精讲精练·专项突破 第七章《复数》单元能力提升（含详细解析） (46)

精讲精练·专项突破
2021-2022学年高一下学期人教版（2019）
第七章 《复数》 单元能力提升（含详细解析）
一、单选题
1．（2020·安徽模拟）已知复数 （ 为虚数单位， ），则z在复平面内对应的点所在的象限为（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．（2021高三上·长春月考）若 ，其中a，b都是实数，i是虚数单位，则ab等于(　　)
A．-2 B．-1 C．0 D．1
3．已知复数 ，则复数 在复平面内对应的点，到点 的距离为（　　）
A．2 B．4 C． D．
4．（2021高三上·南京月考）若复数满足，其中为虚数单位，则（　　）
A． B． C． D．
5．（2020高二下·徐州月考）设复数 满足条件 ，那么 的最大值是（　　）
A．4 B．16 C．2 D．
6．（2021高一下·浙江期中）已知复数z满足，则（i为虚数单位）的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
7．（2020高三上·文登期中）设复数 满足 ，则 的最大值为 （　　）
A． B． C．2 D．3
8．（2020高二下·吉林月考）给出下面三个类比结论：
①向量 ，有 类比有复数 ，有 ；②实数 有 ；类比有向量 ，有 ；③实数 有 ，则 ；类比复数 ，有 ，则 .
其中类比结论正确的命题个数为（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
二、多选题
9．（2020高三上·山东月考）已知复数 满足 ，则 可能为（　　）.
A．0 B．-2 C． D．
10．（2021高一下·怀化期末）若复数 满足 （其中 为虚数单位），则下列说法正确的是（　　）
A． 的虚数部为-
B．复数 在复平面内对应的点在第四象限
C． 的共轭复数
D．
11．（2021·河北模拟）已知不相等的复数 ， ，则下列说法正确的是（　　）
A．若 ，则 是纯虚数
B．若 ，则
C．若 ，则 ， 在复平面内对应的点关于实轴对称
D．若 ，则
12．（2020高二下·菏泽期中）下面是关于复数 （ 为虚数单位）的四个命题，其中正确命题的是（　　）
A． B． 对应的点在第一象限
C． 的虚部为 D． 的共轭复数为
三、填空题
13．（2021高一下·通化期中）已知 ，其中 ，则 　 　
14．（2021高三上·哈尔滨月考）复数 的虚部为　 　.
15．（2020·南京模拟）复数z 复平面上对应的点位于第　 　象限．
16．（2020·泉州模拟）在复平面中，复数 对应的点分别为 ．设 的共轭复数为 ，则 　 　．
四、解答题
17．（2021高二下·昌吉期中）实数取何值时，复数是
（1）实数？
（2）虚数？
（3）纯虚数？
18．（2021高一下·浙江期中）已知复数z满足，的虚部为2，
（1）求复数z；
（2）若复数z在复平面内所对应的点位于第一象限，且复数m满足，求的最大值和最小值．
19．（2021高一下·齐齐哈尔期中）已知复数 ．当实数m取什么值时，复数z是：
（Ⅰ）纯虚数；
（Ⅱ）复平面内第二、四象限角平分线上的点对应的复数.
20．（2020高一下·大兴期末）已知复数 在复平面内对应点Z.
（1）若 ，求 ；
（2）若点Z在直线 上，求m的值.
21．（2020高一下·泰安开学考）已知复数 ， ， ．
（Ⅰ）当 时，求 的值；
（Ⅱ）若 是纯虚数，求a的值；
（Ⅲ）若 在复平面上对应的点在第二象限，求a的取值范围．
22．（2020高二下·吉林月考）当实数m取什么值时，复数 是：
（1）实数；
（2）纯虚数．
答案解析部分
1．【答案】B
【考点】复数的代数表示法及其几何意义
【解析】【解答】因为 时，所以 ， ，所以复数z在复平面内对应的点位于第二象限.
故答案为：B.
【分析】分别比较复数 的实部、虚部与0的大小关系，可判断出z在复平面内对应的点所在的象限.
2．【答案】B
【考点】复数相等的充要条件；复数代数形式的混合运算
【解析】【解答】解：由题意得-b+ai=1-bi，则b=-1,a=-b=1，则ab=-1.
