【课件】5.1任意角和弧度制 5.1.1任意角 高中数学-RJA-必修第一册 (共47张PPT)

(共47张PPT)
数学-RJ·A-必修第一册
5.1　任意角和弧度制
5.1.1 任意角
第五章 三角函数
学习目标
1.理解任意角、相反角的概念，能正确区分正角、负角和零角.
2.理解象限角、轴线角、终边相同的角的概念，会判断已知角的终边所在的象限以及几个已知角是不是终边相同的角.
3.会用集合的形式表示象限角、轴线角和终边相同的角，能进行简单的角的集合之间的运算.
重点：将0°~360°的角的概念推广到任意角.
难点：角的概念的推广，终边相同的角的表示.
知识梳理
角的分类：一条射线绕其端点按逆时针方向旋转形成的角叫做 ，按顺时针方向旋转形成的角叫做 .
如果一条射线没有做任何旋转，就称它形成了一个零角.这样，零角的始边与终边重合.如果α是零角，那么α＝ .
任意角包括正角、负角和零角.
一、任意角
正角
负角
0°
角的相等与加减：
如果角α与角β的旋转方向相同且旋转量相等，那么就称 .
把角α的终边旋转角β，这时终边所对应的角是 .
如图，我们把射线OA绕端点O按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角.角α的相反角记为 .
像实数减法的“减去一个数等于加上这个数的相反数”
一样，我们有 .
α＝β
α+β
-α
α-β＝α+（-β）
象限角：使角的顶点与原点重合，角的始边与 重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角.
如果角的终边在 上，那么就认为这个角不属于任何一个象限.
x轴的非负半轴
二、象限角与终边相同的角
坐标轴
终边相同的角：一般地，我们有：
所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合
S＝{β|β＝α+k·360°，k∈Z}，
即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个 的和.
周角
例1
一　角的概念的理解
常考题型
下列说法：
①经过两个小时，时钟的时针转过的角是60°；
②钝角一定大于锐角；
③射线OA绕端点O按逆时针方向旋转一周所成的角是0°；
④小于90°的角都是锐角.
其中错误的为　　　　（把错误说法的序号都填上）.
【解析】　①经过两个小时，时钟的时针按顺时针方向旋转60°，因而转过的角为-60°，故①不正确.
②钝角α的取值范围为90°<α<180°，锐角θ的取值范围为0°<θ<90°，因此钝角一定大于锐角，故②正确.
③射线OA绕端点O按逆时针方向旋转一周所成的角是360°，故③不正确.
④锐角θ的取值范围是0°<θ<90°，小于90°的角也可以是零角或负角，故④不正确.
【答案】　①③④
角的表示方法
画图表示角时，要注意：
（1）角的始边和终边位置；
（2）旋转方向，由旋转方向来确定角的符号；
（3）旋转量，确定角的大小；
（4）箭头的方向不可丢掉，箭头方向代表角的正负；
（5）为了简单起见，在不引起混淆的前提下，“角α”或“∠α”可以简记为“α”.
解题归纳
训练题
［2019·四川遂宁高一检测改编］如果将钟表拨快10分钟，那么时针所转的角度是　　　　度，分针所转的角度是　　　　度.
1.
-5
2.
射线OA绕端点O按逆时针方向旋转120°到达OB，再由OB顺时针旋转240°到达OC，则∠AOC＝（ ）
A.120° B.-120° C.360° D.-360°
-60
B
3.
［2020·河北黄骅中学高一检测］下列是第三象限角的是 （　　）
A.-110° B.-210° C.80° D.-13°
A
例2
二　终边相同角的表示
（1）写出终边相同的角并求给定范围的角
［2019·黑龙江大庆实验中学高一检测］已知α＝-1 120°.
（1）把α写成k·360°+β（k∈Z）的形式，其中0°≤β<360°；
（2）写出与角α终边相同的角θ的集合，并求出-720°~0°之间的角θ.
【解】　（1）用-1 120°除以360°，商为-4，余数为320°，
∴ α＝-4×360°+320°，k∈Z.
（2）与角α＝-1 120°终边相同的角的集合是{α|α＝k·360°+320°，k∈Z}.
（方法一：赋值法）由所求角θ在-720°~0°之间，可得
当k＝-2时，θ＝-2×360°+320°＝-400°，
当k＝-1时，θ＝-1×360°+320°＝-40°，
故θ＝-400°或-40°.
