2022年春鲁教版八年级下册数学 第8章一元二次方程 单元检测（word版含解析）

第8章一元二次方程
一、选择题
1. 一元二次方程的解为（　　）
A. B. C. 且 D. 或
2. 下列一元二次方程有两个相等的实数根的是( )
A. x2+1=0 B. x2+4x-4=0 C. x2+x+=0 D. x2-x+=0
3. 已知实数m，n满足m﹣n2=2，则代数式m2+2n2+4m﹣3的最小值等于（ ）
A. 9 B. 6 C. ﹣8 D. ﹣16
4. 若是关于的方程的一个根，则的值是（ ）
A. -3 B. -1 C. 1 D. 3
5. 若关于x的多项式含有因式，则实数p的值为（ ）
A. 1 B. C. D. 5
6. 已知m是方程x2﹣x﹣2=0的一个根，则代数式m2﹣m的值为（　　）
A. 4 B. 2 C. 8 D. -2
7. 把一元二次方程（1﹣x）（2﹣x）=3﹣x2化成一般形式ax2+bx+c=0（a≠0）其中a、b、c分别为（ ）
A. 2、3、﹣1 B. 2、﹣3、﹣1 C. 2、﹣3、1 D. 2、3、1
8. 若关于x的一元二次方程kx2﹣2x+1＝0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是( )
A. k＞1 B. k＜1 C. k＞1且k≠0 D. k＜1且k≠0
9. 一元二次方程x2﹣4x+2=0根情况是（ ）
A. 没有实数根 B. 只有一个实数根
C. 有两个相等的实数根 D. 有两个不相等的实数根
10. 上海世博会的某纪念品原价168元，连续两次降价a%后售价为128元，下面所列方程中正确的是( )
A. 168(1＋a%)2＝128 B. 168(1－a%)2＝128
C. 168(1－2a%)＝128 D. 168(1－a2%)＝128
11. 已知关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+a﹣c=0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长．下列关于这个方程的解和△ABC形状判断的结论错误的是（　　）
A. 如果x=﹣1是方程根，则△ABC是等腰三角形
B. 如果方程有两个相等的实数根，则△ABC是直角三角形
C. 如果△ABC是等边三角形，方程的解是x=0或x=﹣1
D. 如果方程无实数解，则△ABC是锐角三角形
12. 若关于x的一元二次方程ax2+bx+5=0（a≠0）的解是x=1，则2012﹣a﹣b的值是（ ）
A 2020 B. 2018 C. 2017 D. 2016
二、填空题
13. 若α、β是一元二次方程x2+2x﹣6=0的两根，则α2+β2=________ ．
14. 若a是方程x2﹣2x﹣2=0的一个根，则2a2﹣4a=__________．
15. 关于x的方程a(x+m)2+b=0的解是x1=－2，x2=1（a，m，b均为常数，a≠0），则方程a(x+m+2)2+b=0 的解是__________.
16. 某种型号的电脑，原售价7200元/台，经连续两次降价后，现售价为4608元/台，则平均每次降价的百分率为________．
17. 关于x一元二次方程x2﹣（k+2）x+ k2﹣1=0的两根互为倒数，则k的值是________．
18. 已知x1，x2方程3x2-2x+1=0两根，则 x1·x2=________．=
19. 如图，Rt△ABC中，∠B=90°，AC=10cm，BC=8cm，现有两个动点P、Q分别从点A和点B同时出发，其中点P以1cm/s的速度，沿AB向终点B移动；点Q以2cm/s的速度沿BC向终点C移动，其中一点到终点，另一点也随之停止．连结PQ，若经x秒后P，Q两点之间的距离为4 ，那么x的值为________．
20. 关于x的一元二次方程（m﹣1）x2﹣x+m2﹣1=0的一个解是x=0，则m值是________．
21. 若把代数式x2+2bx+4化为（x﹣m）2+k的形式，其中m、k为常数，则k﹣m=________ ，k﹣m的最大值是________ ．
22. 若a、b是关于x的一元二次方程x2+2x﹣2017=0的两根，a2+3a+b的值为________．
三、解答题
23. 按要求解方程．
（1）（直接开方法）
（2）（公式法）
（3）（因式分解）
（4）（配方法）
24. 关于x的方程3x2﹣2x+m=0的一个根为﹣1，求方程的另一个根及m的值．
25. 已知关于 的方程mx2+（2m-1）x+m-1=0（m≠0） .
（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程的两个实数根都是整数，求整数 的值.
