精讲精练·专项突破 第七章《复数》单元能力提升（含详细解析） (39)

精讲精练·专项突破
2021-2022学年高一下学期人教版（2019）
第七章 《复数》 单元能力提升（含详细解析）
一、单选题
1．（2021·邵阳模拟）已知复数 （ 为虚数单位），则 （　　）
A．1 B． C． D．2
【答案】B
【考点】复数代数形式的混合运算；复数求模
【解析】【解答】解：由题意得，则
故答案为：B
【分析】根据复数的运算，结合复数的模求解即可.
2．若 为虚数单位，则复数 在复平面上对应的点位于（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【考点】复数的代数表示法及其几何意义；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】由题意，根据复数的运算，可得 ，
所对应的点为 位于第四象限.
故选D.
【分析】根据复数的运算，化简得到 ，再结合复数的表示，即可求解，得到答案．
3．（2020高三上·汕头月考）已知 是实数， 是纯虚数，则 （　　）
A．1 B． C．-1 D．
【答案】C
【考点】复数的基本概念；复数代数形式的混合运算
【解析】【解答】解：
所以 ，
故答案为：C.
【分析】由复数代数形式的运算性质整理化简，再由复数的定义即可得出答案。
4．（2020·哈尔滨模拟）已知复数z满足 则 （　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【考点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：B．
【分析】由题意得 ，从而根据复数代数形式的除法运算求出z，再根据共轭复数的定义求出 ．
5．（2021·青岛模拟）18世纪末期，挪威测量学家威塞尔首次利用坐标平面上的点来表示复数，使复数及其运算具有了几何意义，例如， ，也即复数 的模的几何意义为 对应的点 到原点的距离．在复平面内，复数 （ 是虚数单位， ）是纯虚数，其对应的点为 ， 为曲线 上的动点，则 与 之间的最小距离为（　　）
A． B．1 C． D．2
【答案】B
【考点】虚数单位i及其性质；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】由 ，
因为复数 （ 是虚数单位， ）是纯虚数，所以 得
所以 ，则
由于 ，故设 且 ，
所以
故 与 之间的最小距离为1
故答案为：B．
【分析】 利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部为0且虚部不为0求得a，可得z0，再由几何意义求解．
6．已知 ，若 ( 为虚数单位)是实数，则实数 等于（　　）
A．1 B．2 C． D．
【答案】A
【考点】复数代数形式的乘除运算；复数代数形式的加减运算
【解析】【解答】
由 为实数，则 ，所以
故答案为：A
【分析】由复数的除法和加法运算化简 ，再由 为实数可得出答案.
7．（2020高二下·东海期中）已知复数 ， 为虚数单位，则 的最小值是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【考点】函数的最值及其几何意义；复数的代数表示法及其几何意义；复数代数形式的混合运算
【解析】【解答】解：复数 满足 （ 是虚数单位），复数 表示，复平面上的点到 的距离为1的圆．
的几何意义是圆上的点与 的距离，
所以最小值为： ．
故答案为：C．
【分析】根据题意由复数代数形式的几何意义结合两点间的距离公式计算出结果即可。
8．（2020高二下·广东月考）设 ，其中x，y是实数，则 （　　）
A．1 B． C． D．2
【答案】B
【考点】复数的基本概念；复数相等的充要条件
【解析】【解答】 ，．
由（1-i）x=1+yi，得x-xi=1+yi，
∴x=1,y=-1，
则|x-yi|=|1+i|= ．
故答案为：B.
【分析】由复数相等的条件列式求得x，y的值，再由复数模的公式计算.
