精讲精练·专项突破 第七章《复数》单元能力提升（含详细解析） (50)

精讲精练·专项突破
2021-2022学年高一下学期人教版（2019）
第七章 《复数》 单元能力提升（含详细解析）
一、单选题
1．（2021高三上·福州期中）下面是关于复数 （ 为虚数单位）的命题，其中真命题为（　　）
A．
B．复数 在复平面内对应点在直线 上
C． 的共轭复数为
D． 的虚部为-1
2．（2020高三上·广州月考）已知复数 ，则 （　　）
A． B．3 C． D．5
3．（2020高三上·安徽期末）已知复数z满足 (i为虚数单位)，则 （　　）
A． B． C． D．
4．（2020·合肥模拟）欧拉公式 把自然对数的底数e，虚数单位i，三角函数 和 联系在一起，充分体现了数学的和谐美，被誉为“数学的天桥”，若复数 满足 ，则 （　　）
A．1 B． C． D．
5．（2021·惠州模拟）若复数 满足 ，则 的最大值为（　　）
A．1 B．2 C．4 D．9
6．（2020高三上·常州期末）当复数 时，实数 的值可以为（　　）
A．0 B．1 C．-1 D．±1
7．（2020高二下·石家庄期末）设复数 ，则复数 在复平面内对应的点的坐标为（　　）
A． B． C． D．
8．（2020·莆田模拟）若复数z满足 ，则 (　　)
A． B．1 C． D．2
二、多选题
9．（2021高二下·汕尾期末）已知复数 ，则（　　）
A． B．
C． 对应的点位于第二象限 D． 虚部为
10．（2020高三上·福州期中）已知复数 满足 为虚数单位 ，复数 的共轭复数为 ，则（　　）
A．
B．
C．复数 的实部为-1
D．复数 对应复平面上的点在第二象限
11．（2020高二上·威海期末）若复数 ，则（　　）
A． 的虚部为 -1
B．
C． 为纯虚数
D．若 ，则 的最大值为
12．（2020高三上·大东月考）若复数 ，则（　　）
A．
B．z的实部与虚部之差为3
C．
D．z在复平面内对应的点位于第四象限
三、填空题
13．（2021高一下·无锡期末）设 为实数，复数 在复平面内所对应的点位于第四象限，则 的取值范围为　 　．
14．（2020·南京模拟）设复数 ，其中 为虚数单位，则 　 　.
15．若复数 满足 （i是虚数单位），则复数z的模等于　 　．
16．（2021高三上·包头开学考）设复数 ， 满足 ， ，则 　 　
四、解答题
17．（2020高二下·吉林期中）实数x分别取什么值时，复数 是
（1）实数？
（2）虚数？
（3）纯虚数？
18．（2020高二下·聊城期末）
（1）已知 （其中 为虚数单位）是关于 的方程 的一个根，求实数 ， 的值；
（2）从0，2，4，6中任取2个数字，从1，3，5，7中任取1个数字，一共可以组成多少个没有重复数字的三位数？
19．（2021高二下·顺德月考）已知复数 ， ( ， 为虚数单位).
（1）若 是纯虚数，求实数 的值.
（2）若复数 在复平面上对应的点在第二象限，且 ，求实数 的取值范围.
20．（2020高一下·淄博期中）计算:
（1） ;
（2） .
21．（2021高一下·普宁期中）已知i为虚数单位，复数，，，
（1）将化的形式，这里a、；
（2）如果复平面内表示复数的点位于第四象限，求实数m的取值范围．
22．（2020高一下·淄博期中）已知平行四边形OABC的三个顶点 对应的复数为 .
（1）求点B所对应的复数 ；
（2）若 ，求复数 所对应的点的轨迹.
