精讲精练·专项突破 第七章《复数》单元能力提升（含详细解析） (42)

精讲精练·专项突破
2021-2022学年高一下学期人教版（2019）
第七章 《复数》 单元能力提升（含详细解析）
一、单选题
1．（2021高二下·顺德期末）设复数 满足 ，则复数 的虚部为（　　）
A． B． C． D．
2．（2021·梅州模拟）若复数 满足 ( 为虚数单位)，则 的共轭复数 为（　　）
A． B． C． D．
3．（2022高三上·“智桂杯”联考）已知复数，则在复平面上对应的点在（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
4．（2021·广东模拟）复数 （i为虚数单位）的共轭复数 （　　）
A． B． C． D．
5．（2020高三上·台州期中）已知复数 ，则（　　）
A． 的虚部为 B． 的实部为2
C． D．
6．（2021高三上·玉林开学考）复数 在复平面内对应点所在的象限为（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
7．（2021高一下·潮州期末）18世纪末期，挪威测量学家威塞尔首次利用坐标平面上的点来表示复数，使复数及其运算具有了几何意义，例如， ，也即复数 的模的几何意义为 对应的点 到原点的距离.在复平面内，复数 （ 是虚数单位， ）是纯虚数，其对应的点为 ，满足条件 的点 与 之间的最大距离为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
8．在复平面内与复数 所对应的点关于虚轴对称的点为 ，则 对应的复数为（　　）
A． B． C． D．
二、多选题
9．（2021·八省联考）设 为复数， ．下列命题中正确的是（　　）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
10．（2022·邵阳模拟）设复数的共轭复数为，则下列选项正确的有（　　）
A． B．
C． D．
11．（2020高三上·辽宁期中）已知复数 的实部为-1，则下列说法正确的是（　　）
A．复数 的虚部为-5
B．复数 的共轭复数
C．
D． 在复平面内对应的点位于第三象限
12．（2022高三上·海口）已知复数，，则（　　）
A．
B．
C．对应的点在复平面的虚轴上
D．在复平面内，设，对应的点为，，则
三、填空题
13．（2021高二下·昌吉期中）已知是虚数单位，若（，），则的值为　 　．
14．（2020高三上·台州期末）已知复数 是纯虚数，其中 是实数， 为虚数单位，则 　 　. 　 　.
15．（2021高一下·延寿月考）已知复数z，且|z|＝1，则|z+3+4i|的最小值是　 　．
16．（2020高二下·成都月考）复数 , 在复平面内分别对应点 , , ,将点 绕原点 逆时针旋转 得到点 ,则 　 　．
四、解答题
17．（2020高二下·宿迁期中）已知复数 ，其中 为虚数单位.
（1）若复数 是实数，求实数 的值；
（2）若复数 是纯虚数，求实数 的值.
18．（2021高二下·河池月考）（本小题满分10分）
在① ，②z为虚数，③z为纯虚数，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中．
已知复数： ．
（1）若 ▲ ，求实数m的值；
（2）若复数 的模为 ，求m的值．
19．（2020高一下·天津期末）已知i虚数单位， .
（Ⅰ）求 ；
（Ⅱ）若复数 的虚部为2，且 的虚部为0，求 .
20．（2021高二下·双鸭山月考）已知复数 ，且 为纯虚数.
（1）求复数；
（2）若 ，求复数 以及模 .
21．（2020高二下·常州期中）已知复数 （ ， 是虚数单位）．
（1）若 是纯虚数，求实数 的值；
（2）设 是 的共轭复数，复数 在复平面上对应的点位于第二象限，求实数 的取值范围．
22．（2021高二下·东莞期末）已知复数 ， .
（1）当 ， ， ， 时，求 ， ， ；
（2）根据（1）的计算结果猜想 与 的关系，并证明该关系的一般性；
（3）结合（2）的结论进行类比或推广，写出一个复数的模的运算性质（不用证明）.
答案解析部分
1．【答案】B
【考点】复数的基本概念；复数代数形式的混合运算
【解析】【解答】 ,
所以虚部为 ，
故答案为：B.
