精讲精练·专项突破 第六章《平面向量及其应用》单元能力提升（含详细解析） (2)

精讲精练·专项突破
2021-2022学年高一下学期人教版（2019）
第六章 《平面向量及其应用》 单元能力提升（含详细解析）
一、单选题
1．（2021高一下·天津期中）在 中，角 的对边分别为 ，若 ，则角B的大小为（　　）
A． B． C． 或 D． 或
2．（2021高二上·太原期中）平行六面体 的各棱长均相等， ， ，则异面直线 与 所成角的余弦值为（　　）
A． B． C． D．
3．（2021·长春模拟）已知 是抛物线 上的一点， 是抛物线的焦点，若以 为始边， 为终边的角 ，则 等于（　　）
A．2 B． C． D．4
4．（2021·内江模拟）已知点A为抛物线 上的动点(不含原点)，过点A的切线交 轴于点B，设抛物线C的焦点为F，则 （　　）
A．一定是直角 B．一定是锐角
C．一定是钝角 D．上述三种情况都可能
5．（2021·湖北模拟）庄严美丽的国旗和国徽上的五角星是革命和光明的象征，正五角星是一个非常优美的几何图形，且与黄金分割有着密切的联系.在如图所示的正五角星中，以 为顶点的多边形为正五边形，且 ，则（　　）
A． B．
C． D．
6．（2021高一下·天河期末）关于空间两条不同直线a，b和两个不同平面α，β，下列命题正确的是（　　）
A．若 ， ，则
B．若 ， ， ，则
C．若 ， ，则
D．若 ， ， ，则
7．（2021高二上·丽水期末）如图，在长方体 中， 是线段 中点，若 ，则 （　　）
A． B．1 C． D．3
8．（2021·潍坊模拟）如图，在平行四边形 中， ，若 ，则 （　　）
A． B．1 C． D．
二、多选题
9．（2022高三上·汕头期末）如图，平行四边形ABCD中，AB=2，AD=4，，E为CD的中点，AE与DB交于F，则（　　）
A．在方向上的投影为0 B．
C． D．
10．（2020高三上·青岛期末）已知向量 ， ， ，设 ， 所成的角为 ，则（　　）
A． B．
C． D．
11．（2021高一下·天河期末）在 中，角 、 、 所对的边分别为 ， ， ．则下列命题正确的是（　　）
A．若 ， ， ，则
B．若 ，则
C．若 ，则 为钝角三角形
D．若 ， ， ， 的面积为3
12．（2021高一下·恩施月考）已知 是边长为2的正三角形，该三角形重心为点G，点P为 所在平面内任一点，下列等式一定成立的是（　　）
A． B．
C． D．
三、填空题
13．（2021高二上·砀山月考）已知两个平面 ， 的法向量分别是 和 ，若 ，则 　 　.
14．（2021高一下·海曙期中）如图，四棱锥 的所有棱长都等于2，点 为线段 的中点，过 三点的平面与 交于点 ，则四边形 的周长为　 　
15．（2021·潍坊模拟）已知正方形ABCD的边长为1， ， ， ，则 =　 　.
16．（2021高一下·辽宁期中）的内角，，所对的边分别是，，，已知，则的取值范围是　 　.
四、解答题
17．（2021·云南模拟） 的内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， .已知 .
（1）求 ；
（2）若 ，且 的面积为 ，求 .
18．（2021高二下·弥勒月考） 的内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，且满足 ．
（Ⅰ）求角 ；
（Ⅱ）若 ， ，求 的面积．
19．（2020高二上·洛阳期末）在 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且 .
（1）求 ；
（2）若 ， ，求 ， .
20．（2021高二上·沈阳期中）中心在原点，焦点在 轴上的椭圆与双曲线有共同的焦点 ，且 ，椭圆的长半轴长与双曲线的实半轴长之差为4,离心率之比为 .
（1）求椭圆和双曲线的方程；
（2）若点 是椭圆和双曲线的一个交点，求 .
21．（2021高二上·薛城期中）如图，在空间四边形 中， ，点 为 的中点，设 ， ， .
（1）试用向量 ， ， 表示向量 ；
（2）若 ， ， ，求 的值.
22．（2021高一下·浙江期中）已知函数，
（1）求的对称轴；
（2）在中，内角的对边分别为，若，，是边上一点，且，求的最大面积.
答案解析部分
1．【答案】C
【考点】解三角形；余弦定理
【解析】【解答】因为 ，
所以 ，即 ，
因为 ，所以 ，
因为 ，所以 或 ，
故答案为：C
【分析】根据题意由余弦定理整理结合同角三角函数的基本关系式得到，由此求出进而得出角B的大小。
2．【答案】B
【考点】平面向量数量积的运算；数量积表示两个向量的夹角；异面直线及其所成的角
【解析】【解答】如图所示：不妨设棱长为1，
， ，
所以 ＝ ＝ ，
， ，
即 ，故异面直线 与 所成角的余弦值为 ．
故答案为：B．
【分析】根据题意由平行六面体的几何性质结合向量的运算性质，由夹角的数量积公式代入数值计算出结果即可。
3．【答案】D
【考点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；抛物线的定义；抛物线的简单性质
【解析】【解答】设点 ，其中 ，则 ， ，
取 ，则 ，
可得 ，因为 ，可得 ，解得 ，则 ，
因此， .
