精讲精练·专项突破 第七章《复数》单元能力提升（含详细解析） (36)

精讲精练·专项突破
2021-2022学年高一下学期人教版（2019）
第七章 《复数》 单元能力提升（含详细解析）
一、单选题
1．（2020高二下·吉林月考）若为 实数,且 ,则 （　　）
A．-4 B．-3 C．3 D．4
2．（2021高三上·海安开学考）若复数 满足 ，其中 是虚数单位，则 （　　）
A． B． C． D．
3．（2020高二下·哈尔滨期末）在复平面内，复数 对应的点位于（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
4．（2020高二下·邢台开学考）若复数z满足 ，则（　　）
A． B． C． D．
5．（2020·汕头模拟）下列各式的运算结果虚部为1的是（　　）
A． B． C． D．
6．（2020高二下·吉林月考）已知复数 满足 ，则 的最小值为（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
7．（2021高二下·白城期末）现有下面四个命题：
①若 ，则 ；
②若 ， ，则 ；
③如果今天是2021年6月22日（星期二），那么两百天后是星期六；
④若数列 满足 ， ，则由数学归纳法可证明 ．
其中所有真命题的序号是（　　）
A．②④ B．②③④ C．②③ D．①③
8．（2020高一下·天津期中）已知 ， ，则 的最大值和最小值分别是（　　）
A． 和 B．3和1
C． 和 D． 和3
二、多选题
9．（2020高二上·沧县期末）已知复数 则（　　）
A． 是纯虚数 B． 对应的点位于第二象限
C． D．
10．（2020高二下·张家港期中）已知复数 满足 ，在复平面内，复数 对应的点可能在（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
11．（2021高一下·湖南期末）下列命题中，真命题有（　　）
A．若复数 ，则
B．若复数 满足 ，则 或
C．若复数 ，则
D．若复数 满足 ，则 且
12．（2021高一下·南平期末）若复数 满足 （ 为虚数单位），则下列结论正确的是（　　）
A．
B．
C． 的共轭复数
D． 是方程 的一个根
三、填空题
13．（2020高一下·滕州月考）若复数 满足： ，则 　 　.
14．（2021·南昌模拟）已知单位向量 ，若 ，则 　 　．
15．（2021·绍兴模拟）已知平面向量 满足： ，则 的最大值是　 　.
16．（2021·黄浦模拟）已知 的二项展开式中的常数项的值是 ，若 (其中 是虚数单位)，则复数 的模 　 　.(结果用数值表示)
四、解答题
17．（2020高二下·广东期中） ，i为虚数单位，m为实数．
（1）当 为纯虚数时，求m的值；
（2）当复数 在复平面内对应的点位于第四象限时，求m的取值范围．
18．（2021高一下·南开期末）已知复数 ， （其中 为虚数单位）．
（Ⅰ）求复数 ；
（Ⅱ）若复数 在复平面内所对应的点在第四象限，求实数 的取值范围．
19．（2020高二下·张家港期中）已知 ， 为虚数，且满足 ， ．
（1）若 是纯虚数，求 ；
（2）求证： 为纯虚数．
20．（2020高一下·河西期中）设z1是虚数，z2＝z1 是实数，且﹣1≤z2≤1．
（1）求|z1|的值以及z1的实部的取值范围；
（2）若ω ，求证ω为纯虚数；
（3）求z2﹣ω2的最小值．
21．（2020高二下·虹口期末）已知i是虚数单位，复数 满足方程 ( )，求实数a b的值.
22．（2021高一下·宁波期中）已知，关于的方程有实根，求复数的模的最小值．
答案解析部分
1．【答案】D
【考点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】由题意可得 ,
故答案为：D.
【分析】利用复数的乘除法运算法则结合复数相等的充要条件，从而求出a的值。
2．【答案】A
【考点】复数的代数表示法及其几何意义；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】 。
故答案为：A
【分析】利用已知条件结合复数的乘除法运算法则，进而求出复数z。
3．【答案】B
【考点】复数的代数表示法及其几何意义
【解析】【解答】由 ，
在复平面内对应的点的坐标为 ，
位于第二象限.
故答案为：B.
【分析】先利用复数的乘法运算进行化简，再利用复数的几何意义选出答案.
4．【答案】B
【考点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】∵复数 满足 ，
∴ ，
故 ．
故答案为：B
【分析】根据复数的代数运算法则，求出复数z，再求出z的共轭复数。
5．【答案】D
【考点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】对于A， ，虚部为 ；
对于B， ，虚部为 ；
对于C， ，虚部为 ；
对于D， ，虚部为1；
故答案为：D
【分析】利用复数的乘除运算化简即可求解.
