【课件】4.5函数的应用（二）4.5.3 函数模型的应用 高中数学-RJ·A-必修第一册 (共41张PPT)

(共41张PPT)
数学-RJ·A-必修第一册
4.5　函数的应用（二）
4.5.3 函数模型的应用
第四章 指数函数与对数函数
学习目标
1.理解函数模型是描述客观世界中变量关系和规律的重要数学语言
和工具.
2.在实际情境中，会选择合适的函数模型刻画现实问题的变化规律.
重点：应用函数模型解决实际问题的方法与步骤.
难点：如何选择适当的函数模型分析和解决问题.
知识梳理
（1）一次函数模型：f（x）＝kx+b（k，b为常数，k≠0）.
正比例函数模型：f（x）＝kx（k为常数，k≠0）是一次函数的特殊情况.
（2）反比例函数模型：f（x）＝（k为常数，k≠0）.
（3）二次函数模型：f（x）＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）.
（4）指数型函数模型：f（x）＝abx+c（a，b，c为常数，a≠0，b＞0，b≠1）.
（5）对数型函数模型：f（x）＝mlogax+n（m，n，a为常数，m≠0，a＞0，a≠1）.
（6）幂型函数模型：f（x）＝axn+b（a，b，n为常数，a≠0，n≠1）.
（7）对勾函数模型：f（x）＝x+（k为常数，且k＞0）.
（8）分段函数模型：这个模型实质是以上两种或多种模型的综合，因此应用也十分广泛.
一、常见函数模型
二、建立函数模型解决实际问题
建立函数模型解决实际问题的基本思路
建立函数模型解决实际问题的解题步骤
第一步，审题，引进数学符号，建立数学模型.了解变量的含义，若模型中含有待定系数，则需要进一步用待定系数法或其他方法确定.
第二步，求解数学模型.利用数学知识，如函数的单调性、最值等，对函数模型进行解答.
第三步，转译成实际问题的解.
不同增长的函数模型的特点
一次函数模型的增长是匀速的；二次函数模型是对称的，一侧增，一侧减；指数型函数模型适合描述增长速度很快的变化规律；对数型函数模型比较适合描述增长速度平缓的变化规律；幂型函数模型介于指数型函数模型和对数型函数模型之间，适合描述不快不慢的变化规律.
常考题型
一、利用已知函数模型解决实际问题
1. 指数函数和对数函数模型
例1 ［2020·北京西城区高一期末］某池塘中原有一块浮草，浮草蔓延
后的面积y（平方米）与时间t（月）之间的函数关系式是y＝at-1（a>0
且a≠1），它的图象如图4-5-5所示，给出以下命题：①池塘中原有浮草的面积是0.5平方米；②第8个月浮草的面积超过60平方米；③浮草每月增加的面积都相等；④若浮草面积达到10平方米，20平方米，30平方米所经过的时间分别为t1，t2，t3，则2t2>t1+t3.其中正确命题的序号有　　　　.（注：请写出所有正确结论的序号）
【解题提示】　利用函数的图象求出函数的解析式，进一步利用函数关系式和函数的性质求出结果.
【解析】　浮草蔓延后的面积y（平方米）与时间t（月）之间的函数关系式是y＝at-1（a>0且a≠1），函数的图象经过点（2，2），所以2＝a2-1，解得a＝2.
①当t＝0时，y＝，故①正确.
②当t＝8时，y＝28-1＝27＝128>60，故②正确.
③当t＝1时，y＝1，增加0.5，当t＝2时，y＝2，增加1，故每月增加的面积不相等，故③错误.
④由函数的解析式得＝10，解得t1＝log210+1，同理t2＝log220+1，t3＝log230+1，所以2t2＝2log220+2＝log2400+2>t1+t3＝log2300+2，所以2t2>t1+t3，故④正确.
