精讲精练·专项突破 第七章《复数》单元能力提升（含详细解析） (45)

精讲精练·专项突破
2021-2022学年高一下学期人教版（2019）
第七章 《复数》 单元能力提升（含详细解析）
一、单选题
1．（2020高二下·大庆月考）已知i是虚数单位，若 ，复数 ， 为虚数单位， 是 的共轭复数，则 的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【考点】复数相等的充要条件；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】∵ ，
∴ ，
则 ，可得 ，
∴ .
， ，
∴ .
则 .
故选： .
【分析】根据复数的乘法运算及复数相等意义，可求得 .根据复数的乘法运算可得 ，代入即可求解.
2．（）若，则实数x，y满足（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【考点】复数相等的充要条件；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】因为，所以，
则 ，即实数x，y满足 。
故答案为：B
【分析】利用已知条件结合复数的乘法运算法则和复数相等的判断方法，进而得出x，y的关系式。
3．（2021高三上·洛南月考）设复数 ， 为虚数单位，求 （　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【考点】复数的基本概念；复数代数形式的混合运算
【解析】【解答】由题得 .
故答案为：D
【分析】由复数代数形式的运算性质整理化简，再由复数的定义即可得出答案。
4．（2022·保定模拟）复数在复平面内对应的点为，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【考点】复数的代数表示法及其几何意义；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】对应的点为，，
.
故答案为：B.
【分析】由复数的几何意义确定z，再由复数的四则运算即可求解。
5．（2020高二下·中山期中）复数 (其中i为虚数单位)在复平面内对应的点在（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【考点】复数的代数表示法及其几何意义；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】∵ ，
∴复数 在复平面内对应的点的坐标为 ，在第一象限，
故答案为：A.
【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简求出 的值，根据复数的几何意义可得结果．
6．（2021高三上·辽宁月考）欧拉公式 是由瑞士著名数学家欧拉发现的，该公式被誉为“数学中的天桥”，特别是当 时，得到一个令人着迷的优美恒等式: 这个恒等式将数学中五个重要的数:自然对数的底数 圆周率 ，虚数单位 自然数单位 和 完美地结合在一起，有些数学家评价它是“最完美的公式”.根据欧拉公式， 在复平面内对应的点位于（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【考点】复数的代数表示法及其几何意义；运用诱导公式化简求值
【解析】【解答】 ，则在复平面对应的点的坐标为 ，位于第三象限.
故答案为：C.
【分析】运用三角函数诱导公式代入求值，然后结合复数的代数表示法确定其坐标，即可确定其位于第几象限。
7．（2019高二下·上海期末）复数 ， ， ， ，则（　　）
A．m、n、p三数都不能比较大小
B．m、n、p三数的大小关系不能确定
C．
D．
【答案】C
【考点】基本不等式；复数代数形式的混合运算
【解析】【解答】 ， ， ，
，当且仅当 时，取等号
故答案为：C
【分析】根据复数的四则运算，结合基本不等式，即可得出结论.
8．（2020高三上·山东月考）若复数 （i为虚数单位），则复数z的共轭复数 在复平面内对应的点位于 （　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【考点】复数的代数表示法及其几何意义；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】 ，
故 在复平面内对应的点的坐标为 位于第三象限．
故答案为：C.
【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，求出，然后利用共轭复数的定义即可得到答案。
二、多选题
9．（2021高三上·唐山期末）已知复数（且），是z的共扼复数，则下列命题中的真命题是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A,C
【考点】复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算；复数代数形式的加减运算
【解析】【解答】对于A选项，，，所以，故正确；
对于B选项，，，，故错误；
对于C选项，，，，故正确；
对于D选项，，，，
所以当时，，当时，，故错误.
故答案为：AC
【分析】利用已知条件结合复数与共轭复数的关系，进而求出复数的共轭复数，再利用复数的加减法和乘除法的运算法则，进而结合复数为实数的判断方法，进而找出真命题的选项。
10．（2020高一下·滨州期末）已知复数z满足（1﹣i）z＝2i，则下列关于复数z的结论正确的是（　　）
A．
B．复数z的共轭复数为 ＝﹣1﹣i
C．复平面内表示复数z的点位于第二象限
D．复数z是方程x2+2x+2＝0的一个根
【答案】A,B,C,D
【考点】复数的基本概念；复数的代数表示法及其几何意义；复数代数形式的乘除运算；复数求模
【解析】【解答】因为（1﹣i）z＝2i，所以 ，所以 ，故A正确；
所以 ，故B正确；
由 知，复数 对应的点为 ，它在第二象限，故C正确；
因为 ，所以D正确.