6．【答案】B
【考点】复数求模
【解析】【解答】设 ， ，
∴ ，∴ ，
∴ ，
则 = = ≥ ．
当 时取等号．
故答案为：B．
【分析】设 ，根据 ，可得 的轨迹方程，代入 ，即可得出．
7．【答案】B
【考点】命题的真假判断与应用；函数的周期性；复数的基本概念；复数求模；正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义；概率的应用；数学归纳法
【解析】【解答】若 ，则 ，则 ，故①是假命题．
若 ， ，则 ，故②是真命题．
因为 ，所以③是真命题．
因为 ， ，所以当 时，满足 ．
假设当 时， ，则 ，
即当 时， 也成立，故④是真命题。
故答案为：B．
【分析】利用复数与共轭复数的关系结合已知条件，从而求出复数z，再利用复数的加法运算法则结合复数求模公式，从而求出；利用随机变量X服从正态分布结合对应的函数的图像的对称性，从而结合已知条件求出；利用数列的周期性，从而得出，进而推出如果今天是2021年6月22日（星期二），那么两百天后是星期六；利用已知条件结合递推公式合数学归纳法证明方法，从而证出 ，进而找出真命题的序号。
8．【答案】A
【考点】复数的代数表示法及其几何意义
【解析】【解答】因为 ，设 ，则 ,表示 在以 为圆心 为半径的圆上，则 表示 到 的距离，根据圆的几何性质可知，圆 上的动点到点 的最大值为 ，最小值为 ，
故答案为：A.
【分析】利用 ，设 ，则 ,再利用复数z的几何意义结合圆的几何性质，最后利用两点距离公式，从而求出 的最大值和最小值。
9．【答案】A,D
【考点】复数的基本概念；复数的代数表示法及其几何意义；复数求模
【解析】【解答】利用复数的相关概念可判断A符合题意；
对于B选项， 对应的点位于第四象限，B不符合题意；
对于C选项， ，则 ，C不符合题意；
对于D选项， ，则 ，D符合题意.
故答案为：AD
【分析】利用纯虚数的定义，从而得出复数 是纯虚数；再利用复数的加减法运算法则求出复数 ，再利用复数的几何意义求出复数 对应的点的坐标，再利用点的坐标确定点所在的象限；再利用复数的加减法运算法则求出复数，再利用复数求模公式，从而求出复数的模；再利用复数的乘除法运算法则，从而求出复数，再利用复数求模公式，进而求出复数的模，进而找出正确的选项。
10．【答案】B,D
【考点】复数的代数表示法及其几何意义
【解析】【解答】设复数 ，
则 ，
所以 ，
则 ，解得 或 ，
因此 或 ，所以对应的点为 或 ，
因此复数 对应的点可能在第二或第四象限.
故答案为：BD.
【分析】利用复数的乘除法运算法则结合复数相等的判断方法，进而求出复数z，再利用复数的几何意义，进而求出复数z对应的点的坐标，再利用点的坐标的位置，进而求出点所在的象限，进而求出 复数 对应的点可能所在的象限。
11．【答案】A,C
【考点】复数相等的充要条件；复数求模
【解析】【解答】A.由条件 可知， 和 互为共轭复数，即 ， ，
那么 ，A符合题意；
B.两个复数的模相等，不能推出两个复数相等或是共轭复数，比如， ， ，B不正确；
C. 由条件 可知， 和 互为共轭复数，则 ，C符合题意；
D.若 ， ，满足 ，则 且 ，D不正确.
故答案为：AC
【分析】利用复数的共轭，复数的模，及复数的运算，逐项进行分析，即可得出答案。
12．【答案】B,D
【考点】复数代数形式的乘除运算；复数求模
【解析】【解答】设 ，则 ，可得 ，解得 ，所以， ，A不符合题意；
，B对；
，C不符合题意；
解方程 ，即 ，解得 或 ，D对.
故答案为：BD.
【分析】 利用待定系数法求出复数z,即可判断选项A,由复数模的定义可判断选项B,由共轭复数的定义可判断选项C,由复数的运算即可判断选项D.
13．【答案】
【考点】复数求模
【解析】【解答】因为 ，故 ，故 ，填 .
【分析】利用复数的除法求出 后可得其模.
