湖南省师大附中2013届高三第5次月考数学（文）试题

湖南省师大附中2013届高三第5次月考
数学（文）试题
命题：曾克平 洪利民 苏萍 　 审题：湖南师大附中高三数学文科备课组
(考试范围：高中文科数学全部内容)
一．选择题：本大题共9小题，每小题5分，共45分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 设集合， ，则= （ A ）
A． B． C． D．
【解析】利用数轴易知选A.
2．等差数列中，，，则 （ C ）
A．16　　　 B．21　　　 C．20　　　　 D．31
【解析】由，可求得.
3.给出如下四个命题：
① 若“且”为假命题，则、均为假命题；
②若等差数列的前n项和为则三点共线;
③ “ x∈R，x2＋1≥1”的否定是 “x∈R，x2＋1≤1”;
④ 在中，“”是“”的充要条件．
其中正确的命题的个数是 （ D ）
A．1 B． 4 C． 3 D．2
【解析】若“且”为假命题，则、至少有一个为假命题，所以①错；若等差数列的前n项和为，则数列为等差数列，所以②对；“ x∈R，x2＋1≥1”的否定是 “x∈R，x2＋1<1”; 所以③错;在中, “”等价于“”， 所以④对.
4. 已知平面内一点及，若，则点与的位置关系是（ C ）
A.点在线段上 B.点在线段上
C.点在线段上 D.点在外部
【解析】，所以C对.
5.定义在R上的函数既是奇函数又是周期函数,若的最小正周期是，且当时，，则的值为 （ A ）
A. B. C. D.
【解析】.
6.如下图，已知记则当的大致图像为 （ B ）.
【解析】且
有两个零点，不防设为. 且则当或时，，递减.当时， ， 递增.所以选B.
7. 设双曲线C：的一条渐近线与抛物线y2 = x的一个交点的横坐标为x0，若x0>1，则双曲线C的离心率e的取值范围是 （ C ）
A.(1，) B. (，+∞) C. (1，) D. (，+∞)
【解析】联立双曲线渐近线和抛物线方程，消去y得：，由x0>知，即，故，又e >1，所以1< e <，故选B.
8.在约束条件下，若目标函数的最大值不超过4，则实数的取值范围 （ D ）
A B C D
【解析】作出可行域，即知目标函数在点处取得最大值.
由得
9. 已知，实数a、b、c满足＜0，且0＜a＜b＜c，若实数是函数的一个零点，那么下列不等式中，不可能成立的是 （ D ）
A．＜a B．＞b C．＜c D．＞c
【解析】当时，当时
＜0，且，所以不可能成立.
二．填空题：本大题共7个小题，考生作答6小题，每小题5分，共30分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上．
（一）选做题：从下列两题中任意选做一题，若两题全做，则只按第9题记分．
10．（坐标系与参数方程选做题）极坐标方程为的圆与参数方程为 的直线位置关系是_ _______相交_____.
【解析】.圆心（0,1）到直线的距离小于半径1.
11．（优选法选做题）下列五个函数：①，②，，③，，④，⑤中，不是单峰函数的是________．
【解析】根据单峰函数的定义知②⑤是单峰函数.
（二）必做题（11~16题）
12．定义运算，复数z满足
则复数在复平面对应点为P_（2，-1） .
【解析】设，则
即，所以在复平面对应点为P（2，-1）.
13．已知，，若对，，使，则的范围 .
【解析】若对，，；使，则
当时，；当时，.
所以，由，得.
14．一个三棱锥的三视图是三个直角三角形，如图所示，则该三棱锥的外接球表面积为（ A ）
A．
B．
C．
D．
【解析】由三视图复原几何体，几何体是底面是直角三角形，
一条侧棱垂直底面直角顶点的三棱锥；把它扩展为长方体，两者有相同的外接球，
它的对角线的长为球的直径，即该三棱锥的外接球的表面积为：.
15．已知M是面积为1的△ABC内的一点（不含边界），，若△MBC，△MCA和△MAB的面积分别为，则的最小值是 3 .
【解析】由已知可得，
.
16．对于定义域和值域均为的函数，定义，，…，，n=1，2，3，…．满足的点称为f的阶周期点．
（1）设则f的阶周期点的个数是____1_______;
（2）设则f的阶周期点的个数是____4_______ .
【解析】（1）得；
（2）当，即时，.由
得;当,即时，
由，得；同理可得另两个周期点.
三、解答题：本大题共6个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．(本题满分12分)
已知A，B，C是的三个内角，A，B，C对的边分别为a，b，c，设平面向量，，.
（Ⅰ）求角A的值；
（Ⅱ）若，设角B的大小为，的周长为，求的最大值.
