【课件】5.1任意角和弧度制 5.1.2弧度制 高中数学-RJA-必修第一册 (共29张PPT)

(共29张PPT)
数学-RJ·A-必修第一册
5.1　任意角和弧度制
5.1.2 弧度制
第五章 三角函数
学习目标
1.了解弧度制，体会引入弧度制的必要性.
2.理解1弧度的角及弧度的定义.
3.掌握角度与弧度的换算公式，能进行角度与弧度的换算，并熟记几个特殊角的弧度数.
4.掌握弧度制中扇形的弧长公式和面积公式.
重点：了解弧度制，并能进行弧度与角度的换算.
难点：弧度的概念.
知识梳理
用度作为单位来度量角的单位制叫做 .
把长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做 的角，用符号rad表示，读作弧度.
我们把半径为1的圆叫做单位圆.
如图，单位圆O中，的长等于1，
∠AOB就是1弧度的角.
一、角度制、弧度制的相关概念
角度制
1弧度
一般地，正角的弧度数是一个 ，负角的弧度数是一个 ，
零角的弧度数是 .
正数
二、角度与弧度的换算
负数
0
弧度与角度换算公式：
如果半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l，那么，角α的弧度数的绝对
值是|α|＝ .
例1
一　弧度制的概念的理解
常考题型
在大小不同的圆中，1 rad的圆心角所对的 （　　）
A.弦长相等 B.弧长相等
C.弦长等于所在圆的半径 D.弧长等于所在圆的半径
【解析】　由弧度制的定义，1弧度的角就是所对弧长与半径之比等于1的角，所以1 rad的圆心角所对的弧长等于所在圆的半径.
【答案】　D
正确理解弧度制
1.圆心角所对的弧长与半径的比值，与圆半径的大小无关，只与角的大小有关，因而可用这个比值来度量圆心角，即|α|＝（l表示弧长）.
2.在弧度制下，任意角的集合与实数集R之间建立起一一对应关系：
解题归纳
1.［2020·上海高一检测］下列选项中，错误的是（　　）
A.“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位
B.一度的角是周角的，一弧度的角是周角的
C.180度一定等于π弧度
D.无论用角度制还是弧度制度量角，它们与圆的半径长短有关
训练题
2.［2020·上海市行知中学高一检测］一场数学科目考试需要两个小时，则时针走了　　　　弧度.
例2
二　角度与弧度的互化
下列互化结果错误的是（　　）
A.60°化成弧度是rad B.π rad化成度是-600°
C.-150°化成弧度是rad D.rad化成度是12°
【解】　对于A，60°＝60×rad＝rad；
对于B，π rad＝ ＝-600°；
对于C，-150°＝-150×rad＝rad；
对于D，rad＝ ＝12°.
【答案】　C
角度与弧度的换算公式
角度化弧度 弧度化角度
360°＝2π rad 2π rad＝360°
180°＝π rad π rad＝180°
1°＝rad 1 rad＝ ≈57.30°
角度数×＝弧度数 弧度数× ＝角度数
解题归纳
训练题
［2019·黑龙江牡丹江三中高一检测］下列各式中，不正确的是（　　）
A.45°ad B.60°＝rad
C.-210°＝rad D.725°＝rad
1.
将下列角度与弧度进行互化：rad＝　　　；112°30′＝　 　　.
2.
-105°
D
rad
三　弧度制下终边相同的角的表示及其应用
例3
将-1 125°表示成2kπ+α（k∈Z，0≤α<2π）的形式，并在［-4π，0）上找出与角-1 125°终边相同的角.
【解题提示】　先把-1 125°化成k·360°+α（k∈Z）的形式，再用弧度制表示.
【解】　-1 125°＝-4×360°+315°，而315°＝315×rad＝rad，
故-1 125°＝-4×2π+rad.
∴ 与角-1 125°终边相同的角为β＝2kπ+（k∈Z）.
由-4π≤2kπ+<0，得≤k<.又k∈Z，∴ k＝-1或-2.
当k＝-1时，β＝；当k＝-2时，β＝.
故在［-4π，0）上与角-1 125°终边相同的角为， .
