精讲精练·专项突破 第七章《复数》单元能力提升（含详细解析） (41)

精讲精练·专项突破
2021-2022学年高一下学期人教版（2019）
第七章 《复数》 单元能力提升（含详细解析）
一、单选题
1．（2020·沈阳模拟）已知 ，则 （　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【考点】复数的代数表示法及其几何意义；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】由 ，
则 .
故答案为：C
【分析】根据复数的乘法运算即可求解.
2．（2020·淮南模拟）已知 ， 为虚数单位，若复数 是纯虚数，则a的值为（　　）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】A
【考点】复数的基本概念；复数代数形式的混合运算
【解析】【解答】 为纯虚数.
则
所以
故答案为：A
【分析】利用复数的运算法则、纯虚数的定义即可得出.
3．（2020高三上·湖南月考）设复数 ，则 （　　）
A．0 B．1 C． D．2
【答案】C
【考点】复数代数形式的混合运算；复数求模
【解析】【解答】 ，
∴ ，
故答案为：C。
【分析】利用复数得混合运算法则求出复数z，再利用复数求模公式，进而求出复数z的模。
4．（2020高三上·滕州期中）已知i是虚数单位，则 的模为（　　）
A．1 B． C．2 D．
【答案】D
【考点】复数代数形式的乘除运算；复数求模
【解析】【解答】因为 ，
所以 的模为 ，
故答案为：D
【分析】利用复数的运算法则及模长公式，即可得出答案。
5．（2020高二下·宝应期中）若复数 ，则 （　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【考点】复数求模
【解析】【解答】解： ，则 ，
故答案为：A.
【分析】 直接利用复数模的公式计算得答案．
6．（2020高三上·云南月考）已知复数z满足|z|＝1，则|z＋1-2i|的最小值为（　　）
A． B． C．3 D．2
【答案】A
【考点】复数的代数表示法及其几何意义；复数求模
【解析】【解答】因为 ，所以 ，即复数z在复平面内表示圆O： 上的点，
又 ，所以 表示圆O上的动点到定点 的距离，
所以 为 ，
故答案为：A．
【分析】利用向量的模的求解公式分别求出和，再利用复数的几何意义分别得出复数z在复平面内表示圆O： 上的点和 表示圆O上的动点到定点 的距离，再利用几何法求出 |z＋1-2i|的最小值 。
7．（2021·淮北模拟）若i为虚数单位，复数z满足 ，则 的最大值为（　　）
A．2 B．3 C． D．
【答案】D
【考点】复数的代数表示法及其几何意义；两点间距离公式的应用
【解析】【解答】因为 表示以点 为圆心，半径 的圆及其内部，
又 表示复平面内的点到 的距离，据此作出如下示意图：
所以 ，
故答案为：D.
【分析】利用复数的模的几何意义，从而推出 表示以点 为圆心，半径 的圆及其内部，又 表示复平面内的点到 的距离，据此作出图象，再利用图象结合几何法求出 的最大值 。
8．（2021·唐山模拟）设复数 满足 ，在复平面内 对应的点到原点距离的最大值是（　　）
A．1 B． C． D．3
【答案】D
【考点】复数的代数表示法及其几何意义；复数求模
【解析】【解答】设 ，
则 ，所以 ，即 ，
所以复数 对应的点的轨迹是以 为圆心， 为半径的圆，
所以 ，
所以复平面内 对应的点到原点距离的最大值是3。
故答案为：D
【分析】利用复数的模求解公式结合已知条件，得出 ，所以复数 对应的点的轨迹是以 为圆心， 为半径的圆，再利用几何法求出复数z的模的最大值，进而结合复数的几何意义求出复平面内 对应的点到原点距离的最大值。
二、多选题
9．（2021高三上·泉州月考）已知复数 （ 为虚数单位），则（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A,B,D
【考点】复数代数形式的乘除运算；复数求模
【解析】【解答】由复数 ，得 ， ，∴AB对；
，∴C不符合题意；
，∴D对．
故答案为：ABD
【分析】 由复数得，然后根据复数运算性质计算即可.