二、多选题
9．（2020高一下·临沂期末）设i为虚数单位，复数 ，则下列命题正确的是（　　）
A．若 为纯虚数，则实数a的值为2
B．若 在复平面内对应的点在第三象限，则实数a的取值范围是
C．实数 是 （ 为 的共轭复数）的充要条件
D．若 ，则实数a的值为2
【答案】A,C,D
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；复数相等的充要条件；复数的代数表示法及其几何意义；复数求模
【解析】【解答】 ，
∴A： 为纯虚数，有 可得 ，故正确；
B： 在复平面内对应的点在第三象限，有 解得 ，故错误；
C： 时， ； 时， 即 ，它们互为充要条件，故正确；
D： 时，有 ，即 ，故正确。
故答案为：ACD
【分析】利用已知条件结合复数的乘法运算法则，从而求出复数z，再利用复数为纯虚数的判断方法，从而求出a的值；再利用复数的几何意义，从而结合已知条件复数 在复平面内对应的点在第三象限， 从而求出实数a的取值范围；利用已知条件结合充分条件、必要条件的判断方法，从而推出实数 是 （ 为 的共轭复数）的充要条件；利用复数的加减法运算法则结合复数求模公式，再结合复数相等的充要条件，从而求出实数a的值，从而求出正确命题的选项。
10．（2021高一下·厦门期末）已知 是复数 的共轭复数，下列式子中与 相等的有（　　）
A． B． C． D．
【答案】B,C,D
【考点】复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算；复数求模
【解析】【解答】设 （ ），
对于A： ，A不符合题意；
对于B： ，B符合题意；
对于C： ，C符合题意；
对于D： ，
，D符合题意。
故答案为：BCD.
【分析】利用复数与共轭复数的关系，从而求出复数z的共轭复数，再利用数量积求向量的模的公式，从而求出与 相等的式子。
11．（2020高一下·滕州月考）已知集合 ，其中i为虚数单位，则下列元素属于集合M的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B,C
【考点】元素与集合关系的判断；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】根据题意， 中，
时， ；
时，
； 时， ；
时， ，
.
选项A中， ；
选项B中， ；
选项C中， ；
选项D中， .
故选：BC.
【分析】根据集合求出集合内部的元素，再对四个选项依次化简即可得出选项.
12．（2020高一下·海南期末）设复数z满足 ,i为虚数单位,则下列命题正确的是(　　)
A．
B．复数z在复平面内对应的点在第四象限
C．z的共轭复数为
D．复数z在复平面内对应的点在直线 上
【答案】A,C
【考点】复数的代数表示法及其几何意义；复数求模
【解析】【解答】 ,A符合题意;复数z在复平面内对应的点的坐标为 ,在第三象限,B不正确;z的共轭复数为 ,C符合题意;复数z在复平面内对应的点 不在直线 上,D不正确.
故答案为：AC
【分析】根据复数的模、复数对应点的坐标、共轭复数等知识，选出正确选项.
三、填空题
13．（2020高二下·静安期末） 的平方根为　 　．
【答案】±i
【考点】虚数单位i及其性质
【解析】【解答】 ，因此， 的平方根为 .
故答案为 .
【分析】根据 可得出-1的平方根.
14．（2020高二下·平谷期末）已知复数 ，那么 　 　
【答案】
【考点】复数代数形式的乘除运算；复数求模
【解析】【解答】因为 ，
所以 。
故答案为： 。
【分析】利用复数的乘除法运算法则求出复数z，再利用复数求模公式，进而求出复数z的模。
15．设复数z满足(3﹣i)z＝ ，其中i为虚数单位，则z的模是　 　．
【答案】1
【考点】复数代数形式的乘除运算；复数求模
【解析】【解答】解：∵(3﹣i)z＝ ，∴ ，
∴ ．
故答案为：1
【分析】先利用复数的除法求出复数z，再求复数的模得解.
16．（2020高二下·河西期中）已知复数z与 （z +2）2-8i 均是纯虚数,则 z =　 　．
【答案】-2i
【考点】虚数单位i及其性质；复数代数形式的混合运算
【解析】【解答】设
是纯虚数,则
【分析】利用复数z是纯虚数，设z=ai,从而得出复数（z +2）2-8i 的代数形式，再利用复数
（z +2）2-8i 是纯虚数的判断方法，从而求出a的值，进而求出复数z。
四、解答题
17．（2020高二下·徐州期末）复数 ．
（1）实数m取什么数时，z是实数；
（2）实数m取什么数时，z是纯虚数；
（3）实数m取什么数时，z对应的点在直线 上．
【答案】（1）解：复数 ．
由 ，解得 或 ．
或 时，复数 为实数
（2）解：由 ，解得 ．
时，复数 为纯虚数
（3）解：由 ．
化为： ，
解得 或 ．
或 ， 对应点在直线 上
【考点】复数的基本概念；复数的代数表示法及其几何意义
【解析】【分析】（1）利用复数为实数的判断方法，进而求出m的值。
（2）利用复数为纯虚数的判断方法，进而求出m的值。
（3）利用复数的几何意义求出复数对应的点的坐标，再利用复数z对应的点在直线 上，进而求出实数m的值。
18．（2021高一下·江苏期中）已知 为复数， 和 均为实数，其中 是虚数单位.