26. 已知，下列n（n为正整数）个关于x的一元二次方程： ①x2﹣1=0，②x2+x﹣2=0，③x2+2x﹣3=0，④x2+3x﹣4=0，…， ，…
（1）上述一元二次方程的解为①________，②________，③________，④________．
（2）猜想：第n个方程为________，其解为________．
（3）请你指出这n个方程的根有什么共同的特点（写出一条即可）．
第8章一元二次方程（解析版）
一、选择题
1. 一元二次方程的解为（　　）
A. B. C. 且 D. 或
【1题答案】
【答案】D
【解析】
【详解】∵=x
∴ x=0，
x(x 1)=0，
解得：x1=0,x2=1.
故选D.
2. 下列一元二次方程有两个相等的实数根的是( )
A. x2+1=0 B. x2+4x-4=0 C. x2+x+=0 D. x2-x+=0
【2题答案】
【答案】C
【解析】
【分析】分别计算各选项方程的△进行判断.
【详解】A.∵△=b2 4ac=0 4= 4<0，
∴无实数根；故本选项错误；
B.
∴有两个不相等的实数根；故本选项错误.
C.
∴有两个相等的实数根；故本选项正确；
D.∵
∴无实数根；故本选项错误；
故选C
【点睛】一元二次方程有两个相等的实数根，则
3. 已知实数m，n满足m﹣n2=2，则代数式m2+2n2+4m﹣3的最小值等于（ ）
A. 9 B. 6 C. ﹣8 D. ﹣16
【3题答案】
【答案】A
【解析】
【详解】试题分析：把m﹣n2=2变形为n2=m﹣2，代入所求式子，根据配方法进行变形，利用偶次方的非负性解答即可．
解：∵m﹣n2=2，
∴n2=m﹣2≥0，m≥2，
∴m2+2n2+4m﹣3
=m2+2m﹣4+4m﹣3
=m2+6m+9﹣16
=（m+3）2﹣16，
则代数式m2+2n2+4m﹣3的最小值等于（2+3）2﹣16=9．
故选A．
考点：配方法的应用；非负数的性质：偶次方．
4. 若是关于方程的一个根，则的值是（ ）
A. -3 B. -1 C. 1 D. 3
【4题答案】
【答案】A
【解析】
【分析】根据一元二次方程的解的定义得到n2+mn+3n=0，然后两边除以n即可得到m+n的值．
【详解】解：把x=n代入x2+mx+3n=0得n2+mn+3n=0，
∵n≠0，
∴n+m+3=0，
即m+n=-3．
故选A．
【点睛】本题考查了一元二次方程解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．
5. 若关于x的多项式含有因式，则实数p的值为（ ）
A. 1 B. C. D. 5
【5题答案】
【答案】A
【解析】
【分析】根据多项式乘法基本性质，x-3中-3与2相乘可得到-6，则可知：x2-px-6含有因式x-3和x+2．
【详解】解：（x-3）（x+2）=x2-x-6，
所以p的数值是1．
故选A．
【点睛】本题考查了因式分解的意义，注意因式分解与整式的运算的综合运用．
6. 已知m是方程x2﹣x﹣2=0的一个根，则代数式m2﹣m的值为（　　）
A. 4 B. 2 C. 8 D. -2
【6题答案】
【答案】B
【解析】
【详解】试题解析：把x=m代入方程可得：
即
故选B.
7. 把一元二次方程（1﹣x）（2﹣x）=3﹣x2化成一般形式ax2+bx+c=0（a≠0）其中a、b、c分别为（ ）
A. 2、3、﹣1 B. 2、﹣3、﹣1 C. 2、﹣3、1 D. 2、3、1
【7题答案】
【答案】B
【解析】
【详解】试题解析：原方程可整理为：
∴a=2，b= 3，c= 1；
故选B.
点睛：
8. 若关于x的一元二次方程kx2﹣2x+1＝0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是( )
A. k＞1 B. k＜1 C. k＞1且k≠0 D. k＜1且k≠0
【8题答案】
【答案】D
【解析】
【分析】根据一元二次方程的定义和△的意义得到k≠0且△＞0，即（﹣2）2﹣4×k×1＞0，然后解不等式即可得到k的取值范围．
【详解】∵关于x的一元二次方程kx2﹣2x+1＝0有两个不相等的实数根，
∴k≠0且△＞0，即(﹣2)2﹣4×k×1＞0，
解得k＜1且k≠0．
∴k的取值范围为k＜1且k≠0．
故选D．
【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式△＝b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△＝0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义．
9. 一元二次方程x2﹣4x+2=0根的情况是（ ）
A. 没有实数根 B. 只有一个实数根
C. 有两个相等的实数根 D. 有两个不相等的实数根
【9题答案】
【答案】D
【解析】
【详解】试题解析：∵△=b2 4ac=42 4×1×2=8>0，
∴有两个不相等的实数根；
故选D.