14．【答案】
【考点】复数代数形式的混合运算；复数求模
【解析】【解答】解：由得，解得
则
故答案为：
【分析】根据向量的运算，结合向量的求模公式直接求解即可.
15．【答案】
【考点】复数求模
【解析】【解答】由 ，又 ，所以可知
又 ，所以
设 的终点为 ， 的终点为 ，其中
由 ①，设 ，
则 ，
所以 ， ②
将②代入①并化简可得
令设 ，
所以
当 时，
故答案为：
【分析】由 ，又 ，所以可知 ，设 的终点为 ， 的终点为 ，则 ，令设 ， 进而求出 的最大值 。
16．【答案】5
【考点】复数相等的充要条件；复数求模；二项式定理
【解析】【解答】 的二项展开式的通项为：
令 ，得 ，可得常数项为
，则复数 的模
故答案为：5
【分析】 由题意利用二项展开式的通项公式，求出a的值，根据复数相等，求出z，可得z的模．
17．【答案】（1）解：由z为纯虚数得 ，解得 ；
（2）解：复数 ，
因为复数 位于第四象限，所以 ，解得 或 ．
故 的取值范围为 .
【考点】复数的基本概念；复数代数形式的混合运算
【解析】【分析】（1）根据纯虚数的概念可得出关于m的等式与不等式，进而可求得实数m的值；（2）将复数 表示为一般形式，结合条件得出该复数的实部为正数、虚部为负数，可得出关于实数 的不等式组，即可解得实数 的取值范围.
18．【答案】（Ⅰ） ；
（Ⅱ） ，
因为复数 在复平面内所对应的点在第四象限，
所以 ，解得： .
【考点】复数的代数表示法及其几何意义；复数代数形式的乘除运算
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合复数的乘除法运算法则，从而求出复数 。
（2）利用已知条件结合复数的乘法运算法则求出复数 ，再利用复数的几何意义求出复数对应的点的坐标，再结合点的坐标确定点所在的象限，再利用复数 在复平面内所对应的点在第四象限，从而求出实数 的取值范围。
19．【答案】（1）解：设 ，
则 ，
因为 ， 是纯虚数，
所以 ，解得 或 ，
因此 或 ；
（2）解：若 ，则 是纯虚数；
若 ，则 也是纯虚数；
综上， 为纯虚数.
【考点】复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算
【解析】【分析】（1）利用复数的乘法运算法则求出复数 ，再利用纯虚数的判断方法结合复数的模求解公式和已知条件，进而求出复数 。
（2）利用复数的乘除法运算法则求出复数 ，再利用纯虚数的判断方法，进而证出复数 为纯虚数。
20．【答案】（1）解：设z1＝a+bi，（a，b∈R，且b≠0），
则z2＝z1 （a+bi） （a+bi） （a+bi） （a ）+（b ）i，
因为z2是实数，
所以b 0，即b（ ）＝0，
因为b≠0，所以a2+b2＝1，
即|z1|＝1，且z2＝2a，
由﹣1≤z2≤1，得﹣1≤2a≤1，解得 a ，
即z1的实部的取值范围为[ ， ]．
（2）解：∵a2+b2＝1，
ω ，
因为 a ，b≠0，
所以ω 为纯虚数．
（3）解：z2﹣ω2＝（a ）+（b ）i﹣（ ）2，
＝2a+（b﹣b）i
＝2a
＝2a
＝1
＝1
＝1
＝1+2（a+1）﹣4
＝2（a+1） 3，a+1∈[ ， ]，
当2（a+1） 时，即a＝0时，z2﹣ω2取最小值1．
【考点】基本不等式；复数代数形式的混合运算
【解析】【分析】（1）设z1代数形式代入z2，根据z2是实数，求得|z1|，再根据﹣1≤z2≤1，求得z1的实部的取值范围；（2）根据复数除法法则化简ω，再根据纯虚数概念判断证明；（3）先化简z2﹣ω2，再利用基本不等式求最小值．
21．【答案】解：
，
所以 ，
由 ，所以 ， .
【考点】复数相等的充要条件；复数代数形式的乘除运算；复数求模
【解析】【分析】利用复数的乘除运算化简，再利用复数模的求法、共轭复数的概念、复数相等即可求解.
22．【答案】解：设，设方程的实根为，代入方程得：
即
当且仅当时取等号，即．
【考点】基本不等式在最值问题中的应用；复数相等的充要条件
【解析】【分析】 设，设方程的实根为，代入方程得： ，再结合复数相等的等价关系和均值不等式求最值的方法得出复数 的模的最小值。
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