答案解析部分
1．【答案】C
【考点】复数的基本概念；复数的代数表示法及其几何意义；复数代数形式的混合运算；复数求模
【解析】【解答】 ，
所以 ，A不符合题意；
对应点坐标为 不在直线 上，B不符合题意；
共轭复数为 ，C符合题意；
虚部为1，D不符合题意．
故答案为：C．
【分析】首先由复数代数形式的运算性质整理，再结合复数模的概念即可得出答案。
2．【答案】D
【考点】复数代数形式的乘除运算；复数求模
【解析】【解答】 ，
所以 ，
故答案为：D
【分析】利用复数的乘法运算法则，求出的代数表达式，再利用复数求模公式即可求出的值.
3．【答案】A
【考点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】因为 ，所以 .
故答案为：A.
【分析】利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出答案。
4．【答案】B
【考点】复数代数形式的混合运算；复数求模
【解析】【解答】由题意 ，
∴ ．
故答案为：B．
【分析】由新定义化为复数的代数形式，然后由复数的除法运算求出 后再求模．
5．【答案】D
【考点】复数的代数表示法及其几何意义；复数代数形式的混合运算；复数求模
【解析】【解答】解：]由题意可知，设z=a+bi，则|z-i|=|a+(b-1)i|≤2,即a2+(b-1)2≤4，不妨设a=2cosθ，b=2sinθ+1，则=a2+ b2=4cos2θ+ 2sin2θ+ 4sinθ+1=5十4sinθ≤9，
故答案为：D.
【分析】根据复数的运算，结合共轭复数，复数的模求解即可.
6．【答案】C
【考点】虚数单位i及其性质
【解析】【解答】当 时， ，所以 不满足，A不正确.
当 时， ,所以 ，B不正确.
当 时， , ，满足，C符合题意.
由上可知，D不正确.
故答案为：C
【分析】对各个选项逐一进行分析判断，即可得到答案。
7．【答案】A
【考点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】因为 ，所以复数 在复平面内对应的点的坐标为 .
故答案为：A．
【分析】 直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．
8．【答案】B
【考点】复数代数形式的乘除运算；复数求模
【解析】【解答】 .
故答案为：B.
【分析】根据复数的除法运算，化简复数z，再求复数的模.
9．【答案】A,C
【考点】复数的基本概念；复数的代数表示法及其几何意义；复数代数形式的乘除运算；复数求模
【解析】【解答】因为 ，
所以 ， ， 对应点坐标为 在第二象限， 的虚部为2。
故答案为：AC．
【分析】利用已知条件结合复数的乘法运算法则，从而求出复数z，再利用复数与共轭复数的关系，从而求出复数z的共轭复数；再利用复数求模公式，从而求出复数z的模；利用复数的几何意义求出复数z对应的点的坐标，再利用点的坐标确定点所在的象限；利用复数的虚部的定义，从而求出复数z的虚部，进而选出正确的选项。
10．【答案】B,D
【考点】复数的基本概念；复数的代数表示法及其几何意义；复数代数形式的乘除运算；复数求模
【解析】【解答】因为复数 满足 ，
所以
所以 ，故A错误；
，故B正确；
复数 的实部为 ，故C错误；
复数 对应复平面上的点 在第二象限，故D正确.
故答案为：BD
【分析】因为复数 满足 ，利用复数的除法运算化简为 ，再逐项验证判断.
11．【答案】A,C,D
【考点】复数的基本概念；复数的代数表示法及其几何意义；复数代数形式的乘除运算；复数求模
【解析】【解答】由 ，
对A， 的虚部为 -1，正确；
对B， ，B不符合题意；
对C， ， 为纯虚数，正确；
对D，由 ，设 ，
则 ， ，D符合题意．
故答案为：ACD
【分析】利用已知条件结合复数的乘除法运算法则，从而求出复数z，再利用复数的虚部的定义，从而求出复数z的虚部；再利用复数求模公式，进而求出复数的模；再利用复数的乘法运算法则，从而结合纯虚数的判断方法，进而得出复数 为纯虚数；再利用复数求模公式结合已知条件，再利用几何法，从而求出复数z的模的最大值，进而找出正确的选项。
12．【答案】A,D
【考点】复数的代数表示法及其几何意义；复数代数形式的乘除运算；复数求模
【解析】【解答】解： ，
，
z的实部为4，虚部为 ，则相差5，
z对应的坐标为 ，故z在复平面内对应的点位于第四象限，所以AD符合题意，
故答案为：AD.