【答案】　①②④
◆利用已知函数模型解决实际问题的一般思路
（1）根据已知条件，利用待定系数法求出已知函数模型中的参数值；
（2）利用求得的函数模型解决实际问题.
◆指数型、对数型函数问题的类型及解法
1.指数型函数模型:y＝max（a>0且a≠1，m≠0），在实际问题中，有关人口增长，银行利率，细胞分裂等增长率问题都可用指数型函数模型来表示.
2.对数型函数模型:y＝mlogax+c（m≠0，a>0且a≠1），对数型函数模型一般给出函数解析式，然后利用对数的运算求解.
训练题
1.［2020·江苏苏州高一期末］安装了某种特殊装置的容器内有细沙10 cm3，
容器倒置后，细沙从容器内流出，t min后容器内剩余的细沙量为y＝101+at（单位：cm3），其中a为常数.经过4 min后，发现容器内还剩余5 cm3的沙子，再经过m min后，容器中的沙子剩余量为1.25 cm3，则m＝ （　　）
A.4 B.6 C.8 D.12
2.［2020·北京东城区高三期末］声音的等级f（x）（单位：dB）与声音强度x（单位：W/m2）满足f（x）＝10×lg. 喷气式飞机起飞时，声音的等级约为140 dB，一般说话时，声音的等级约为60 dB，那么喷气式飞机起飞时的声音强度约为一般说话时的声音强度的 （　　）
A.106倍 B.108倍 C.1010倍 D.1012倍
C
B
2.分段函数模型
例2 ［2017·上海宝山区高三期末］大中城市的有轨电车给市民出行带来便利. 已知某条线路通车后，电车的发车时间间隔t（单位：分钟）满足2≤t≤20，经市场调研测算，电车载客量与发车时间间隔t相关，当10≤t≤20时，电车为满载状态，载客量为400人，当2≤t<10时，载客量会减少，减少的人数与（10-t）的平方成正比，且发车时间间隔为2分钟时的载客量为272人.记电车载客量为p（t）.
（1）求p（t）的表达式，并求当发车时间间隔为6分钟时，电车的载客量；
（2）若该线路每分钟的净收益为Q＝-60（元），问当发车时间间隔为多少时，该线路每分钟的净收益最大？
◆分段函数模型的求解技巧
1.在求分段函数解析式时，应先确定函数分成几段，并抓住“分界点”，确保分界点“不重不漏”.
2.求函数值时，先确定自变量的值所属的区间，再代入；同样，已知函数值求解自变量的值时，每段都令y取已知函数值，解出相应x的值，再判断该值是否属于此段自变量所在区间.
◆应用分段函数时的三个注意点
1.分段函数的“段”一定要分的合理，不重不漏.
2.分段函数的定义域为对应每一段自变量取值范围的并集.
3.分段函数值域的求法：
逐段求函数值的范围，比较后再下结论.
训练题
［2019·广东中山一中高一月考］某公司计划在报刊与网络媒体上共投放30万元的广告费，根据计划，报刊与网络媒体至少要投资4万元.根据市场前期调研可知，在报刊上投放广告的收益P与广告费x满足P＝- 4，在网络媒体上投放广告的收益Q与广告费x满足Q＝x+2，设在报刊上投放的广告费为x（单位：万元），总收益为f（x）（单位：万元）.
（1）当在报刊上投放的广告费是18万元时，求公司的总收益.
（2）试问如何安排报刊、网络媒体的广告投资费，才能使总收益最大？
二、构建函数模型解决实际问题
例3 ［2020·江苏盐城大丰区新丰中学高一期末］某企业为打入国际市场，决定从A，B两种产品中只选择一种进行投资生产.已知投资生产这两种产品的有关数据如下表：（单位：万美元）
项目类别 年固定成本 每件产品成本 每件产品销售价 每年最多可生产的件数
A产品 20 m 10 200
B产品 40 8 18 120
其中年固定成本与年生产的件数无关，m为待定常数，其值由生产A产品的原材料价格决定，预计m∈［6，8］.另外，年销售x件B产品时需上交0.05x2万美元的特别关税.假设生产出来的产品都能在当年销售出去.
