精讲精练·专项突破 第七章《复数》单元能力提升（含详细解析） (48)

精讲精练·专项突破
2021-2022学年高一下学期人教版（2019）
第七章 《复数》 单元能力提升（含详细解析）
一、单选题
1．（2020高二下·大庆月考）复数 在复平面内对应的点在虚轴上，则 等于（　　）
A．2 B． C．1 D．
2．（2021高三上·南溪月考）当 时，复数 在复平面内对应的点位于（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．（2020高二下·开鲁期末）若复数 ，则复数 对应的点在第（　　）象限
A．一 B．二 C．三 D．四
4．（2021高一下·滁州期中）瑞士著名数学家欧拉发现了公式（为虚数单位），它将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位.根据欧拉公式可知，表示的复数在复平面内对应的点位于（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
5．（2021高二下·河南期中）已知为复数，则复平面内，对应的点位于第二象限，则对应的点位于（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
6．（2020·安徽模拟）已知复数z满足 ，则在复平面内z对应的点位于（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
7．（2020·杨浦模拟）设 为复数,则下列命题中一定成立的是(　　)
A．如果 ,那么
B．如果 ,那么
C．如果 ,那么
D．如果 ,那么
8．（2020高三上·汕头月考）已知复数 满足 ，则复数 在复平面内对应的点位于（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
二、多选题
9．给出下列命题，其中是真命题的是（　　）
A．纯虚数 的共轭复数是
B．若 ，则
C．若 ，则 与 互为共轭复数
D．若 ，则 与 互为共轭复数
10．（2021高一下·浙江月考）已知复数 ，则下列结论正确的是（　　）
A． B．复数z的共轭复数为
C． D．
11．（2020高一下·济南期末）任何一个复数 （其中 、 ， 为虚数单位）都可以表示成： 的形式，通常称之为复数 的三角形式.法国数学家棣莫弗发现： ，我们称这个结论为棣莫弗定理.根据以上信息，下列说法正确的是（　　）
A．
B．当 ， 时，
C．当 ， 时，
D．当 ， 时，若 为偶数，则复数 为纯虚数
12．（2021高二下·东莞期中）下列说法正确的有（　　）
A．任意两个复数都不能比大小.
B．若，则当且仅当时，.
C．若，且，则.
D．若复数，则.
三、填空题
13．（2021高一下·台州期末）已知复数 ( 为虚数单位)为纯虚数，则实数 　 　.
14．复数 ，(其中i为虚数单位)的实部为　 　．
15．（2020高一下·宁波期中）化简 　 　.点集 ，则 的最小值　 　和最大值　 　.
16．（2020高一下·天津期中）已知复数z满足(z－2)i＝1＋2i(i是虚数单位)，则复数z的模为　 　.
四、解答题
17．（2021高一下·宁波期末）（Ⅰ）在复数范围内解方程： ；
（Ⅱ）如图，在矩形 中， ， ， 为 中点，点 在边 上，若 ，求 的值．
18．（2020高二下·辽阳期中）已知i是虚数单位，复数 ， ， ．
（1）判断z是否为纯虚数，并说明理由；
（2）求 的值．
19．（2021高一下·浙江期中）已知复数，i为虚数单位．
（1）当z是纯虚数时，求m的值；
（2）当时，求．
20．（2020高二下·通州期中）已知 ， （其中 为虚数单位）.
（1）若 为纯虚数，求实数 的值；
（2）若 （其中 是复数 的共轭复数），求实数 的取值范围.
21．（2020高二下·顺德期中）已知复数 ．
（1）若 为实数，求实数 的值；
（2）若 为纯虚数，求实数 的值；
（3）若 在复平面上对应的点在直线 上，求实数 的值．
22．（2021高二下·河南期中）已知是复数，是纯虚数，为实数.
（1）求复数；
（2）若复数在复平面上对应的点位于第二象限，求实数的取值范围.
答案解析部分
1．【答案】D
【考点】复数的代数表示法及其几何意义；复数代数形式的混合运算
【解析】【解答】根据复数除法运算，化简可得
，
在复平面内对应的点的坐标为 且在虚轴上，
所以 ，即 .
故选：D.
【分析】根据复数除法运算，将复数化简后，结合复数在复平面内对应点的坐标，即可求得 的值.