故答案为：B
【分析】根据复数的运算，与相等复数的定义求解即可.
3．【答案】D
【考点】复数的代数表示法及其几何意义；两点间的距离公式
【解析】【解答】因为 ，
复数 在复平面内对应的点为 ，
到点 的距离为 .
故选：D
【分析】先化简复数 ，明确复数 在复平面内对应的点，再用两点间的距离公式求解.
4．【答案】A
【考点】复数的基本概念；复数代数形式的混合运算
【解析】【解答】由题意可知，，故.
故答案为：A.
【分析】由复数代数形式的运算性质整理化简，再由复数的定义即可得出答案。
5．【答案】A
【考点】复数的代数表示法及其几何意义
【解析】【解答】由于 满足条件 的复数 对应点都在以原点 为圆心的单位圆上，而 表示复数 对应点与复数 对应点 间的距离，再由 ，可得 的最大值为 .
故选：A．
【分析】由于 满足条件 的复数 对应点都在以原点 为圆心的单位圆上，而 表示复数 对应点与复数 对应点 间的距离，求得 的值，再加上半径1，即为所求．
6．【答案】D
【考点】复数的代数表示法及其几何意义
【解析】【解答】因为，所以对应的点在以原点为圆心，2，3为半径的圆环内，如图，记对应的点为，则，，
，由图可得：，，
所以的取值范围是．
故答案为：D．
【分析】由，确定复数z对应的点的轨迹， 可看做z对应的点与定点（1,1）的距离，即可求出范围。
7．【答案】B
【考点】复数的基本概念；复数求模
【解析】【解答】设 ， ， ，
相当于圆 上的点到原点距离的最大值，
即圆心到原点距离加半径： .
故答案为：B
【分析】设 ，由复数满足 可知， 相当于圆 上的点到原点距离，由此求 的最大值。
8．【答案】B
【考点】命题的真假判断与应用；复数的基本概念；复数代数形式的混合运算
【解析】【解答】解：逐一考查的说法：
对于① 时， 不成立；
对于②向量的运算满足完全平方公式，故对；
对于③,例如 =i，z2=1满足 ，但 ，故错.
故答案为：B.
【分析】对3个命题，①③通过反例判断命题的真假，②利用多项式的运算法则判断真假即可．
9．【答案】A,C
【考点】复数的代数表示法及其几何意义；复数求模
【解析】【解答】令 ，代入 ，
得 ，
解得 ，或 ，或 ，
所以 ，或 ，或 .
故答案为：AC
【分析】令 ，代入原式，解出 的值，结合选项得出答案．
10．【答案】B,C,D
【考点】复数的代数表示法及其几何意义；复数代数形式的乘除运算；复数求模
【解析】【解答】由 得， .
故 的虚部为-1，A不符合题意；
复数 在复平面内对应的点为 ，在第四象限，B符合题意；
的共轭复数 ，C符合题意；
，D符合题意.
故答案为：BCD.
【分析】 把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，然后逐一核对四个选项得答案.
11．【答案】A,C
【考点】复数的基本概念；复数的代数表示法及其几何意义；复数代数形式的混合运算；复数求模
【解析】【解答】对于A，设 ，则 ，
则 且 ，所以 ，所以 是纯虚数，A符合题意；
对于B，若 ， ，此时 ，但 ，B不符合题意；
对于C，若 ，在复平面对应的点为 ，则 ，在复平面对应的点为 ，所以 、 在复平面内对应的点关于实轴对称，C符合题意；
对于D，若 ， ，则 ， ，此时 ，但 、 的大小无法比较，D不符合题意.
故答案为：AC.
【分析】 由题意设，由复数的乘法运算及性质可得，即可判断出选项A；举出反例即可判断出选项B、D；由复数的何意义可判断出选项C，由此即可得出答案。
12．【答案】A,B
【考点】复数的代数表示法及其几何意义
【解析】【解答】因为 ，
对A， ，A符合题意.
对B， 对应的点为 ，在第一象限，B符合题意.
对C， 的虚部为 ，C不符合题意.
对D， ，D不符合题意.
故答案为：AB
【分析】根据复数的定义和几何意义以及共轭复数的概念，yi次判断选项即可。
13．【答案】
【考点】复数相等的充要条件
【解析】【解答】由复数相等得2x-1=y且3-y=1，解得，y=2，则.