【分析】首先由复数代数形式的运算性质整理，再结合复数的概念即可得出答案。
2．【答案】D
【考点】复数的基本概念；复数代数形式的混合运算
【解析】【解答】 所以
故答案为：D
【分析】首先由复数代数形式的运算性质整理，再结合共轭复数的概念即可得出答案。
3．【答案】B
【考点】复数的代数表示法及其几何意义；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】因为，
所以，
所以在复平面上对应的点为，
所以在复平面上对应的点在第二象限。
故答案为：B
【分析】利用复数的乘除法运算法则求出复数z，再利用复数的几何意义求出复数对应的点的坐标，再结合点的坐标确定点所在的象限。
4．【答案】D
【考点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】依题意得 ，所以 ．
故答案为：D.
【分析】 利用复数的运算法则、共轭复数的意义即可得出。
5．【答案】B
【考点】复数代数形式的乘除运算；复数求模
【解析】【解答】因为 ，
所以复数 的实部为2，
故答案为：B
【分析】结合复数的运算性质整理化简求出复数z再由复数模的定义即可求出结果。
6．【答案】A
【考点】复数的代数表示法及其几何意义；复数代数形式的混合运算
【解析】【解答】解：，表示的点为
故答案为：A
【分析】根据复数的运算与几何意义求解即可.
7．【答案】C
【考点】复数代数形式的乘除运算；复数求模；两点间的距离公式
【解析】【解答】由 ，
因为复数 （ 是虚数单位， ）是纯虚数，
所以 ，解得 ，
所以 ，则 ，
由于 ，故设 且 ， ，
所以 ，
故点 与 之间的最大距离为3.
故答案为：C.
【分析】 由复数的运算化简z0，由z0为纯虚数可求得a的值，从而可求得z0， ，设 且 ， ，由两点间的距离公式即可求解点 与 之间的最大距离.
8．【答案】C
【考点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】复数 ，所对应的点为 ，其关于虚轴对称的点为 ，故点A对应的复数为 ，
故答案为：C。
【分析】利用复数的乘除法运算法则求出复数z，再利用复数的几何意义求出复数对应的点的坐标，再利用点关于虚轴对称的求解方法求出对称点A的坐标，从而利用复数的几何意义求出点A对应的复数。
9．【答案】B,C
【考点】复数相等的充要条件；复数求模
【解析】【解答】由复数模的概念可知， 不能得到 ，例如 ，A不符合题意；
由 可得 ，因为 ，所以 ，即 ，B符合题意；
因为 ， ，而 ，所以 ，所以 ，C符合题意；
取 ，显然满足 ，但 ，D不符合题意.
故答案为：BC。
【分析】利用已知条件结合复数相等和复数的模相等的判断方法，从而结合复数乘法运算法则，从而结合已知条件找出正确的命题选项。
10．【答案】A,C,D
【考点】复数的基本概念；复数代数形式的混合运算；复数求模
【解析】【解答】对于A，由题可知，所以A符合题意；
对于B，因为 ，所以B不符合题意；
对于C，因为 ，所以C符合题意；
因为 ，D符合题意.
故答案为：ACD
【分析】首先由复数代数形式的运算性质整理，再结合共轭复数的概念即可得出答案。
11．【答案】A,C,D
【考点】虚数单位i及其性质；复数代数形式的乘除运算；复数求模
【解析】【解答】 ，
因为复数的实部是-1，所以 ，解得： ，
所以 ，
A.复数 的虚部是-5，正确；B.复数 的共轭复数 ，不正确；
C. ，正确；D. 在复平面内对应的点是 ，位于第三象限，正确.
故答案为：ACD
【分析】 利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部等于-1求得a,可得z,然后逐一核对四个选项得答案.
12．【答案】B,D
【考点】复数的基本概念；复数的代数表示法及其几何意义；复数代数形式的混合运算；复数求模
【解析】【解答】，A错误；
，B正确；
，其在复平面上对应的点为，不在虚轴上，C错误；
在复平面内，设，对应的点为，则，D正确.
故答案为：BD
【分析】首先由复数代数形式的运算性质整理，再结合复数的几何性质以及复数模的概念对选项逐一判断即可得出答案。
13．【答案】-3
【考点】复数相等的充要条件；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】，
，
则 ，可得
。
故答案为：-3。
【分析】利用已知条件结合复数的乘除法运算法则结合复数相等的判断方法，进而得出a,b的值，从而得出ab的值。
14．【答案】2；
【考点】复数的基本概念；复数代数形式的混合运算；复数求模
【解析】【解答】因为复数 是纯虚数，
所以 且 ，所以 .