故答案为：ABCD.
【分析】利用复数的乘除法运算法则求出复数z,再利用复数求模公式，进而求出复数的模，再利用复数与共轭复数的关系，从而求出复数的共轭复数，再利用复数的几何意义，从而求出复数对应的点的坐标，进而结合点的坐标确定点所在的象限，再利用复数满足方程结合代入法，从而推出复数z是方程x2+2x+2＝0的一个根，进而找出结论正确的选项。
11．（2021高一下·连云港期末）已知复数 ， ，下列结论正确的有（　　）
A．
B．若 ，则 ， 中至少有一个为0
C．
D．若 ，则
【答案】A,B,C
【考点】复数的基本概念；复数相等的充要条件；复数代数形式的乘除运算；复数求模
【解析】【解答】A：因为复数 ， ，所以设
因此本结论正确；
B：因为 ，所以 ， 中至少有一个为0，因此本结论正确；
C：因为复数 ， ，所以设
因此本结论正确；
D：令 ，显然 成立，但是 不成立，因此本结论不正确。
故答案为：ABC
【分析】利用已知条件结合复数与共轭复数的关系，再结合复数的运算法则、复数求模公式、复数相等的判断方法，从而找出结论正确的选项。
12．（2020高二下·淄博期末）下列说法正确的是（　　）
A．若 ，则
B．若复数 ， 满足 ，则
C．若复数 的平方是纯虚数，则复数 的实部和虚部相等
D．“ ”是“复数 是虚数”的必要不充分条件
【答案】A,D
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；复数的基本概念；复数代数形式的混合运算
【解析】【解答】若 ，则 ，A符合题意；
设 ，
由 ，可得
则 ，而 不一定为0，B不符合题意；
当 时 为纯虚数，其实部和虚部不相等，C不符合题意；
若复数 是虚数，则 ，即
所以“ ”是“复数 是虚数”的必要不充分条件，D符合题意；
故答案为：AD
【分析】 由|z|求得判断A；设出z1，z2，证明在满足|z1+z2|=|z1-z2|时，不一定有z1z2=0判断B；举例说明C错误；由充分必要条件的判定说明D正确，从而得出答案。
三、填空题
13．（2021高一下·南京期末）计算： 　 　
【答案】-1
【考点】虚数单位i及其性质；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】 ，
。
故答案为：-1。
【分析】利用已知条件结合复数的乘除法运算法则结合虚数单位i的运算性质，从而求出的值。
14．（2021·浦东模拟）已知复数 满足 （ 为虚数单位），则 　 　.
【答案】
【考点】复数求模
【解析】【解答】 ，所以 .
故答案为：
【分析】直接利用复数的模的运算求出结果即可。
15．（2020高二下·重庆期中）已知 在复平面内对应的点在第二象限，则实数m的取值范围是　 　.
【答案】（-∞，-2）
【考点】复数的代数表示法及其几何意义
【解析】【解答】 在复平面内对应的点 在第二象限，所以 ，
解得 ，即实数m的取值范围是（-∞，-2）.
故答案为：（-∞，-2）
【分析】利用复平面内对应的点 在第二象限，得，解得即可求出实数m的取值范围。
16．（2020高三上·奉新月考）已知复数 （i为虚数单位），复数z满足 ，则 　 　.
【答案】
【考点】复数代数形式的乘除运算；复数求模
【解析】【解答】解：由 ，得 ，
∵ ，∴ ，
则 .
故答案为： .
【分析】把已知等式变形，再把 代入，利用复数代数形式的乘除运算化简，最后由复数模的计算公式求解.
四、解答题
17．（2020高二下·广东月考）已知复数 ，其中i为虚数单位.
（1）若复数z是实数，求实数m的值；
（2）若复数z是纯虚数，求实数m的值.
【答案】（1）解：令 ，解得： 或 当 或 时，复数 是实数
（2）解：令 ，解得： 或
又 ，即： 且
当 时，复数 是纯虚数
【考点】复数的基本概念
【解析】【分析】（1）由实数定义可知虚部为零，由此构造方程求得结果；（2）由纯虚数定义可知实部为零且虚部不为零，由此构造方程求得结果.
