精讲精练·专项突破 第七章《复数》单元能力提升（含详细解析） (34)

精讲精练·专项突破
2021-2022学年高一下学期人教版（2019）
第七章 《复数》 单元能力提升（含详细解析）
一、单选题
1．（2020高一下·辽宁期中）复数z满足 ，则 （　　）．
A． B． C．1 D．
2．（2021高二下·海南期末）若 ，则 （　　）
A．1 B． C．3 D．
3．（2021高一下·保定期末）已知 ，则 （　　）
A． B．13 C． D．
4．（2020高二下·顺德期中） （　　）
A． B． C． D．
5．（2021高二上·包头期末）对于非零实数a，b，以下四个式子均恒成立，对于非零复数a，b，下列式子仍然恒成立的是（　　）
A． B． C． D．
6．（2020高一下·天津期中）复数 的虚部为（　　）
A． B． C．3 D．-7
7．（2020高二下·辽阳期末）已知复数 ，则
A． 的虚部为
B． 在复平面内对应的点位于第一象限
C．
D． 在复平面内对应的点位于第四象限
8．已知复数 ，则Z的虚部为（　　）
A．－1 B． C．1 D．
二、多选题
9．（2021高二下·普宁期中）设有下面四个命题：
若复数z满足，则． 若复数z满足，则．
若复数，则． 若复数，满足，则．其中真命题的是（　　）
A． B． C． D．
10．（2021高一下·常熟期中）已知复数z在复平面上对应的点为 ， 为虚数单位，则下列正确的是（　　）
A． B． C． D． 是实数
11．（2021高一下·宿迁期末）设i为虚数单位，复数 ， ，则下列命题正确的是（　　）
A．若 为纯虚数，则 的值为2
B．若 在复平面内对应的点在第三象限，则实数 的取值范围是
C．实数 是 （ 为 的共轭复数）的充分不必要条件
D．若 ，则实数 的值为
12．（2021高一下·泰州期末）下列说法正确的有（　　）
A．设 ， 是两个虚数，若 和 均为实数，则 ， 是共轭复数
B．若 ，则 与 互为共轭复数
C．设 ， 是两个虚数，若 与 是共轭复数，则 和 均是实数
D．若 ，则 与 互为共轭复数
三、填空题
13．已知 ，则复数 在复平面内表示的点在第　 　象限.
14．（2022高三上·浦东模拟）已知复数z=1+2i（i是虚数单位），则|z|=　 　．
15．（2020高三上·黄浦期中）若复数 是纯虚数，其中i是虚数单位，则实数 　 　．
16．（2020高二下·台州期中）已知复数 若复数 是实数，则实数 　 　；若复数 对应的点位于复平面的第二象限，则实数的取值范围为　 　.
四、解答题
17．实数m取什么值时，复数 是：
（1）实数
（2）虚数
（3）纯虚数
（4）表示复数z的点在第一象限
18．（2021高一下·潍坊期末）已知复数 ， ．
（1）求 和 的值；
（2）若 是关于 的实系数方程 的一个根，求实数 ， 的值．
19．（2020高二下·阳江月考）设复数 ，其中 ，当a取何值时：
（1） ；
（2） 是纯虚数；
（3）z是零.
20．（2020高二下·佛山月考）已知z为复数， 和 均为实数，其中i是虚数单位．
（1）求复数z和 ；
（2）若 在第四象限，求实数m的取值范围．
21．（2020高二下·吉林月考）已知复数 z1=a-2i ， （ ，i为虚数单位）.
（1）若 是纯虚数，求实数a的值；
（2）若复数 在复平面上对应的点在第四象限，求实数a的取值范围.
22．（2020高二下·广州月考）已知 是复平面内的平行四边形，顶点A，B，C对应的复数分别为 ， ， .
（1）求点D对应的复数为 ；
（2）令复数 ，当实数 取什么值时，复数z表示的点位于第二或四象限.
答案解析部分
1．【答案】B
【考点】复数代数形式的乘除运算；复数求模
【解析】【解答】由题意，复数 ，得 ，
∴ ．
故答案为：B．
【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式，即可求解，得到答案．
2．【答案】B
【考点】复数代数形式的混合运算；复数求模
【解析】【解答】 ，所以 .
故答案为：B.