10. 上海世博会的某纪念品原价168元，连续两次降价a%后售价为128元，下面所列方程中正确的是( )
A. 168(1＋a%)2＝128 B. 168(1－a%)2＝128
C. 168(1－2a%)＝128 D. 168(1－a2%)＝128
【10题答案】
【答案】B
【解析】
【详解】解：第一次降价a%后的售价是168（1-a%)元，
第二次降价a%后的售价是168（1-a%)(1-a%)=168(1-a%)2；
故选B.
11. 已知关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+a﹣c=0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长．下列关于这个方程的解和△ABC形状判断的结论错误的是（　　）
A. 如果x=﹣1是方程的根，则△ABC是等腰三角形
B. 如果方程有两个相等的实数根，则△ABC是直角三角形
C. 如果△ABC是等边三角形，方程的解是x=0或x=﹣1
D. 如果方程无实数解，则△ABC是锐角三角形
【11题答案】
【答案】D
【解析】
【详解】试题解析：A. 若x= 1是方程的根，则a+c 2b+a c=0即2a 2b=0，得到a=b，△ABC是等腰三角形，故正确；
B. 因为方程有两相等的实数根,所以即 所以△ABC是直角三角形，故正确；
C. 因为a=b=c,所以此方程为 解方程得x=0或x= 1，所以正确；
D. 因为方程无解,所以△<0,即 无法实数根，三角形是钝角三角形，故错误.
故选D.
点睛：如果三角形两条边的平方和等于第三条边的平方，那么这个三角形是直角三角形.
12. 若关于x的一元二次方程ax2+bx+5=0（a≠0）的解是x=1，则2012﹣a﹣b的值是（ ）
A. 2020 B. 2018 C. 2017 D. 2016
【12题答案】
【答案】C
【解析】
【详解】试题解析：∵关于x的一元二次方程 (a≠0)的解是x=1，
∴a+b+5=0，
∴a+b= 5，
∴2012 a b=2012 (a+b)=2017.
故选C.
二、填空题
13. 若α、β是一元二次方程x2+2x﹣6=0的两根，则α2+β2=________ ．
【13题答案】
【答案】16
【解析】
【详解】试题解析：∵α、β是一元二次方程x2+2x-6=0的两根，
∴α+β=-2，αβ=-6，
∴α2+β2=（α+β）2-2αβ=（-2）2-2×（-6）=4+12=16.
考点：根与系数的关系．
14. 若a是方程x2﹣2x﹣2=0的一个根，则2a2﹣4a=__________．
【14题答案】
【答案】4
【解析】
【详解】由题意得：.
15. 关于x的方程a(x+m)2+b=0的解是x1=－2，x2=1（a，m，b均为常数，a≠0），则方程a(x+m+2)2+b=0 的解是__________.
【15题答案】
【答案】x=-4,x=-1
【解析】
【分析】把后面一个方程中的x+2看作整体，相当于前面一个方程中的x求解．
【详解】解：∵关于x的方程a（x+m）2+b=0的解是x1=-2，x2=1，（a，m，b均为常数，a≠0），
∴方程a（x+m+2）2+b=0变形为a[（x+2）+m]2+b=0，即此方程中x+2=-2或x+2=1，
解得x=-4或x=-1．
故方程a（x+m+2）2+b=0的解为x1=-4，x2=-1．
故答案为x1=-4，x2=-1．
【点睛】本题考查方程解的定义．注意由两个方程的特点进行简便计算．
16. 某种型号的电脑，原售价7200元/台，经连续两次降价后，现售价为4608元/台，则平均每次降价的百分率为________．
【16题答案】
【答案】20%
【解析】
【分析】设平均每次降价的百分率为，根据题意列出一元二次方程，解方程求解即可
【详解】解：设平均每次降价的百分率为，根据题意得，
解得（不符合题意，舍去）
故答案为：
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键．
17. 关于x的一元二次方程x2﹣（k+2）x+ k2﹣1=0的两根互为倒数，则k的值是________．
【17题答案】
【答案】2
【解析】
【详解】试题解析：设方程的两根为
则有：
∵互为倒数，
解得：
故答案为
点睛：一元二次方程的两根为
18. 已知x1，x2是方程3x2-2x+1=0两根，则 x1·x2=________．=
【18题答案】
【答案】
【解析】
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系求解即可.