【分析】根据复数的运算，先求出复数z，再根据定义、模、几何意义即可求出答案。
13．【答案】
【考点】复数的代数表示法及其几何意义
【解析】【解答】解： ，
该复数在复平面内表示的点的坐标为 ，
因为该点在第四象限，故 ，且 ，
解得 ．
故答案为：
【分析】 利用复数的运算法则、几何意义、不等式的解法即可得出.
14．【答案】5
【考点】复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】 ，所以 .
故答案为：5.
【分析】计算得到 ，再计算 得到答案.
15．【答案】
【考点】复数代数形式的混合运算；复数求模
【解析】【解答】 复数z满足 ，
，
．
故答案为： .
【分析】由题意可得 ，再由复数模的概念即可得解.
16．【答案】
【考点】复数求模
【解析】【解答】设 ， ， ，由已知得： ， ， ，则 ，
，
则 。
故答案为： 。
【分析】设 ， ， ，再利用复数的模求解公式结合已知条件，得出，再利用复数加法计数原理结合已知条件，从而求出 ， ，再利用复数加减法运算法则，从而得出，再利用复数求模公式，从而求出复数的模，即的值。
17．【答案】（1）解：当x满足 ，即 时，z是实数.
（2）解：当x满足 ，即 且 时，z是虚数.
（3）解：当x满足 ，即 或 时，z是纯虚数.
【考点】复数的基本概念；复数的代数表示法及其几何意义
【解析】【分析】根据复数的分类求解．
18．【答案】（1）解：根据题意， 是方程 的一个根，则有 ，
变形可得： ，
则有 ，
解可得 ；
（2）解：根据题意，分2种情况讨论：
①选出的3个数字中含有0，此时有 种情况，即有48个没有重复数字的三位数；
②选出的3个数字中不含0，此时有 种情况，即有72个没有重复数字的三位数；
故可以组成 个没有重复数字的三位数．
【考点】复数的基本概念；复数的代数表示法及其几何意义；复数代数形式的混合运算
【解析】【分析】(1)根据题意由方程根的情况结合复数代数形式的运算性质以及复数的概念即可得到关于a与b的方程组求解出答案即可。
（2）根据题意，分2种情况讨论：①选出的3个数字中含有0，②选出的3个数字中不含0，求出每种情况三位数的数目，由加法原理计算可得答案．
19．【答案】（1）依据
根据题意 是纯虚数，故 ， 且 ，
故 ；
（2）依 ，
根据题意 在复平面上对应的点在第二象限，可得
综上，实数 的取值范围为
【考点】复数的基本概念；复数的代数表示法及其几何意义；复数代数形式的混合运算
【解析】【分析】（1）根据复数的运算，结合纯虚数的定义求解即可；
（2）根据复数的几何意义求解即可.
20．【答案】（1）解：
（2）解：
.
【考点】复数代数形式的混合运算
【解析】【分析】（1）先计算 ，再计算 得到答案.（2）化简得到 ，再计算得到答案.
21．【答案】（1）解：
；
（2）解：
因为复平面内表示复数z的点位于第四象限，
故
解得
即实数m的取值范围是
【考点】复数的基本概念；复数的代数表示法及其几何意义；复数代数形式的乘除运算
【解析】【分析】（1）由复数的加法及乘法运算即可求出答案；
（2）由复数的几何意义，列出不等式，即可求出m的范围。
22．【答案】（1）解：由已知得 ，
∴ ，
∴点 对应的复数 ．
（2）解：设复数 所对应的点 ，
∵ ，
∴点 到点 的距离为1，
∴复数 所对应的点Z的轨迹为以 为圆心，1为半径的圆，
且其方程为 .
【考点】复数的代数表示法及其几何意义
【解析】【分析】（1）根据复数加法的几何意义，求得 的坐标即可得到点B对应的复数．（2）根据复数模的意义可得复数z所对应的点的轨迹为圆，并可求得其方程．
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