10．（2021·南平模拟）若实数 ， 满足 ，则（　　）
A． 的共轭复数为 B．
C． 的值可能为 D．
【答案】B,C,D
【考点】复数的基本概念；复数代数形式的混合运算；复数求模
【解析】【解答】因为 .
所以 ， ，
即 ， ，则 .解得 或 ，
A不符合题意，B，C，D均正确.
故答案为：BCD.
【分析】由复数代数形式的运算性质整理化简由此得出，再由已知条件整理即可计算出y的值，结合共轭复数的定义即可判断出选项A错误，由复数模的公式代入数值计算出结果由此即可判断出选项C正确；由x与y的值即可判断出选项B、D正确，由此即可得出答案。
11．（2021高一下·锦州期末）已知复数 ， ， ，则以下说法正确的是（　　）
A． B．若 ，则
C． D．若 ，则
【答案】A,C
【考点】复数的基本概念；复数代数形式的混合运算；复数求模
【解析】【解答】解：设 ，
对于A，因为 ，
所以 ，
因为 ，所以 ，所以A符合题意，
对于B，因为 ，所以 ，所以不一定有 ，所以B不符合题意，
对于C，因为 ，
所以 ，
因为 ，
所以 ，所以C符合题意，
对于D，因为 ，所以 ，所以 或 ，所以D不符合题意，
故答案为：AC
【分析】由复数代数形式的运算性质整理化简各个选项，再结合复数模的概念对选项逐一判断即可得出答案。
12．（2021高一下·张家港期中）下列关于复数 的四个命题，真命题的为（　　）
A．若 ，则
B．若 ，则
C．若 ，则 的最大值为
D．若 ，则
【答案】A,C
【考点】复数的基本概念；复数的代数表示法及其几何意义；复数代数形式的乘除运算；复数求模
【解析】【解答】对于A选项，设 ，则 ，
， ，则 ，从而 ，
A选项正确；
对于B选项，取 ，则 ，但 ，B选项错误；
对于C选项，由复数的模的三角不等式可得 ，C选项正确；
对于D选项，由 ，可得 或 ，
由 ，则 ，解得 或 ，D选项错误.
故答案为：AC.
【分析】利用复数的乘除法运算法则结合复数为实数的判断方法，再结合复数的模求解公式和复数的模的三角不等式可得 ，再利用复数的混合运算法则结合复数相等的充要条件，进而求出复数z的代数表达式，从而选出真命题的选项。
三、填空题
13．若复数z满足 ，其中 为虚数单位，则 　 　.
【答案】5+2i
【考点】复数求模
【解析】【解答】 ，故 .
故答案为： .
【分析】计算 ，化简得到答案.
14．（2020·南京模拟）已知复数 满足 （ 为虚数单位），则z的实部为　 　．
【答案】
【考点】复数的代数表示法及其几何意义；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】 ， ，
的实部为 .
故答案为： .
【分析】根据复数的模长和除法运算可求得z，根据实部定义得到结果.
15．（2021高一下·普宁期末）已知复数 ，其中 为虚数单位， 为实数，当 取得最大值时， 　 　．
【答案】
【考点】二次函数在闭区间上的最值；复数求模
【解析】【解答】因为 ，所以 ，
当 时， 取得最大值，最大值为 ， 。
故答案为： 。
【分析】利用已知条件结合复数求模公式和二次函数的图像求最值的方法，进而求出复数的模的最大值，进而结合复数求模公式求出复数的模，即的值。
16．（2020高二上·平谷开学考）已知关于t的一元二次方程 ，当方程有实数根时，则实数t的取值范围　 　.
【答案】
【考点】复数相等的充要条件；轨迹方程；直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：因为关于t的一元二次方程 有实数根，得 ，由复数相等的充要条件可得： ，
消 得 ，则所求点的轨迹为以 为圆心， 为半径的圆，
直线 与圆有公共点，
则 ，解得 。
故答案为 。
【分析】因为关于t的一元二次方程 有实数根，得 ，由复数相等的充要条件消 得 ，再利用圆的定义得出所求点的轨迹为以 为圆心， 为半径的圆，再利用直线 与圆有公共点，判断出直线与圆的位置关系，再利用直线与圆的位置关系，从而求出实数t的取值范围。
四、解答题
17．（2020高二下·顺义期末）已知复数 ，且 是纯虚数.
