助计算器用二分法求方程2x+ 3x＝7的近似解x＝　　　　 （精确到0.01）.
【解析】令f（x）＝2x+3x-7，∵ f（1）＝2+3-7<0，f（2）＝4+6-7>0，
∴ f（x）＝0的解在区间（1，2）上，
区间 中点值 中点函数值
（1，2） 1.5 0.328 427
（1，1.5） 1.25 -0.871 59
（1.25，1.5） 1.375 -0.281 32
（1.375，1.5） 1.437 5 0.021 011
（1.375，1.437 5） 1.406 25 -0.130 777
（1.406 25，1.437 5） 1.421 875 -0.055 040
（1.421 875，1.437 5） 1.429 687 5 -0.017 054
（1.429 687 5，1.437 5） 1.433 593 75 -0.001 969
∴ f（x）＝0的解在区间（1.429 687 5，1.437 5）上，二分法求方程2x+3x＝7的近似解x0＝1.43，故答案为1.43.
【答案】　1.43
◆用二分法求方程的近似解的解题思路
1.构造函数：对于求形如f（x）＝g（x）的方程的近似解，可以通过移项转化成求形如f（x）-g（x）＝0的方程的近似解，然后按照用二分法求函数F（x）＝f （x）
g（x）零点近似值的步骤求解；
2.定初始区间：作出函数图象，依据图象确定出方程的根所在的大致区间，通常限定在（n，n+1），n∈Z；
3.利用二分法求出满足精确度的方程的根所在的区间M；
4.在区间M内的任一实数均是方程的近似解，通常取M的一个端点作为近似解.
◆二分法求方程的近似解的一般步骤
给定精确度ε，用二分法求函数f（x）零点近似值的步骤如下：
1.确定区间［a，b］，验证f（a）·f（b）< 0，给定精确度ε.2.求区间（a，b）的中点c.
3.计算f（x）.
（1）若f（c）＝0，则c就是函数的零点.
（2）若f（a）·f（c）<0，则令b＝c（此时零点x0∈（a，c））.
（3）若f（c）·f（b）<0，则令a＝c（此时零点x0∈（c，d））.
4.判断是否达到精确度ε，即若|a-b|<ε，则得到零点近似值a（或b）；否则重复步骤
（2）-（4）.
【记忆口诀】二分法求函数零点一般步骤的记忆口诀：
定区间，找中点，中值计算两边看. 同号丢，异号算，零点落在异号间.
重复做，何时止，精确度来把关口.
训练题 1.［2020·河南高一检测］某同学用二分法求方程3x+3x-8＝0在x∈（1，2）内近似解的过程中，设f（x）＝3x+3x-8，且计算得f（1）<0，f（2）>0，f（1.5）>0，则该同学在第二次应计算的函数值为 （　　）
A. f（0.5） B. f（1.125） C. f（1.25） D. f（1.75）
2.［2020·安徽屯溪一中高一检测］若函数f（x）＝log3x+x-3的一个零点附近
的函数值用二分法逐次计算的参考数据如下：
f（2）＝-0.369 1 f（2.5）＝0.334 0
f（2.25）＝-0.011 9 f（2.375）＝0.162 4
f（2.312 5）＝0.0756 f（2.281 25）＝0.031 9
那么方程log3x+x-3＝0的一个近似根（精确度为0.1）为 （　　）
A.2.1 B.2.2 C.2.3 D.2.4
C
C
3.在一个风雨交加的夜里，从某水库闸门到防洪指挥部的电话线路发生了故障.这是一条长10 km的线路，电线杆的间距为100 m.请你设计一个方案，能够迅速查出故障所在.
解：如图所示.首先从AB线路的中点C开始检查，当用随身带的话机向两端测试时，若发现AC段正常，则判定故障在BC段；再到BC段中点D检查，这次若发现BD段正常，则故障出在CD段；再到CD段中点E来检查……每查一次，可以把待查的线路长度缩减一半.要把故障可能发生的范围缩小到100 m左右，查7次就可以了.
小结
1.二分法的概念
（1）二分法的依据是零点存在定理，仅适用于函数的变号零点（函数图象通过零点时函数值的符号变号，如求函数f（x）＝（x-1）2的零点近似值就不能用二分法）.
（2）二分法采用逐步逼近的思想，使函数零点所在的范围逐步缩小，也就是逐渐逼近函数的零点.要根据函数的性质尽可能地找到含有零点的更小的区间，当区间长度小到一定程度时，就得到近似值.
2. 用二分法求函数的零点的近似值
二分法求函数零点一般步骤的记忆口诀：
定区间，找中点，中值计算两边看.
同号丢，异号算，零点落在异号间.
重复做，何时止，精确度来把关口.
知易行难，重在行动
千里之行，始于足下
谢谢
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