故答案为：D.
【分析】由已知条件设点 ，代入到抛物线的方程，由此得出向量的坐标，结合数量积的坐标公式整理即可得到，结合题意即可得出，由此即可的答案。
4．【答案】A
【考点】平面向量数量积的运算
【解析】【解答】试题分析： ,设 ，则过点 的切线方程为 ，令 ，得 ，即点 ，又 ，于是 ， ，所以 ，
故答案为：A．
【分析】 求导数，确定过A的切线方程，可得B的坐标，求出，可得 ，即可得出结论.
5．【答案】A
【考点】向量的物理背景与概念；向量加减混合运算及其几何意义
【解析】【解答】设 ，
因为 ，
所以 ，
所以 ，
因为 ，
所以 ，
所以 ，
，
.
故答案为：A
【分析】 利用平面向量的概念、平面向量的加法、减法、数乘运算的几何意义，便可解决问题。
6．【答案】D
【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系；直线与平面平行的判定；平面与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定
【解析】【解答】若 ， ，则 或 ，A不符合题意；
若 ， ， ，则 或 与 相交，B不符合题意；
若 ， ，则 或 或 与 相交，C不符合题意；
若 ， ，则 或 ，又由 ，所以 ，D符合题意.
故答案为：D.
【分析】利用已知条件结合线面平行的判定定理、面面平行的判定定理、面面垂直的判定定理、数量积为0两向量垂直的等价关系，从而找出正确命题的选项。
7．【答案】C
【考点】平面向量的基本定理及其意义
【解析】【解答】连接 、 ，
因为 ，
因为 是线段 的中点，则 ，
因此 ，
因此， 。
故答案为：C.
【分析】连接 、 ，再利用三角形法则和平面向量基本定理，得出 ，再利用 是线段 的中点结合中点的性质和向量共线定理，则 ，再利用三角形法则结合平面向量基本定理，得出 ，再利用已知条件得出x,y,z的值，从而得出 的值。
8．【答案】D
【考点】平面向量的基本定理及其意义
【解析】【解答】 ,
又∵ ， 不共线 ，
根据平面向量基本定理可得 ,
∴ 。
故答案为：D.
【分析】利用已知条件结合两向量共线的判断方法结合三角形法则，从而利用平面向量基本定理，进而求出的值，从而求出的值。
9．【答案】A,B
【考点】向量的模；向量加减混合运算及其几何意义；数量积的坐标表达式；向量的投影
【解析】【解答】平行四边形 $A B C D$ 中, , 所以 ,
所以，为的中点，与交于，所以在方向上的投影为0，所以A符合题意；
，，．所以B符合题意；
，所以C不正确；
因为 , 所以 , 所以 D 不正确.
故答案为：AB
【分析】根据题意由已知条件结合余弦定理代入数值计算出边的大小，然后由向量的加减运算公式以及向量投影公式和数量积的运算公式，代入数值计算出结果即可。
10．【答案】A,B,D
【考点】平面向量数量积的运算
【解析】【解答】向量 ，
由 ，可得
即 ，解得 ，所以A符合题意.
，所以
又 ，所以 ，所以D符合题意,C不正确.
,则 ，B符合题意.
故答案为：ABD
【分析】 根据题意由数量积的运算公式结合题意代入数值求出夹角的余弦值，由角的取值范围即可求出角的大小由此对选项逐一判断即可得出答案。
11．【答案】B,C
【考点】正弦定理；余弦定理；三角形中的几何计算；三角形的形状判断
【解析】【解答】解： 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，
对于 ：由于 ， ， ，利用正弦定理 ，解得 ，由于 ，所以 或 ，故错误；
对于 ：当 时，所以 ，根据正弦定理 ，整理得 ，故正确；
对于 ：若 ，整理得 ，故 ，结合余弦定理．整理得 ，故 为钝角三角形，故正确；
对于 ：若 ， ，且 ，利用余弦定理可得 ，解得 ，因为 ，所以 ，
所以 ，故D错误。
故答案为：BC．
【分析】利用已知条件结合正弦定理结合三角形中角A的取值范围，从而求出角A的值；利用大边对应大角的性质结合正弦定理，得出；利用已知条件结合余弦定理，从而推出三角形 为钝角三角形；再利用已知条件结合余弦定理，从而求出角C的余弦值，再利用三角形中角C的取值范围求出角C的值，再利用三角形的面积公式，从而求出三角形 的面积，进而找出命题正确的选项。
12．【答案】B,C
【考点】向量的线性运算性质及几何意义；平面向量数量积的运算
【解析】【解答】因为 是边长为2的正三角形，
所以 ，A不正确；
，B符合题意；
根据重心的性质可得 ，
所以 ，
所以 ，C符合题意；
因为 ，
，
D不正确.