（Ⅰ）求复数z及 ；
（Ⅱ）在复平面内，若复数 对应点在第二象限，求实数m的取值范围.
【答案】解：（Ⅰ）∵ ，且 是纯虚数，
∴ 是纯虚数，
则 ，即 .
∴ ， ；
（Ⅱ） ，
由题意可得 ，解得 .
∴实数m的取值范围是
【考点】复数的基本概念；复数的代数表示法及其几何意义；复数求模
【解析】【分析】（1）利用复数的乘法运算法则结合复数为纯虚数的判断方法，进而求出复数z，再利用复数的模的求解公式，进而求出复数的模。
（2）利用复数的乘法运算法则求出复数 ，再利用复数的几何意义，进而求出复数对应的点的坐标，再利用点的坐标确定点所在的象限，再结合复数 对应点在第二象限，从而求出实数m的取值范围。
18．（2020高二下·松江期末）已知复数 ， ， （其中 是虚数单位）.
（1）求 ；
（2）若 ，求 的取值范围.
【答案】（1）解： ，则 ， ， ；
（2）解： ， ，则 ，
由 ，得 ，可得 ，解得 .
【考点】复数的基本概念；复数代数形式的混合运算；复数求模
【解析】【分析】 （1）直接根据复数的四则运算求解即可．
（2）求出的模，利用|得到a的关系式，即可求实数a的取值范围．
19．（2021高一下·安徽期中）当实数为何值时，复数（为虚数单位）
（1）实数；
（2）纯虚数．
【答案】（1）解：为实数时，
，即．
（2）解：为纯虚数时，
，即或．
【考点】复数的基本概念
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合复数为实数的判断方法，进而得出实数m的值。
（2）利用已知条件结合复数为纯虚数的判断方法，进而得出实数m的值。
20．（2020高一下·红桥期中）已知 是虚数单位，复数 ．
（Ⅰ）当复数z为实数时，求m的值；
（Ⅱ）当复数z为虚数时，求m的值；
（Ⅲ）当复数z为纯虚数时，求m的值．
【答案】解：复数 .
（Ⅰ）当复数 为实数时，有 或 .
（Ⅱ）当复数 为虚数时，有 且 .
（Ⅲ）当复数 为纯虚数时，有 ，解得 .
【考点】复数的基本概念
【解析】【分析】（Ⅰ）根据虚部为0，求m；（Ⅱ）根据虚部不为0，求m；（Ⅲ）根据实部为0，虚部不为0，求m.
21．（2020高二下·吉林期中）已知复数 在平面内对应的点分别为 ， ，（ ）.
（1）若 ，求a的值；
（2）若复数 对应的点在二、四象限的角平分线上，求a的值.
【答案】（1）解：由题意可知 ,
∴
∴
∴ 即
∴
（2）解：由
∴
由 对应的点在二、四象限的角分线上可知
∴
【考点】复数的代数表示法及其几何意义；复数代数形式的乘除运算；复数求模
【解析】【分析】（1）由已知复数 在平面内对应的点分别为 ， ，写出复数 的代数形式，通过复数的模 ，列出不等式即可求出a的范围；（2）利用复数的运算法则和几何意义即可得出结果．
22．（2020高二下·芮城月考）已知：复数 与 在复平面上所对应的点关于y轴对称，且 （i为虚数单位），| |= ．
（I）求 的值；
（II）若 的虚部大于零，且 （m，n∈R），求m，n的值．
【答案】解：（I）设 （x，y∈R），则 =－x+yi，
∵z1（1－i）= （1+i），| |= ，∴ ，
∴ 或 ，即 或
（II）∵ 的虚部大于零，∴ ，∴ ，
则有 ，∴ ，∴ ．
【考点】复数相等的充要条件；复数的代数表示法及其几何意义
【解析】【分析】（I）设 ，得出 的表达式，根据 和 列方程组，解方程组求得 的值，进而求得 的值.（II）根据（I）的结论确定 的值.代入 运算化简，根据复数相等的条件列方程组，解方程组求得 的值.
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