弧度制下终边相同角的表示
1.与角α终边相同的角，连同角α在内，构成集合S＝{β|β＝2kπ+α，k∈Z}.
2. 用弧度制表示终边相同的角α+2kπ（k∈Z）时，注意2kπ是π的偶数倍.
3.在进行“弧度”与“角度”换算时，若无特别要求，不可进行近似计算，也不必将π化为小数.
4.角度制和弧度制不得混用，如α＝2kπ+60°（k∈Z），β＝k·360°+（k∈Z）都是不正确的写法.
解题归纳
训练题
1.
若角θ的终边与角的终边相同，则在［0，2π）内终边与角的终
边相同的角为　　 　　.
2.
将下列各角化成2kπ+α（0≤α<2π，k∈Z）的形式，并指出是第几象限角：（1）-1 500°；（2）；（3）-4.
【解】（1）∵-1 500°＝-1 800°+300°＝-5×360°+300°
＝ rad，∴ -1 500°角与角的终边相同，是第四象限角.
（2）∵＝2π+，∴ 角与角的终边相同，是第四象限角.
（3）∵-4＝-2π+（2π-4），
∴-4角与2π-4角的终边相同，是第二象限角.
［2020·南京校级联考］若角α的终边与角的终边关于直线y＝x对称，且
α∈（-4π，4π），则α＝　 　　　.
3.
4.
若角α的终边在如图所示的阴影部分（包括边界），
则角α的取值范围是（　　）
A. B.
C. D.
用弧度制表示区域角应关注的三点
1.用弧度表示区域角，必要时需进行角度与弧度的换算，注意单位要统一.
2.在表示角的集合时，可以先写出一周范围内的角（如-π~π，0~2π），再加上2kπ，k∈Z.
3.终边在同一条直线上的角的集合可以表示为{x|x＝α+kπ，k∈Z}；终边在相互垂直的两条直线上的角的集合可以表示为.
解题归纳
四　与弧长、扇形面积有关的问题
例4
（1）［2019·广东珠海模拟］已知扇形的周长是4 cm，则扇形面积最大时，扇形的圆心角的弧度数是（　　）
A.2 B.1 C. D.3
（2）［2019·广西贺州高二检测］已知扇形的圆心角为，面积为，则扇形的弧长等于　　　　.
【解析】　（1）设扇形的半径为R cm，则弧长l＝（4-2R）cm，
∴ 扇形面积S＝lR＝R（2-R）＝-R2+2R＝-（R-1）2+1.
当R＝1时，S最大，此时l＝2，扇形圆心角为2弧度.
（2）设扇形的半径为r，弧长为l，则解得
【答案】　（1）A　（2）
【方法点拨】
1.已知圆心角的度量单位为角度制时，可直接使用角度制下扇形的弧长和面积公式：（1）弧长公式：l＝；（2）面积公式：＝.
2.已知圆心角的度量单位为弧度制时，可使用弧度制下扇形的弧长和面积公式：
（1）弧长公式：l＝αr；
（2）面积公式：＝lr＝|α|r2.
解题归纳
训练题
［2020·黑龙江大庆市第十中学高一期末］已知扇形的半径为2，圆心角为2弧度，则该扇形的面积为　　　　.
1.
2.
［2020·安徽省太和县第一中学高一期末］已知一扇形的面积是8 cm2，周长是12 cm，则该扇形的圆心角α（0<α<π）的弧度数是　　　　.
使用弧度制下扇形的弧长和面积公式应注意
①在扇形的弧长公式与面积公式中，各含有三个量，因此可知二求一；
②使用公式时，注意角α的单位只能是弧度，而不是角度；
③弧度制下扇形面积公式S＝lr，类似于三角形面识公式S＝ah（其中h是三角形中长度为a的边上的高），可类比记忆.
解题归纳
小结
1.角度与弧度的换算
2.弧长公式、扇形面积公式
角度制 弧度制
弧长 公式 ＝ ＝|α|r
扇形 面积 公式 ＝ ＝
知易行难，重在行动
千里之行，始于足下
谢谢
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