(Ⅰ)求复数 和 ；
(Ⅱ)若 在第四象限，求 的取值范围.
【答案】解：（Ⅰ）设 ，则
（Ⅱ）
或
【考点】复数的代数表示法及其几何意义；复数代数形式的混合运算；复数求模
【解析】【分析】 （Ⅰ） 根据题意首先设出，由此求出b的值再由复数代数形式的运算性质整理再结合复数模的概念即可求出答案。
(2)由已知条件结合题意以及复数代数形式的几何意义得到关于m的不等式组，求解出m的取值范围即可。
19．（2020高二下·重庆开学考）已知复数 （ ）．
（1）若复数z为纯虚数，求实数a的值；
（2）若复数z在复平面内对应的点在第二象限，求实数a的取值范围．
【答案】（1）解：由题意， 解得
（2）解：∵复数z在复平面内对应的点在第二象限，
∴ ，
解得： ．
∴实效a的取值范围是 ．
【考点】复数的基本概念；复数的代数表示法及其几何意义
【解析】【分析】(1)结合已知条件由纯虚数的定义即可求出关于a的方程组求解出结果即可。
(2)根据题意由复数的几何意义即可求出复数所对应的点的坐标，结合点的象限即可得到关于a的不等式组求解出a的取值范围即可。
20．（2021高一下·聊城期末）已知复数 ，且 是关于 的方程 的一个根．
（1）求 及 ；
（2）若复数 满足 ，则在复平面内 对应的点 的集合是什么图形？并求出该图形的面积．
【答案】（1）因 是关于 的方程 的一个根，
则 ，化简整理得 ，而 ，解得 ，
所以 ，
；
（2）复数 满足 ，由(1)得 ，
于是得在复平面内复数 对应的点 的集合是以原点为圆心，1和 为半径的两个圆所夹的圆环，包括边界，
该图形的面积 .
【考点】复数的基本概念；复数相等的充要条件；复数的代数表示法及其几何意义
【解析】【分析】（1）利用代入法结合已知条件，再结合复数相等的等价关系，从而求出a的值，进而求出复数z,再利用复数与共轭复数的关系，从而求出复数z的共轭复数，再利用复数的乘除法运算法则，从而求出 的值。
（2） 利用复数 满足 ，由(1)得 ，于是得在复平面内复数 对应的点 的集合是以原点为圆心，1和 为半径的两个圆所夹的圆环，包括边界，再结合圆的面积公式结合作差法，从而求出该图形的面积。
21．（2021高一下·泰州期末）已知复数 ，设
（1）求复数 ；
（2）若复数z满足 ， ，求 .
【答案】（1）解： ，
.
（2）设复数 (其中 ).
由 ，得 ，
所以 ，解得 .
由 ，得 ，
所以 ，解得 .
所以 ， .
【考点】复数代数形式的乘除运算；复数求模
【解析】【分析】（1）由 ，根据复数乘除运算可得复数 ；
（2） 根据已知条件，结合共轭复数的概念，复数模的定义和复数代数形式的乘法运算，即可求解.
22．（2021高二下·平顶山期中）已知复数，，，
求：
（1）求的值；
（2）若，且，求的值.
【答案】（1）解：∵z1-z2=（cosα-cosβ）+i（sinα-sinβ）
∵
∴
∴= =
（2）解：∵，
，由（1）得 ,
∴,又 ，∴.
∴
= ×
【考点】复数代数形式的加减运算；复数求模；两角和与差的余弦公式；两角和与差的正弦公式
【解析】【分析】（1）根据复数的减法运算、模长公式，结合两角差的余弦公式可求出结果；
（2）利用 和两角和的正弦公式可求出结果.
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