故答案为：BC
【分析】根据平面向量的数量积的定义以及用算力可判断出A不正确，故B正确;D不正确;根据三角形重心的性质，结合向量的线性运算可知C正确。
13．【答案】8
【考点】向量的共线定理；平面与平面平行的判定
【解析】【解答】解：∵
∴
∴存在实数k，使得
∴，解得
∴x+y=8
故答案为：8
【分析】根据平面与平面平行的的判定，结合向量平行的充要条件求解即可.
14．【答案】
【考点】余弦定理的应用
【解析】【解答】解：由题意知△ADE是Rt△，，在△SCF中，由余弦定理得CF2=SF2+CF2-2SF·CF·cos∠CSF，即CF2=4+1-2·1·2·cos60°，解得CF=，有EF=1，CD=2，所以 四边形 的周长 =DE+EF+FC+CD=.
故答案为：
【分析】由余弦定理，结合四棱锥的几何特征直接求解即可.
15．【答案】
【考点】向量的模
【解析】【解答】由题意可得， 是正方形的对角线长，故 ，
又
所以 .
故答案为： .
【分析】由得 .
16．【答案】
【考点】基本不等式；正弦定理；余弦定理
【解析】【解答】由正弦定理知：，
∵，
∴，即 ，
又由余弦定理知： 当且仅当 时等号成立，而 ，
∴，则 .
故答案为： .
【分析】由 结合正弦定理边化角可得，进而得，再结合余弦定理，由基本不等式即可求出答案。
17．【答案】（1）解：因为 ，
所以由正弦定理可得 ，
即 ，
而 ，所以 ，
故
（2）解：由（1）知 ，则 ，
又 的面积为 ，
则 ， .
由余弦定理得 ，
解得
【考点】两角和与差的正弦公式；同角三角函数间的基本关系；正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】(1)根据题意由正弦定理整理化简再由两角和的正弦公式即可求出结果。
(2)由(1)的结论结合同角三角函数的基本关系式以及三角形的面积公式计算出b与c的值，然后与余弦定理代入数值计算出答案即可。
18．【答案】解：（Ⅰ）因为 ，
所以 ．
∵ ，∴ ， ，
因为 ，∴ ．
（Ⅱ）因为 ，
所以 ， ，
∴ ，
∴ ．
【考点】正弦定理；余弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合正弦定理，得出 ， 从而结合同角三角函数基本关系式，得出 ， 再利用三角形中角A的取值范围，从而求出角A的值。
（2）利用已知条件结合余弦定理求出c的值，再利用三角形面积公式，从而求出三角形 的面积 。
19．【答案】（1）解：由正弦定理 知， .
代入 中，得 .
∵ ，∴ ，即 .
∵ ，∴ .
（2）解：由余弦定理 ， ， 知，
，
又 ，∴ ，
解得 ，
【考点】正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合正弦定理结合a的取值范围，从而结合同角三角函数的基本关系式，从而求出角B的正切值，再利用三角形中角B的取值范围，进而求出角B的值。
（2）利用已知条件结合余弦定理，从而求出a,b的值。
20．【答案】（1）由已知得 ，设椭圆长、短半轴长分别为 、 ，双曲线实半轴、虚半轴长分别为 、 ，
则 解得 ．所以 ．
故椭圆方程为 ，双曲线方程为 ．
（2）由椭圆、双曲线的对称性，不妨设 、 分别为左、右焦点，P是第一象限的一个交点，则 ，
所以 ．又 ，
故 ．
【考点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；双曲线的标准方程；双曲线的简单性质；余弦定理
【解析】【分析】 (1)根据半焦距 ,设椭圆长半轴为a，由离心率之比求出a，进而求出椭圆短半轴的长及双曲线的虚半轴的长，写出椭圆和双曲线的标准方程；
(2)由椭圆、双曲线的定义求出PF1与PF2的长，三角形F1PF2中,利用余弦定理求出 的值.
21．【答案】（1） ，
故
∵点E为AD的中点，
故
（2）由题意得
故
故
【考点】向量的线性运算性质及几何意义；平面向量数量积的运算
【解析】【分析】 (1)根据向量的运算性质求出 即可；
(2)根据向量的运算性质代入计算即可.
22．【答案】（1）解：
令，，得对称轴为，.
（2）解：由（1）知，，
因为，所以.
又因为，所以，
①当时，，，
解法1：由余弦定理可知，，得，
所以，当且仅当时取等号，
，当且仅当时取等号，
解法2：设外接圆半径为，则由正弦定理可知，
圆上弦长一定，动点在圆弧上运动，当时，底边上的高最大，此时面积最大值为，所以的最大面积为.
②当时，，，
方法如①，，
即的最大面积为，当且仅当时取等号.
【考点】二倍角的余弦公式；正弦函数的奇偶性与对称性；正弦定理的应用；余弦定理的应用；余弦函数的零点与最值
【解析】【分析】（1）先结合降次公式以及辅助角公式将函数解析式化简整理，然后整体代入法直接求对称轴即可；
（2）根据已知条件求出角A，方法一：结合余弦定理以及基本不等式即可直接求出最值；方法二：结合平面几何性质确定M的位置即可求出最大值.
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