（方法二：不等式法）由-720°≤k·360°+320°≤0°，得
≤k≤，k∈Z，∴ k＝-2或-1.∴ θ＝-400°或-40°.
求在某个范围内与已知角α终边相同的角的方法技巧
1.可先将这样的角表示成k·360°+α（k∈Z）的形式；
2.采用赋值法或不等式法求解，确定k的值；
3.写出适合条件的角.
解题归纳
训练题
［2019·山东师大附中高一检测］与2 019°终边相同的角是（　　）
A.37° B.-37° C.141° D.-141°
1.
［2020·江苏扬州高一期末］与角-330°终边相同的最小正角是 （　　）
A.-30° B.330° C.30° D.60°
2.
［2019·内蒙古集宁一中高一检测］若α与θ+45°是终边相同的角，β与θ-45°是终边相同的角，那么α与β的关系为（　　）
A.α+β＝0° B.α-β＝0°
C.α+β＝k·360°，k∈Z D.α-β＝90°+k·360°，k∈Z
3.
D
C
D
（2）终边在某条直线上的角的集合
写出终边在直线y＝x上的角的集合S，并把S中适合不等式
-180°≤α<180°的角α写出来.
例3
【解】　（方法一）在0°~360°范围内，终边在直线y＝x （x≥0）上的角有一个，为60°，故终边在直线y＝ x （x≥0）上的角的集合为S1＝{α|α＝k·360°+60°，k∈Z}；
终边在直线y＝ x （x<0）上的角有一个，为240°，故终边在直线y＝ x （x<0）上的角的集合为S2＝{α|α＝k·360°+240°，k∈Z}.
故终边在直线y＝ x上的角的集合S＝S1∪S2＝{α|α＝k·360°+60°，k∈Z}∪{α|α＝k·360°+240°，k∈Z}＝{α|α＝k·180°+60°，k∈Z}.
当k＝0时，α＝60°；当k＝-1时，α＝-120°.
故S中适合不等式-180°≤α<180°的角α为60°， -120°.
（方法二）当终边在射线y＝ x（x≥0）上时，对应的一个角为60°.
由于终边在直线y＝x上的所有角中任意两个角都相差180°的整数倍，故终边在直线y＝ x上的角的集合为{α|α＝k·180°+60°，k∈Z}.
当k＝0时，α＝60°；当k＝-1时，α＝-120°.
故S中适合不等式-180°≤α<180°的角α为60°， -120°.
求终边在过原点的直线上的角的集合的两种方法
1.分类讨论法.其一般步骤为：
（1）数形结合，在平面直角坐标系中画出该直线.
（2）按逆时针方向写出［0°，360°）内的角.
（3）再由终边相同的角的表示方法写出满足条件的角的集合.
（4）求并集，化简集合.
2.利用角的终边的周期性.
先在其中一条终边上找出一个角，再加上180°的整数倍.
解题归纳
训练题
［2019·黑龙江大庆铁人中学高一检测］终边与坐标轴重合的角α的集合是（　　）
A.{α|α＝k·360°，k∈Z} B.{α|α＝k·180°，k∈Z}
C.{α|α＝k·90°，k∈Z} D.{α|α＝k·180°+90°，k∈Z}
1.
{α|α＝60°+k·90°，k∈Z}
C
2.
终边在如图所示直线上的角的集合
为　　　 　.
训练题
［2020·贵州六盘水市第二中学高一检测］终边在直线y＝-x上的角α的取值集合是 （　　）
A.{α|α＝n·360°+135°，n∈Z}
B.{α|α＝n·360°-45°，n∈Z}
C.{α|α＝n·180°+225°，n∈Z}
D.{α|α＝n·180°-45°，n∈Z}
3.
D
确定终边落在等分周角的n条射线上的角α的集合的方法
方法一：①写出每条射线表示的角的集合；②求出各集合的并集即得角α的集合.
方法二：由于这n条射线表示的所有角中，任意两个角都相差的整数倍，因此选择其中一条射线，确定以此射线为终边的一个角，再加上（k∈Z）即得角α的集合.
特别地，①终边相同的角之间相差360°的整数倍；②终边在同一条直线上的角之间相差180°的整数倍；③终边在相互垂直的两条直线上的角之间相差90°的整数倍.