（1）写出该厂分别投资生产A，B两种产品的年利润y1，y2与生产相应产品的件数x之间的函数关系，并指明其定义域.
（2）如何投资才可获得最大年利润？请你做出规划.
【解】（1）设年销售量为x件，按利润的计算公式，生产A，B两种产品的年利润y1，y2分别为y1＝10x-（20+mx）＝（10-m）x-20，0≤x≤200，且x∈；
y2＝18x-（40+8x）-0.05x2＝-0.05x2+10x-40＝-0.05（x-100）2+460，0≤x≤120，且x∈.
（2）因为6≤m≤8，所以10-m>0，所以y1＝（10-m）x-20为增函数.
又0≤x≤200，且x∈，所以当x＝200时，生产A产品有最大年利润，为（10-m）× 200-20＝1 980-200m（万美元）.
又y2＝-0.05（x-100）2+460，0≤x≤120，且x∈，
所以当x＝100时，生产B产品有最大年利润，为460万美元.
（y1）max-（y2）max＝（1 980-200m）-460＝1 520-200m.
令1 520-200m>0，得6≤m<7.6；令1 520-200m＝0，得m＝7.6；
令1 520-200m<0，得7.6综上可得，当6≤m<7.6时，投资生产A产品200件获得最大年利润；
当7.6◆建立函数模型解决实际问题的步骤
1.审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系.
2.建模：将文字语言转化成数学语言.
3.求模：求解数学模型，得到数学结论.
4.还原：将用数学方法得到的结论还原为实际问题的结论.
用框图表示如下：
训练题
［2020·江苏高一期末］某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入，若该公司2017年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是 （　　 ）
（参考数据：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg 2≈0.30）
A.2020年 B.2021年 C.2022年 D.2023年
B
2. 拟合函数模型解决实际问题
例4 ［2019·山东滨州高一期末］某种蔬菜从1月1日起开始上市，通过市场
调查，得到该蔬菜种植成本Q（单位：元/10 kg）与上市时间t（单位：10天）
的数据如下表：
时间t 5 11 25
种植成本Q 15 10.8 15
（1）根据上表数据，从下列函数：Q＝at+b，Q＝at2+bt+c，Q＝a·bt，Q＝a·logbt中
（其中a≠0），选取一个合适的函数模型描述该蔬菜种植成本Q与上市时间t的变化
关系；
（2）利用你选取的函数模型，求该蔬菜种植成本最低时的上市时间及最低种植成本.
【解】（1）以上市时间t（单位：10天）为横坐标，以种植成本Q（单位：元/10 kg）为纵坐标，画出散点图（如图所示）.根据点的分布特征，Q＝at+b，Q＝a·bt，Q＝a·logbt这三个函数模型与表格所提供的数据不吻合，只有函数模型Q＝at2+bt+c与表格所提供的数据吻合最好，所以选取函数模型Q＝at2+bt+c描述该蔬菜种植成本Q与上市时间t的变化关系.
将表格所提供的三组数据分别代入Q＝at2+bt+c，
得
解得
所以描述该蔬菜种植成本Q与上市时间t的变化关系的函数为 Q＝t2-t+.
（2）由（1）知Q＝t2-t+＝（t-15）2+10，
所以当t＝15时，Q有最小值，最小值为10，
即该蔬菜上市150天时种植成本最低，此时的种植成本为10元/10 kg.
◆建立拟合函数与预测的基本步骤
训练题 ［2019·四川双流中学高一检测］某科研单位在研发钛合金产品的过程中发现了一种新合金材料，由大数据测得该产品的性能指标值y（y值越大产品的性能越好）与这种新合金材料的含量x（单位：克）的关系为当0≤x<7时，y是x的二次函数；当x≥7时，y＝.测得部分数据如下表：
x（单位：克） 0 2 6 10 …
y -4 8 8 …
（1）求y关于x的函数解析式y＝f（x）；
（2）求该新合金材料的含量x为何值时产品的性能达到最佳.