所以 .
故答案为：2； .
【分析】根据题意整理化简再由复数的定义即可计算出a的值，再由复数模的定义即可得出结果。
15．【答案】4
【考点】复数的代数表示法及其几何意义；两点间的距离公式
【解析】【解答】解：复数z满足|z|=1，点z的執迹是以原点为圆心，以1为半径的圆，
则|z十3十4i|表示夏数z对应的点z与点(-3,-4)之间的距离，
圆心O到点(-3,-4)之间的距离，
所以|z十3十4i|的最小值为5-1=4.
故答案为：4
【分析】根据复数的几何意义，结合两点间的距离公式，运用数形结合的思想求解即可.
16．【答案】-4+3i
【考点】复数的代数表示法及其几何意义
【解析】【解答】解:如图,
由题意知 即 ,
绕原点 逆时针旋转 得到点 ,
即
故答案为:
【分析】根据 得出点 在平面内的左边,再绕原点 逆时针旋转 得到点 ,即可得出
17．【答案】（1）解：若复数 是实数，则
所以 或 .
（2）解：若复数 是纯虚数，则
所以 .
【考点】复数的基本概念
【解析】【分析】（1）利用复数z为实数的判断方法，进而解一元二次方程求出m的值。
（2）利用复数z为纯虚数的判断方法，进而解一元二次方程求出m的值
18．【答案】（1）选择① ，则 ，
解得 ．
选择②z为虚数，则 ，
解得 ．
选择③z为纯虚数则 ，
解得 ．
（2）由 可知
复数 ．
依题意 ，
解得 ．
因此 ．
【考点】复数的基本概念；复数代数形式的加减运算；复数求模
【解析】【分析】（1） 在① ，②z为虚数，③z为纯虚数，这三个条件中任选一个，补充在问题中，选择①，因为 ，再结合复数为实数可以比较大小，再结合复数为实数的判断方法，从而求出m的值。
选择②，因为z为虚数，再利用复数为虚数的判断方法，从而求出 。
选择③，因为z为纯虚数，再利用复数为纯虚数的判断方法，从而求出 。
（2）利用已知条件复数 的模为 结合复数的混合运算法则，再利用复数求模公式，从而求出m的值。
19．【答案】解：（Ⅰ） ，
所以 ，
（Ⅱ）设 ，
则 ，
因为 的虚部为0，所以，
，即 .
所以 .
【考点】复数的基本概念；复数的代数表示法及其几何意义；复数求模
【解析】【分析】（Ⅰ）利用复数的四则运算求出 后可求其模.（Ⅱ）设 ，利用复数的乘法计算出 后再根据虚部为0求出 ，从而可得 .
20．【答案】（1）解：将 代入 得 ，因为 为纯虚数,所以 解得 ，所以复数
（2）解：由(1)知 ，所以 ，
【考点】复数的基本概念；复数的代数表示法及其几何意义；复数代数形式的乘除运算；复数求模
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合复数乘法运算法则，再利用复数为纯虚数的定义，从而求出b的值，进而求出复数z。
（2）利用已知条件结合复数的乘除法运算法则，从而求出复数t，再利用复数求模公式，从而求出复数t的模。
21．【答案】（1）解： ，
因为 为纯虚数，所以 ，解得 ．
（2）解：因为 是 的共轭复数，所以 ，
所以 ．
因为复数 在复平面上对应的点位于第二象限，所以
，解得 ．
【考点】虚数单位i及其性质；复数代数形式的乘除运算
【解析】【分析】 （1）利用复数代数形式的乘除运算化简，由实部为0且虚部不为0列式求解；
（2）化简 ,再由实部小于0且虚部大于0联立不等式组求解．
22．【答案】（1）由题知 ， ，.
，.
所以 .
（2）猜想 ，.
证明：因为 ， ，.
所以 ，.
因为 ，
所以 ，
所以 成立.
（3） 或 或 .
【考点】复数代数形式的乘除运算；复数求模
【解析】【分析】 (1)把a= 1,b=-1,c= 1,d= 2代入，利用复数模的计算公式求 ， ，利用复数代数形式的乘除运算求 ,再由复数模的计算公式求 ；
(2)直接求 与 ，即可得结论；
(3)类比(2)中的结论,可得复数商的模等于模的商(或三个及三个以上复数乘积的模等于模的乘积)。
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