解题归纳
（3）区域角的表示
［2019·江苏南京市大厂高级中学高三检测］如图，终边落在阴影部分内（含边界）的角α的集合是 （　　）
A.{α|-45°≤α≤120°}
B.{α|120°≤α≤315°}
C.{α|k·360°-45°≤α≤k·360°+120°，k∈Z}
D.{α|k·360°+120°≤α≤k·360°+315°，k∈Z}
例4
【解析】　由图可知，阴影部分（包括边界）的角的集合是由所有介于终边在-45°和120°之间的角的终边扫过的区域，故角α的集合是{α|k·360°-45°≤α≤k·360°+120°，k∈Z}.
【答案】　C
表示区域角的步骤
（1）先按逆时针方向找到区域的起始和终止边界.
（2）按由小到大的顺序分别标出起始和终止边界对应的-360°~360°内的角α和β，写出最简区间{x|α（3）起始、终止边界对应角α，β再加上360°的整数倍，即得区域角集合.
解题归纳
训练题
已知集合A＝{α|k·180°+30°<α≤k·180°+90°，k∈Z}，集合B＝{β|k·360°-45°<β【解】由题意可画图如图，由图可知，
A∩B＝{θ|30°+k·360°<θ<45°+k·360°，k∈Z}，
A∪B＝{γ|k·360°-45°<γ ≤k·360°+90°或k·360°
+ 210°<γ≤k·360°+270°，k ∈Z}.
三　象限角的判断
(1)判断给定角α所在象限
例5
［2019·湖北天门高一检测］下列角的终边位于第四象限的是（　　）
A.420° B.860° C.1 060° D.1 260°
【解析】　（方法一）因为420°＝60°+360°，所以在0°~360°内，与420°角终边相同的角是60°，所以420°是第一象限角；因为860°＝140°+2×360°，所以860°是第二象限角；因为1 060°＝340°+2×360°，所以1 060°是第四象限角；因为1 260°＝180°+3×360°，所以1 260°的终边位于x轴非正半轴.故选C.
（方法二）在平面直角坐标系中分别画出各个角，角的终边落在第几象限，此角就是第几象限角，作图可知1 060°的终边在第四象限，故选C.
【答案】　C
给定角α所在象限的判断方法
1.公式法
第一步，将α写成α＝k·360°+β （k∈Z，0°≤β<360°）的形式.
第二步，判断β的终边所在的象限.
第三步，根据β的终边所在的象限，即可确定α的终边所在的象限.
2.数形结合法
在平面直角坐标系中画出相应的角，观察终边的位置，角的终边落在第几象限，此角就是第几象限角.
解题归纳
训练题
1.
［2020·江西新建一中高一期末］2 020°是第（　　）象限角.
A.一 B.二 C.三 D.四
C
2.
［2020·吉林省实验中学高一月考］若α是第四象限角，则180°-α是（　　）
A.第一象限角 B.第二象限角
C.第三象限角 D.第四象限角
C
(2)判断所在象限
例6
若α是第一象限角，则2α，是第几象限角？
【解】　∵ α是第一象限角，∴ k·360°<α（1）∵ 2k·360°<2α<2k·360°+180°（k∈Z），∴ 2α是第一、二象限角或终边在y轴非负半轴上的角.
（2）（方法一：分类讨论法）因为α是第一象限角，
所以k·360°<α<90°+k·360°，k∈Z.所以k·180°<<45°+k·180°，k∈Z.
当k＝2n，n∈Z时， 是第一象限角；当k＝2n+1，n∈Z时， 是第三象限角.所以是第一或第三象限角.
（方法二：几何法）如图，先将各象限分成2等份，再从x轴正向的上方起，按逆时针方向依次将各区域标上“一、二、三、四、一、二、三、四”，则标有“一”的区域即为角的终边所在的区域，故是第一或第三象限角.
nα或所在象限的判断
1.nα所在象限的判断方法
确定nα终边所在的象限，先求出nα的范围，再直接转化为终边相同的角即可.
2. 所在象限的判断方法
已知角α所在象限，要确定角所在象限的两种方法：
（1）代数法.先用不等式表示出角的范围，然后对n的取值分情况讨论：被n整除；被n除余1；被n除余2；…；被n除余n-1.从而得出结论.