【分析】利用复数的运算法则，模的计算公式，即可得出答案。
3．【答案】A
【考点】复数代数形式的混合运算；复数求模
【解析】【解答】依题意得 ，所以 。
故答案为：A.
【分析】利用复数的混合运算法则求出复数z，再利用复数求模公式，从而求出复数的模。
4．【答案】D
【考点】虚数单位i及其性质；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】 .
故答案为：D
【分析】按照复数的运算规则进行运算即可.
5．【答案】A
【考点】复数代数形式的混合运算；复数求模
【解析】【解答】不妨令，，
A：，
从而，A符合题意；
B：，
当，时，，B不符合题意；
因为复数的平方可能还是虚部不为0的复数，而虚部不为0的复数不能与实数比较大小且不等于实数，CD不符合题意.
故答案为：A
【分析】首先根据题意设出a与b的复数形式，然后由复数代数形式的运算性质整理，结合复数模的运算性质，由此对选项逐一判断即可得出答案。
6．【答案】C
【考点】复数代数形式的混合运算
【解析】【解答】因为 ，
故 ，
故其虚部为 .
故答案为：C.
【分析】先求得 ，再利用复数运算法则，化简复数后，求其虚部即可.
7．【答案】B
【考点】虚数单位i及其性质；复数的基本概念
【解析】【解答】解： ，
的虚部为2，故 错误；
在复平面内对应的点的坐标为 ，位于第一象限，故 正确， 错误；
若两个复数不都是实数，则不能比较大小，故 错误．
故答案为：B．
【分析】 由已知结合复数的基本概念及复数的代数表示法及其几何意义逐一核对四个选项得答案．
8．【答案】A
【考点】复数代数形式的混合运算
【解析】【解答】 ，故Z的虚部为 .
故答案为：A.
【分析】分子分母同乘分母的共轭复数即可.
9．【答案】A,C
【考点】复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算；复数代数形式的加减运算
【解析】【解答】设复数，则，
对于 . 因为 所以 ，则 ,故 正确；
，因为 所以 或 ，
当 时， 为纯虚数，故 不正确；
若 则 ， ，故 正确；
设 ，由 则 ，
当 时，满足条件，此时 ，但 ，故 不正确，
故答案为：AC
【分析】由复数的概念及四则运算逐项判断即可。
10．【答案】C,D
【考点】复数的基本概念；复数的代数表示法及其几何意义；复数求模
【解析】【解答】根据题意得 ， ， ， ，
所以A,B选项错误，C,D选项正确。
故答案为：CD
【分析】利用复数的几何意义求出复数的代数表达式，再利用复数求模公式，从而求出复数的模，再利用复数与共轭复数的关系，从而求出复数z的共轭复数，再利用复数的加法运算法则结合复数为实数的判断方法，从而选出正确的选项。
11．【答案】A,D
【考点】复数的代数表示法及其几何意义；复数代数形式的乘除运算；复数求模
【解析】【解答】 （ ），
若 为纯虚数，则 ，解得 ，A符合题意；
若 在复平面内对应的点在第三象限，则 ，解得 ，B不符合题意；
当 时， ，显然 ；反过来，若 ，即 ，则 ，解得 . 所以 是 的充分必要条件，C不符合题意；
若 ，则 ，即 ，解得 ，D符合题意.
故答案为：AD.
【分析】首先应用复数的乘法得 （ ），再根据纯虚数概念，复数所在象限，以及与共轭复数或另一个复数相等，求参数的值或范围，进而可得答案。
12．【答案】A,B,C
【考点】虚数单位i及其性质
【解析】【解答】A.设 i， , i, , i是实数，所以 , i是实数，所以 所以 ，所以则 ， 是共轭复数，所以该选项正确；
B. 若 ，则 ， ，所以 与 互为共轭复数，所以该选项正确；
C.设 i， , i, 则 是实数， 是实数，所以该选项正确；
D. 若 ，则 与 不一定互为共轭复数，如 i, i,所以该选项错误.
故答案为：ABC
【分析】 对于选项A:设z1 = a+bi，z2 =c+ di, (a,b,c,d∈R),由题意可b≠0，d≠0，b+d= 0， ad + bc= 0，从而判断；对于选项B:易知 ，从而判断；对于选项C:设z1 = a+ bi，则z2 =a-bi,(a,b∈R,b≠0),从而判断；对于选项D:取z1 = 3+i，z2 =4- i，从而判断.