【详解】解：方程两根，
故答案为
19. 如图，Rt△ABC中，∠B=90°，AC=10cm，BC=8cm，现有两个动点P、Q分别从点A和点B同时出发，其中点P以1cm/s的速度，沿AB向终点B移动；点Q以2cm/s的速度沿BC向终点C移动，其中一点到终点，另一点也随之停止．连结PQ，若经x秒后P，Q两点之间的距离为4 ，那么x的值为________．
【19题答案】
【答案】2或
【解析】
【详解】试题解析：
∴AB=6.
即
故答案为2或
20. 关于x的一元二次方程（m﹣1）x2﹣x+m2﹣1=0的一个解是x=0，则m值是________．
【20题答案】
【答案】-1
【解析】
【详解】试题解析：把x=0代入 得 解得m=±1，
而m 1≠0，
所以m= 1.
故答案为： 1.
21. 若把代数式x2+2bx+4化为（x﹣m）2+k的形式，其中m、k为常数，则k﹣m=________ ，k﹣m的最大值是________ ．
【21题答案】
【答案】 ①. ﹣b2+b+4 ②.
【解析】
【详解】试题解析：
则
∴当时,k m的最大值是
故答案为
22. 若a、b是关于x的一元二次方程x2+2x﹣2017=0的两根，a2+3a+b的值为________．
【22题答案】
【答案】2015
【解析】
【详解】试题解析：∵a、b是关于x的一元二次方程的两根，
∴a+b= 2，a b= 2017，
∴
故答案为2015.
三、解答题
23. 按要求解方程．
（1）（直接开方法）
（2）（公式法）
（3）（因式分解）
（4）（配方法）
【23题答案】
【答案】（1）x1=，x2= ；（2）x1= ，x2=；（3）x1=﹣，x2=1；（4）x1=21，x2=﹣19
【解析】
【详解】解：（1）
（2）
（3）
或
（4）
24. 关于x的方程3x2﹣2x+m=0的一个根为﹣1，求方程的另一个根及m的值．
【24题答案】
【答案】-5，
【解析】
【详解】试题分析：把x= 1代入方程得关于的方程，可求出m= 5，然后利用根与系数的关系求方程的另一根．
试题解析：把x= 1代入方程得3+2+m=0，解得m= 5，
设方程的另一个根为t,则
所以
即方程的另一个根为
25. 已知关于 的方程mx2+（2m-1）x+m-1=0（m≠0） .
（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程的两个实数根都是整数，求整数 的值.
【25题答案】
【答案】（1）证明见解析（2）m=1或m=-1
【解析】
【详解】试题分析：（1）由于m≠0，则计算判别式的值得到，从而可判断方程总有两个不相等的实数根；
（2）先利用求根公式得到然后利用有理数的整除性确定整数的值．
试题解析：(1)证明：∵m≠0，
∴方程为一元二次方程，
∴此方程总有两个不相等的实数根；
(2)∵
∵方程的两个实数根都是整数，且m是整数，
∴m=1或m= 1.
26. 已知，下列n（n为正整数）个关于x一元二次方程： ①x2﹣1=0，②x2+x﹣2=0，③x2+2x﹣3=0，④x2+3x﹣4=0，…， ，…
（1）上述一元二次方程的解为①________，②________，③________，④________．
（2）猜想：第n个方程为________，其解为________．
（3）请你指出这n个方程的根有什么共同的特点（写出一条即可）．
【26题答案】
【答案】（1）①x1=1，x2=﹣1；②x1=1，x2=﹣2；③x1=1，x2=﹣3；④x1=1，x2=﹣4；（2）x1=1，x2=﹣n（3）见解析
【解析】
【分析】
【详解】试题分析：（1）用十字相乘法因式分解可以求出它们的根．
（2）由（1）找出规律，写出方程，解方程求出方程的根．
（3）根据（1）、（2）可以写出它们的共同特点．
试题解析：(1)①(x+1)(x 1)=0，
②(x+2)(x 1)=0，
③(x+3)(x 1)=0，
④(x+4)(x 1)=0，
(2)由(1)找出规律，可写出第n个方程为：
(x 1)(x+n)=0，
解得
(3)这n个方程都有一个根是1；另一个根是n的相反数；a+b+c=0；都有两个不相等的实数根； 两个根异号．