人教A版高中数学必修第一册第一章 集合与常用逻辑用语1.4 《充要条件》课件(共22张PPT)

(共22张PPT)
第一章　§1.4　充分条件与必要条件
1.4.2　充要条件
1.如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有 _ ，又有 ，就记作 ，此时，p既是q的充分条件，也是q的必要条件，我们说p是q的充分必要条件，简称为 条件.
2.如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件.概括地说，如果p q，那么p与q互为 条件.
知识点　充要条件
p q
q p
p q
充要
充要
思考1　若p是q的充要条件，则命题p和q是两个相互等价的命题.这种说法对吗？
答案　正确.若p是q的充要条件，则p q，即p等价于q，故此说法正确.
思考2　“p是q的充要条件”与“p的充要条件是q”的区别在哪里？
答案　(1)p是q的充要条件说明p是条件，q是结论.
(2)p的充要条件是q说明q是条件，p是结论.
自主检测
YU XI XIAO CE ZI WO JIAN YAN
1.“x>1”是“x＋2>3”的_______条件.
解析　当x>1时，x＋2>3；
当x＋2>3时，x>1，所以“x>1”是“x＋2>3”的充要条件.
充要
2.“(2x－1)x＝0”是“x＝0”的____________条件.
必要不充分
解析　设命题p：(2x－1)x＝0，命题q：x＝0，则命题p：x＝0或x＝ ，
故p是q的必要不充分条件.
3.△ABC是锐角三角形是∠ABC为锐角的____________条件.
充分不必要
4.若p是q的充要条件，q是r的充要条件，则p是r的_______条件.
充要
解析　因为p q，q r，所以p r，
所以p是r的充要条件
2
题型探究
PART TWO
例1　指出下列各组命题中，p是q的什么条件(“充分不必要条件” “必要不充分条件”“充要条件”“既不充分又不必要条件”).
一、充分、必要、充要条件的判断
∴p是q的充分不必要条件.
(2)p：－1≤x≤5，q：x≥－1且x≤5；
解　∵－1≤x≤5 x≥－1且x≤5，
∴p是q的充要条件.
(3)p：x＋2≠y，q：(x＋2)2≠y2；
解　由q：(x＋2)2≠y2，
得x＋2≠y，且x＋2≠－y，又p：x＋2≠y，
故p是q的必要不充分条件.
(4) p：a是自然数；q：a是正数.
解　0是自然数，但0不是正数，故p q；
故p是q的既不充分又不必要条件.
反思感悟
判断充分条件、必要条件及充要条件的三种方法
(1)定义法：直接判断“若p，则q”以及“若q，则p”的真假.
(2)集合法：即利用集合的包含关系判断.
(3)传递法：充分条件和必要条件具有传递性，即由p1 p2 … pn，可得p1 pn；充要条件也有传递性.
例2　设a，b，c为△ABC的三边，求证：方程x2＋2ax＋b2＝0与x2＋2cx－b2＝0有公共根的充要条件是∠A＝90°.
二、充要条件的证明
证明　必要性：设方程x2＋2ax＋b2＝0与x2＋2cx－b2＝0有公共根x0，
可得b2＋c2＝a2，故∠A＝90°.
充分性：∵∠A＝90°，∴b2＝a2－c2. ①
将①代入方程x2＋2ax＋b2＝0，
可得x2＋2ax＋a2－c2＝0，
即(x＋a－c)(x＋a＋c)＝0.
将①代入方程x2＋2cx－b2＝0，
可得x2＋2cx＋c2－a2＝0，
即(x＋c－a)(x＋c＋a)＝0.
故两方程有公共根x＝－(a＋c).
∴方程x2＋2ax＋b2＝0与x2＋2cx－b2＝0有公共根的充要条件是∠A＝90°.
反思感悟
充要条件证明的两个思路
(1)直接法：证明p是q的充要条件，首先要明确p是条件，q是结论；其次推证p q是证明充分性，推证q p是证明必要性.
(2)集合思想：记p：A＝{x|p(x)}，q：B＝{x|q(x)}，若A＝B，则p与q互为充要条件.
三、充要条件的应用
例3　已知p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0)，若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围.
解　p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0).
因为p是q的必要不充分条件，
所以q是p的充分不必要条件，
即{x|1－m≤x≤1＋m}?{x|－2≤x≤10}，
解得m≤3.
又m>0，
所以实数m的取值范围为{m|0变式探究
1.若本例中“p是q的必要不充分条件”改为“p是q的充分不必要条件”，其他条件不变，求实数m的取值范围.
解　p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0).
因为p是q的充分不必要条件，
设p代表的集合为A，q代表的集合为B，
所以A?B.
解不等式组得m>9或m≥9，所以m≥9，
即实数m的取值范围是m≥9.
2.本例中p，q不变，是否存在实数m使p是q的充要条件？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由.
解　因为p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0).
故不存在实数m，使得p是q的充要条件.
反思感悟
应用充分不必要、必要不充分及充要条件求参数值(范围)的一般步骤
(1)根据已知将充分不必要条件、必要不充分条件或充要条件转化为集合间的关系.
(2)根据集合间的关系构建关于参数的方程(组)或不等式(组)求解.
3
课堂练习：课本P22
PART THREE
课堂小结
KE TANG XIAO JIE
1.知识清单：
(1)充要条件概念的理解.
(2)充要条件的证明.
(3)充要条件的应用.
2.方法归纳：等价转化.
3.常见误区：条件和结论辨别不清.
4
课后作业
PART FOUR
本课结束