故答案为：.
【分析】由复数相等直接求解即可.
14．【答案】
【考点】复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】 ，故虚部为： 。
故答案为： 。
【分析】利用复数的乘除法运算法则，从而求出复数 ，再利用复数的虚部的定义，从而求出复数 的虚部。
15．【答案】一
【考点】复数的代数表示法及其几何意义；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】∵复数 ，
∴复数对应的点的坐标是（ ， ）
∴复数 在复平面内对应的点位于第一象限，
故答案为：一
【分析】首先进行复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，分母变成一个实数，分子进行复数的乘法运算，整理成复数的标准形式，写出对应点的坐标，看出所在的象限．
16．【答案】-5i
【考点】复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】由题意，得 ，所以 ，
故 ．
故答案为：-5i.
【分析】利用复数的共轭复数概念及复数的乘法运算，即可得答案
17．【答案】（1）解：．
若复数为实数，则由或，
当或时，复数为实数．
（2）解：若复数为虚数，则由且，
当且时，复数为虚数．
（3）解：若复数为纯虚数，则
，
当时复数为纯虚数．
【考点】复数的基本概念
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合复数的运算法则得出复数，再结合复数为实数的判断方法，进而得出实数m的值。
（2）利用已知条件结合复数的运算法则得出复数 ，再结合复数为虚数的判断方法，进而得出实数m的值。
（3）利用已知条件结合复数的运算法则得出复数 ，再结合复数为纯虚数的判断方法，进而得出实数m的值。
18．【答案】（1）解：设，因为，所以，
又因为，的虚部为2，所以，
所以，所以或，
所以或；
（2）解：因为在复平面内所对应的点位于第一象限，所以，
设，因为，所以，所以，
所以复数在复平面内对应的点的轨迹是以为圆心，半径为1的圆，
所以，.
【考点】复数的基本概念；复数相等的充要条件；复数的代数表示法及其几何意义；复数求模
【解析】【分析】(1)利用复数的代数形式，根据复数的运算与概念求解即可；
(2)根据复数的几何意义，结合圆的性质求解即可.
19．【答案】解：（Ⅰ）
，
，
当复数 为纯虚数时， ，
解得 ，
所以当 时，复数 为纯虚数；
（Ⅱ）当复数 对应的点在复平面内第二、四象限角平分线上时，
，
解得 ，或 ，
所以 ，或 时，
复数 对应的点在复平面内第二、四象限角平分线上
【考点】复数的基本概念；复数的代数表示法及其几何意义
【解析】【分析】根据复数的运算先把复数化成z=a+bi的形式
（1）根据纯虚数的定义a=0且b≠0直接求解即可；
（2）由题意易得a+b=0，直接求解即可.
20．【答案】（1）解：∵ ，∴ ，∴
（2）解：若点Z在直线 上，则 ，
即 ，解得 或
【考点】复数的代数表示法及其几何意义；复数代数形式的乘除运算；复数求模
【解析】【分析】（1）先写出z，在根据 计算即可；（2）由题意，可得z的实部与虚部相等，由此可得关于m的方程求解.
21．【答案】解：（Ⅰ）由题意 ；
（Ⅱ）由题意 为纯虚数，则 ，所以 ；
（Ⅲ） ，对应点 ，它是第二象限点，则 ，解得 ．故 的范围是 ．
【考点】复数的基本概念；复数的代数表示法及其几何意义；复数代数形式的混合运算；复数求模
【解析】【分析】 （Ⅰ） 根据题意由复数的运算性质整理即可得出结果。
（Ⅱ） 由复数概念可求出a的值即可。
（Ⅲ） 由复数的乘除运算结合复数的几何意义即可得到关于a的不等式组，求解出a的取值范围即可。
22．【答案】（1）解：∵复数 是实数
∴
∴ 或 ；
（2）解：∵复数 是纯虚数
∴
∴
【考点】复数的基本概念；复数代数形式的混合运算
【解析】【分析】（1）复数为实数，则其虚部为0，且实部中数据有意义，则可求得结果；（2）复数为纯虚数，则实部为0，且虚部不为0，处理关于 的一元二次方程即可得结果.
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