解题归纳
（2）几何法.作出各个象限的从原点出发的n等分射线，它们与坐标轴把周角分成4n个区域.从x轴非负半轴起，按逆时针方向把这4n个区域依次循环标上“一，二，三，四”.α的终边在第几象限，则标号为几的区域，就是的终边所落在的区域.如此， 所在的象限就可以由标号区域所在的象限直观地看出.
训练题
［2020·武汉市汉口北高级中学高一期末］已知角是第一象限角，则α的终边位于（　　）
A.第一象限 　　　　　　 B.第二象限
C.第一或第二象限 D.第一或第二象限或y轴的非负半轴上
D
四　象限角终边的对称问题
例7
已知角α与β的终边关于x轴对称，则角α与β满足关系　　　　.
【解析】如图，不妨设角α，β的终边分别为OA，OB.
∵ α与β的终边关于x轴对称，∴ α+β＝k·360°（k∈Z）.
【答案】　α+β＝k·360°（k∈Z）
确定关于直线l对称的两角关系的方法
当角α与β的终边关于直线l对称时，建立角α与β之间的关系的步骤如下：
①画出两个角的终边和对称轴，写出对称轴的一般角表示；
②根据对称列出α，β的关系式，注意用k·360°表示.
解题归纳
训练题
［2020·南京高一检测］若角α＝m·360°+60°，β＝k·360°+120°（m，k∈Z），则角α与β的终边的位置关系是 （　　）
A.重合 B.关于原点对称
C.关于x轴对称 D.关于y轴对称
1.
2.
已知角α为小于180°的正角，4α与α的终边关于x轴对称，
那么α＝　 　.
［2019·河南洛阳检测］设角α的终边为射线OP，射线OP1与OP关于y轴对称，射线OP2与OP1关于直线y＝-x对称，则以OP2为终边的角β的集合是（　　）
A.{β|β＝k·360°+α，k∈Z} B.{β|β＝（2k+1）·180°+α，k∈Z}
C.{β|β＝k·360°+90°+α，k∈Z} D.{β|β＝k·360°+270°+α，k∈Z}
3.
终边对称的两角之间的关系
（1）若α与β的终边在同一条直线上，则α-β＝k·180°，k∈Z.
（2）若α与β的终边关于x轴对称，则α+β＝k·360°，k∈Z.
（3）若α与β的终边关于y轴对称，则α+β＝180°+k·360°，k∈Z.
（4）若α与β的终边关于y＝x对称，则α+β＝90°+k·360°，k∈Z.
（5）若α与β的终边关于y＝-x对称，则α+β＝-90°+k·360°，k∈Z.
（6）若α与β的终边垂直，则α-β＝±90°+k·360°，k∈Z.
解题归纳
小结
1.任意角
“相等角”“相反角”的特点：1.（1）旋转方向相同；（2）旋转量相等.
2.（1）旋转方向相反；（2）旋转量相等.
相等角 相反角
旋转方向 相同 相反
旋转量 相等 相等
表示 α与β是相等角，则α＝β α与β是相反角，则α＝-β
2.象限角与终边相同的角
各象限角的集合表示
象限角 象限角α的集合表示
第一象限角 {α|k·360°<α第二象限角 {α|k·360°+90°<α第三象限角 {α|k·360°+180°<α第四象限角 {α|k·360°+270°<α轴线角的集合表示
角α终边的位置 角α的集合表示
在x轴的非负半轴上 {α|α=k·360°，k∈Z}
在x轴的非正半轴上 {α|α=k·360°+180°，k∈Z}
在y轴的非负半轴上 {α|α=k·360°+90°，k∈Z}
在y轴的非正半轴上 {α|α=k·360°+270°，k∈Z}
在x轴上 {α|α=k·180°，k∈Z}
在y轴上 {α|α=k·180°+90°，k∈Z}
在坐标轴上 {α|α=k·90°，k∈Z}
对于集合S＝{ β|β＝α + k·360°，k∈Z }的理解应注意三点
（1）α是任意角.
（2）“k∈Z”有三层含义：
①特殊性：每取一个整数值就对应一个具体的角.
②一般性：表示所有与角α终边相同的角（包括α自身）.
③从几何意义上看，k表示角的终边按一定的方向旋转的圈数，k取正整数时，逆时针旋转；k取负整数时，顺时针旋转；k＝0时，没有旋转.
（3）集合中“k·360°”与“α”之间用“+”连接，如k·360°-30°应看成k·360°+（-30°），表示与-30°角终边相同的角.
知易行难，重在行动
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