13．【答案】二
【考点】复数的代数表示法及其几何意义
【解析】【解答】因为 ，
所以 ，所以复数 表示的点 落在第二象限.
故答案为：二
【分析】首先由复数的运算性质整理，再由复数的几何意义即可得出答案。
14．【答案】
【考点】复数求模
【解析】【解答】复数z=1+2i（i是虚数单位），则|z|==。
故答案为：。
【分析】利用已知条件结合复数求模公式，进而求出复数的模。
15．【答案】2
【考点】虚数单位i及其性质
【解析】【解答】 复数 是纯虚数， ， .
故答案为2．
【分析】根据纯虚数的概念即可求解．
16．【答案】-3；
【考点】复数的代数表示法及其几何意义
【解析】【解答】 为实数，则 ，解得 或-3，又 ，所以 ．
对应点在第二象限，则 ，解得 ．
故答案为：-3； ．
【分析】根据复数的定义和复数的几何意义解答。
17．【答案】（1）解：若 是实数
则 ，解得 或
（2）解：若 是虚数
则 ，解得 且
（3）解：若 是纯虚数
则 且 ，解得
（4）解：表示复数 的点为 ，要在第一象限，
则有 ，解得 或
【考点】复数的基本概念
【解析】【分析】（1）由条件可得 ，解出即可（2）由条件可得 ，解出即可（3）由条件可得 且 ，解出即可（4）由条件可得 ，解出即可
18．【答案】（1）由题意，复数 ， ．
所以 ，
．
（2）因为 是关于 的实系数方程 的一个根，
所以 ，整理得 ，
可得 ，解得 ，所以 ， ．
【考点】复数相等的充要条件；复数代数形式的乘除运算；复数代数形式的加减运算
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合复数的加法和乘法运算法则，从而求出 和 的值。
（2）利用 是关于 的实系数方程 的一个根结合代入法和复数的混合运算法则，再利用复数相等的等价关系，从而求出m,n的值。
19．【答案】（1）解：当 ，即 或 时，
（2）解：当 ，即 时，z是纯虚数
（3）解：当 ，即 时，z是零.
【考点】复数的代数表示法及其几何意义
【解析】【分析】（1）当 时 （2）当 时z是纯虚数（3）当 时 是零
20．【答案】（1）解：设 ，则 ，
由 为实数，得 ，则 ，
由 为实数，得 ，则 ，
∴ ，则 ；
（2）解：由 在第四象限，
得 ，解得 ，
故m的取值范围为 ．
【考点】复数的代数表示法及其几何意义；复数求模
【解析】【分析】 （1） 设 ，则 ， 由虚部为0求得b，代入，由其虚部为0求得a，则复数z和|z|可求；
（2）由 的实部大于0且虚部小于0联立不等式组求解。
21．【答案】（1）解：依据
根据题意 是纯虚数， ， ；
（2）解：根据题意 在复平面上对应的点在第四象限，可得
，
所以，实数a的取值范围为
【考点】复数的基本概念；复数的代数表示法及其几何意义
【解析】【分析】(1)由纯虚数概念明确实数 的值；(2) 点在第四象限推出实部大于零，虚部小于零.
22．【答案】（1）解：由已知可得A(1,-3),B(0,-1),C(2,4)，设D(x,y)，即
因为在复平面内ABCD是平行四边形，即 ，则(x-1,y+3)= (2,5),
所以点D的坐标为(3,2)
故 =3+2i
（2）解：将已知整理可得z=(m-2)+(-3m-4)i，m∈R
所以复数z表示的点为(m-2,-3m-4).
由复数 表示的点位于第二或四象限可得(m-2)(-3m-4)<0,即(m-2)(3m+4)>0,
解得m< 或m>2,
故实数m的取值范围是 时，复数z表示的点位于第二、四象限.
【考点】平面向量坐标表示的应用；复数的代数表示法及其几何意义
【解析】【分析】（1）由复数的几何表示将已知复数表示为坐标形式，设D (x, y)，进而表示 ，由ABCD是平行四边形，即 构建不等式组，解得D点坐标，进而表示复数 ；（2）将已知整理可得z= (m- 2)+(-3m- 4)i，进而表示对应的点坐标，由已知点位于第二或四象限，则横纵坐标乘积为负构建不等式，解得答案.
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