解：（1）当0≤x<7时，y是x的二次函数，可设y＝ax2+bx+c（a≠0）.
由x＝0，y＝-4，得c＝-4；由x＝2，y＝8，得4a+2b＝12①.
由x＝6，y＝8，可得36a+6b＝12②.
联立①②，解得a＝-1，b＝8，即有y＝-x2+8x-4.
当x≥7时，y＝，由x＝10，y＝，可得m＝8，即有y＝.
综上可得，y＝
（2）当0≤x<7时，y＝-x2+8x-4＝-（x-4）2+12，当x＝4时，取得最大值12；
当x≥7时，y＝，该函数单调递减，可得y≤3，当x＝7时，取得最大值3.
综上可得，当x＝4时产品的性能达到最佳.
三、函数模型的选择与决策问题
例5 ［2019·浙江嘉兴五高高一检测］某公司为了实现60万元的利润目标，准备制定一个激励工作人员的奖励方案：在利润达到5万元时，按利润进行奖励，且奖金y（单位：万元）随利润x（单位：万元）的增加而增加，但奖金总数不超过3万元，同时奖金不超过利润的20%.现有三个奖励模型：y＝0.2x，y＝log5x，y＝1.02x，其中哪个模型符合该公司的要求？
【解】　借助工具作出函数y＝3，y＝0.2x，y＝log5x，y＝1.02x的图象（如图所示）.观察图象可知，在区间［5，60］上，y＝0.2x，y＝1.02x的图象都有一部分在直线y＝3的上方，只有y＝log5x的图象始终在y＝3和y＝0.2x的下方，这说明只有
模型y＝log5x符合公司的要求.
1. 函数模型的选择
◆函数模型的增长差异
1.对于幂函数y＝xn，当x>0，n>0时，y＝xn才是增函数，n越大，增长速度越快.
2.指数函数y＝ax与对数函数y＝logax是增函数的前提都是a>1，它们的图象关于直线y＝x对称，a越大，y＝ax增长越快；a越小，y＝logax增长越快.
3.指数函数y＝ax与幂函数y＝xn，当x>0，n>0，a>1时，可能开始时有xn>ax，但因指数函数是爆炸式增长，因此当x大于某一个确定值x0后，就一定有ax>xn.
训练题
1.［2020·郑州高三检测］输液瓶可以视为两个圆柱的组合体，如图所示.开始输液时，滴管内匀速滴下液体（滴管内液体忽略不计），设输液开始后x分钟，瓶内液面与进气管的距离为h cm，已知当x＝0时，h＝13.如果瓶内的药液恰好156分钟滴完，则函数h＝f（x）的图象为 （　　）
　　
　　　　　　　　
　　
A B C D
C
2.［2020·山东临沂高一期末］汽车“定速巡航”技术是用于控制汽车的定速行驶，当汽车被设定为定速巡航状态时，电脑根据道路状况和汽车的行驶阻力自动控制供油量，使汽车始终保持在所设定的车速行驶，而无需司机操纵油门，从而减轻疲劳，促进安全，节省燃料.某汽车公司为测量某型号汽车定速巡航状态下的油耗情况，选择一段长度为240 km的平坦高速路段进行测试.经多次测试得到一辆汽车每小时耗油量F（单位：L）与速度v（单位：km/h）（0≤v≤120）的数据如下表：
v 0 40 60 80
F 0 10
为了描述汽车每小时耗油量与速度的关系，现有以下三种函数模型供选择：F（v）＝av3+bv2+cv，F（v）＝+a，F（v）＝klogav+b.
（1）请选出你认为最符合实际的函数模型，并求出相应的函数解析式.