18．（2020高一下·菏泽期末）已知复数 满足 ，且 的虚部为 ， 在复平面内所对应的点在第四象限.
（1）求 ；
（2）若 ， 在复平面上对应的点分别为 ， ， 为坐标原点，求 .
【答案】（1）设： ，
因为： ，所以 ，得 或 ，
又 在复平面内所对应的点在第四象限，所以 ；
（2） ，
所以 ， ， ， ， ，
所以 ，
所以 .
【考点】数量积表示两个向量的夹角；复数的代数表示法及其几何意义；复数代数形式的乘除运算
【解析】【分析】（1）利用已知条件设出 ，再利用复数的乘法运算法则结合已知条件，从而求出x的值，再结合复数的几何意义和已知条件复数 在复平面内所对应的点在第四象限，从而求出满足要求的x的值，从而求出复数z。
（2）利用复数的乘法运算法则求出 ， 再利用已知条件求出点的坐标，再利用向量的坐标表示求出向量的坐标，再利用数量积求向量夹角公式，从而求出 的值。
19．（2020高二下·大庆月考）已知复平面内点 对应的复数分别是 ， ，其中 ，设 对应的复数为 ．
（1）求复数 ；
（2）若复数 对应的点 在直线 上，求 的值；
（3）在（2）的条件下，在极坐标系中，圆 以 为圆心、1为半径，请写出圆 的直角坐标方程
【答案】（1）解：设 ，
则由题意可得 ，
；
（2）解：由于复数 对应的点 在直线 上，故有 ，
，再结合 ，
可得 或 ，
或 ；
（3）解：当 时， ，则 ，
此时圆 的直角坐标方程为 ；
当 时， ，则 ，
此时圆 的直角坐标方程为 ；
综合得圆 的直角坐标方程为 ．
【考点】复数的代数表示法及其几何意义
【解析】【分析】（1）设 ，则由题意根可得 ，从而求得 的值．（2）由于复数 对应的点 在直线 上，求得 的值，可得 的值，从而求得 的值；（3）求出圆心的直角坐标，进而可得圆的直角坐标方程．
20．（2021高一下·东莞期中）已知复数（，），（，）．
（1）当，，，时，求，，；
（2）根据（1）的计算结果猜想与的关系，并证明该关系的一般性．
【答案】（1）解：当，，，时，
，
，
；
（2）解：由（1）猜测，．
证明如下：（，），（，）．
，，
；
，
．
．
【考点】复数代数形式的乘除运算；复数求模；归纳推理
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合复数求模公式得出，的值；再利用复数的乘法运算法则结合复数求模公式，进而得出的值。
（2）利用已知条件结合归纳推理的方法，从而猜想出 与的关系， 并证明出猜想。
21．（2021高一下·吉林期中）设复数（是虚数单位，，），且．
（Ⅰ）求复数；
（Ⅱ）在复平面内，若复数对应的点在第四象限，求实数的取值范围．
【答案】解：（Ⅰ）∵，，
∴，
即，解得，
又∵，
∴，
∴．
（Ⅱ）∵，则，
∴
又∵复数（）对应的点在第四象限，
∴ 得
∴﹣5＜m＜1
【考点】复数的代数表示法及其几何意义；复数代数形式的乘除运算；复数求模
【解析】【分析】（1）由模长公式可求出a,即可得到答案；
（2）由复数得四则运算确定其一般形式，由对应点在第四象限，列出不等式，即可求出答案。
22．（201920高三上·长宁期末）在复平面内复数 、 所对应的点为 、 ， 为坐标原点， 是虚数单位.
（1） ， ，计算 与 ；
（2）设 ， （ ），求证： ，并指出向量 、 满足什么条件时该不等式取等号.
【答案】（1）解：
，
所以
（2）解： ，
，
，
所以 ，当且仅当 时取“ ”，此时 .
【考点】不等式比较大小；平面向量数量积的运算；复数代数形式的乘除运算
【解析】【分析】（1）根据复数的乘法运算法则进行运算即可求出 ，可知 ， ，然后进行数量积的坐标运算即可；（2）根据复数的乘法运算法则进行运算即可求出 ，以及复数的几何意义表示出 、 计算其数量积，利用作差法比较 的大小，并得出何时取等号.
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