「解析」（Ⅰ），，且
，即 …………（3分） A，B，C是的三个内角，
即，又
……………………………………………………………………（6分）
（Ⅱ）由，及正弦定理得
………………………………………………（8分）
+ …………………（10分），
，即时， ………………………………………（12分）
18．(本题满分12分)
某同学利用国庆节进行社会实践，对[25，55]岁的人群随机抽取n人进行了一次生活习惯是否符合低碳生活的调查，若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”，得到如下统计表和各年龄段人数频率分布直方图：
组数 分组 低碳族的人数 占本组的频率
第一组 120 0.6
第二组 195 p
第三组 100 0.5
第四组 a 0.4
第五组 30 0.3
第六组 15 0.3
（1）补全频率分布直方图，并求n,a,p的值；
（2）从年龄段在的“低碳族”中采用分层抽样抽取6人参加户外低碳体验生活，其中选取2人作为领队，求选取的2名领队中恰有1人年龄在岁的概率。
解：（1）第二组的频率为1-（0.04+0.04+0.03+0.02+0.01）×5=0.3
所以高为 ………………………………（2分）频率直方图如下：
第一组的人数为，频率为，所以
由题意可知，第二组的频率为0.3，所以第二组的人数为
第四组的频率为，所以第四组的人数为，所以 ………………………………（6分）
（2）因为岁年龄段的“低碳族”与岁年龄段的“低碳族”的比值为60:30=2:1，所以采用分层抽样法抽取6人，岁中有4人， 岁中有2人. …………（8分）
设岁中的4人为岁中的2人为，则选取2人作为领队的情况有：共15种，其中恰有1人年龄在 岁的情况有：，共8种. ……………………（11分）
所以选取的2名领队中恰有1人年龄在岁的概率为 ………………（12分）
19．(本题满分12分)
如图，三棱锥中，，，，.
（Ⅰ）证明：；
（Ⅱ）求直线AC与平面ABD所成的角的正弦值.
「解析」：（Ⅰ）在中，，，
， …………………………………………（2分）
又，且
，又
………………………………………………………………………（6分）
（Ⅱ）在三角形中，，，
，
由（1）可知：
………………………………………（8分） 在中， ，
在中，，，故
………………………………………（10分）
设点C到平面ABD的距离为h，CA与平面ABD所成的角为
即AC与平面ABD所成的角的正弦值为 ………………（12分）20．(本题满分13分)
已知单调递增的等比数列满足： ；
（1）求数列的通项公式；
（2）若，数列的前n项和为,求成立的正整数 n的最小值.
【解析】（1）设等比数列的首项为，公比为q，
依题意，有，解之得或；…………………………（4分）
又单调递增，∴，∴.………………………………………………….6分）
（2）依题意，, …………………………………………………（8分）
∴ ①，
∴ ②，
∴①-②得，
………………………………………………………………………（10分）
∴即为，
∵当n≤4时，；当n≥5时，.
∴使成立的正整数n的最小值为5. ………………………………………（13分）
21．(本题满分13分)
为了使“神州七号”飞船的返回仓顺利返回地面，及时将航天员救出，地面指挥中心在返回仓预计到达区域安排了三个救援点A、B、C（如图）.其中点B在点A的正东方向，且与点A相距6km；点C在点B的北偏东30°方向，且与点B相距4km.某一时刻，返回仓于点P着陆，并同时发出着陆信号.由于B、C两地比A地距着陆点P远，因此在救援点A收到信号4s后，B、C两个救援点才同时接受到返回仓的着陆信号，已知该信号的传播速度为1km/s.
（1）试确定返回仓的着陆点P相对于救援点A的位置；
（2）若返回仓在着陆点P的正上方某处发出信号，那么救援点A与B收到信号的时间差变大还是变小？说明你的理由.
【解】（1）以AB所在直线为x轴，线段AB的垂直平分线
为y轴，建立直角坐标系，则点A(－3，0)，B(3，0). ………… （2分）
过点C作x轴的垂线，垂足为D，由已知，|BC|＝4，
∠CBD＝60°.则|BD|＝4cos60°＝2，|CD|＝4sin60°＝，
所以C(5，). 因为|PB|＝|PC|，所以点P在线段BC的垂直平分线上.
因为直线BC的斜率为tan60°＝，线段BC的中点为(4，).
所以线段BC的垂直平分线方程为是，即.
因为|PB|－|PA|＝4，所以点P在以A、B为焦点的
双曲线左支上，且双曲线方程为.…………（4分）
由，
即(11x－32)(x＋8)＝0. 因为x＜0，所以x＝－8，点P(－8，).过点P作x轴的垂线，垂足为E，则|AE|＝5，|PE|＝.所以|PA|＝10，tan∠PAE＝，即∠PAE＝60°.
故着陆点P位于救援点A的北偏西30°，且与点A相距10km. …………（8分）
（2）设返回仓在着陆点P的正上方点M处发出信号，|PM|＝h，|PA|＝a，|PB|＝b，如图.
则
.
故救援点A与B收到信号的时间差变小. …………………………（13分）
22． (本题满分13分)
已知函数
（1）讨论函数的单调性；
（2）若函数在处取得极值，不等式对恒成立，求实数的取值范围；
（3）当时，证明不等式
解：（1）函数的定义域是且…………………………（1分）
当时，，从而，函数在上单调递减；
当时，若，则，从而；
若，则，从而，
所以函数在上单调递减，在上单调递增. …………………（4分）
（2）由（1）可知，函数的极值点是，若，则.
若在上恒成立，即在上恒成立，只需在上恒成立. ………………………………………………（6分）
令，则，
易知为函数在内唯一的极小值点，也是最小值点，故，即=，故只要即可.
所以b的取值范围是.……………………………………………………（8分）
（3）由题意可知，要证不等式成立，只需证.
构造函数,则，因为在上单调递增，由于，所以，所以，即.
……………………………………………………………………………………………（13分）
3
4
2
左视图
主视图
俯视图
A
B
D
C
P
C
B
A
A
B
C
P
D
x
y
O
E
A
B
M
P