（2）这辆车在该测试路段上以什么速度行驶才能使总耗油量最少？
2. 决策问题
例6 ［2019·山西应县一中高一检测］某村电费收取有以下两种方案供农户选择.
方案一：每户每月收取管理费2元，月用电量不超过30千瓦时时，每千瓦时0.5元；超过30千瓦时时，超过部分按每千瓦时0.6元收取；
方案二：不收管理费，每千瓦时0.58元.
（1）求方案一中收费L（x）（元）与用电量x（千瓦时）间的函数关系.
（2）老王家九月份按方案一交费35元，问老王家该月用电多少千瓦时？
（3）老王家该月用电量在什么范围内时，选择方案一比选择方案二更好？
【解】　（1）当0≤x≤30时，L（x）＝2+0.5x；
当x>30时，L（x）＝2+30×0.5+（x-30）×0.6＝0.6x-1.
故L（x）＝
（2）当0≤x≤30时，由L（x）＝2+0.5x＝35，得x＝66（舍去）.
当x>30时，L（x）＝0.6x-1＝35，得x＝60.故老王家该月用电60千瓦时.
（3）设方案二收费F（x），则F（x）＝0.58x.
当0≤x≤30时，由L（x）25，所以25当x>30时，由L（x）综上，25故老王家用电量在（25，50）范围内时，选方案一比方案二好.
◆根据函数模型进行决策的一般思路
1.分析和理解实际问题中的增长情况；
2.通过运算求解确定函数模型；
3.用得到的函数模型描述实际问题的变化规律，做出决策.
训练题
［2020·湖北高一期末］学校某研究性学习小组在对学生上课注意力集中情况的调查研究中，发现其在40分钟的一节课中，注意力指数y与听课时间x（单位：分钟）之间的关系满足如图所示的图象，当x∈（0，12］时，图象是二次函数图象的一部分，其中顶点A（10，80），过点B（12，78）,当x∈［12，40］时，图象是线段BC，其中C（40，50）.根据专家研究，当注意力指数大于62时，学习效果最佳.
（1）试求y＝f（x）的函数解析式.
（2）老师在什么时段内安排核心内容，能使得学生学习
效果最佳？请说明理由.
解：（1）当x∈（0，12］时，设f（x）＝a（x-10）2+80，
将点（12，78）代入，解得f（x）＝-（x-10）2+80.
当x∈（12，40］时，设y＝kx+b，将点（12，78），（40，50）代入，
得解得故y＝-x+90.
综上，函数解析式为f（x）＝
（2）当x∈（0，12］时，令-（x-10）2+80>62，解得462，解得12综上可得，4小结
1.常见函数模型
（1）一次函数模型：f（x）＝kx+b（k，b为常数，k≠0）.
正比例函数模型：f（x）＝kx（k为常数，k≠0）是一次函数的特殊情况.
（2）反比例函数模型：f（x）＝（k为常数，k≠0）.
（3）二次函数模型：f（x）＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）.
（4）指数型函数模型：f（x）＝abx+c（a，b，c为常数，a≠0，b＞0，b≠1）.
（5）对数型函数模型：f（x）＝mlogax+n（m，n，a为常数，m≠0，a＞0，a≠1）.
（6）幂型函数模型：f（x）＝axn+b（a，b，n为常数，a≠0，n≠1）.
（7）对勾函数模型：f（x）＝x+（k为常数，且k＞0）.
（8）分段函数模型：这个模型实质是以上两种或多种模型的综合，因此应用也十分广泛.
2.建立函数模型解决实际问题
解函数应用问题的四个步骤
（1）审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择函数模型；
（2）建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的函数模型；
（3）解模：求解函数模型，得出数学结论；
（4）还原：将数学结论还原为实际意义的结果.
以上过程用框图表示如下：
知易行难，重在行动
千里之行，始于足下
谢谢
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