2．【答案】D
【考点】复数的代数表示法及其几何意义
【解析】【解答】解：∵
∴0<3m-2<1,
∴复数 在复平面内对应的点(3m-2,m-1)位于第四象限
故答案为：D
【分析】根据复数的几何意义直接求解即可
3．【答案】A
【考点】复数的代数表示法及其几何意义
【解析】【解答】 ，
故复数z对应的点在第一象限.
故答案为：A.
【分析】根据周期性得到 ,得到答案.
4．【答案】B
【考点】复数的代数表示法及其几何意义
【解析】【解答】解：根据欧拉公式，
得 ，
即它在复平面内对应的点为 ，
故位于第二象限.
故答案为：B.
【分析】 根据欧拉公式，将原式化为 ，再结合三角函数的诱导公式和复数的几何含义，即可求解.
5．【答案】B
【考点】复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】设，则，
因 对应的点位于第二象限，则 ，
，它所对应点 在第二象限.
故答案为：B
【分析】设 ,由对应的点位于第二象限 求得a，b的符号，进一步确定 对应的点所在象限.
6．【答案】A
【考点】复数的代数表示法及其几何意义
【解析】【解答】 ，故复平面内z对应的点位于第一象限.
故答案为：A.
【分析】化简得到 ，得到答案.
7．【答案】C
【考点】复数相等的充要条件；复数求模
【解析】【解答】对于A,取 , 时, ,即 ,但虚数不能比较大小, ,故A错误;
对于B,由 ,可得 ,不能得到 ,故B错误;
对于C,因为 ,所以 ,故C正确;
对于D,取 , ,满足 ,但是 ,故D错误.
故选:C.
【分析】根据复数定义,逐项判断,即可求得答案.
8．【答案】A
【考点】复数的代数表示法及其几何意义；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：复数 满足 ，
则 ，
所以 ，
复数 在复平面内对应的点 位于为第一象限.
故答案为：A.
【分析】根据题意得 ，再根据复数除法运算得 ，进而得 ，复数 在复平面内对应的点 位于为第一象限.
9．【答案】A,D
【考点】复数的基本概念；复数相等的充要条件
【解析】【解答】A．根据共轭复数的定义，显然是真命题；
B．若 ，则 ，当 均为实数时，则有 ，当 ， 是虚数时， ，所以B是假命题；
C．若 ，则 可能均为实数，但不一定相等，或 与 的虚部互为相反数，但实部不一定相等，所以C是假命题；
D. 若 ，则 ，所以 与 互为共轭复数，D是真命题.
故答案为：AD
【分析】利用已知条件结合纯虚数的定义和复数与共轭复数的关系；利用复数相等的判断方法；再利用已知条件结合复数与共轭复数的关系，进而找出真命题的选项。
10．【答案】A,B,D
【考点】复数的基本概念；复数代数形式的混合运算；复数求模
【解析】【解答】由题意，复数 ，可得 ，所以A符合题意；
由共轭复数的概念，可得复数 的共轭复数为 ，所以B符合题意；
由 ，则 ，所以C不正确；
由复数的运算法则，可得 ，所以D符合题意.
故答案为：ABD.
【分析】 根据题意利用复数的相关概念及运算法则逐个选项判断正误即可．
11．【答案】A,C
【考点】复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算；复数求模
【解析】【解答】对于A选项， ，则 ，可得 ， ，A选项正确；
对于B选项，当 ， 时， ，B选项错误；
对于C选项，当 ， 时， ，则 ，C选项正确；
对于D选项， ，
取 ，则 为偶数，则 不是纯虚数，D选项错误.
故答案为：AC.
【分析】利用已知条件结合棣莫弗定理，再结合复数求模公式和复数的乘法运算法则，再结合共轭复数的定义和复数为纯虚数的判断方法，从而找出说法正确的选项。
12．【答案】B,D
【考点】复数相等的充要条件；复数求模
【解析】【解答】当两个复数都实数时可以比较大小，A不符合题意；
由复数相等的定义知B符合题意；
例如 ， ，但 ，C不符合题意；
时， ，
， ，
所以 ．D符合题意．
故答案为：BD．
【分析】 通过复数的基本性质，结合反例，以及复数的模，判断命题的真假即可得答案.
13．【答案】3
【考点】虚数单位i及其性质
【解析】【解答】由题意，复数 为纯虚数，则满足 ，解得 .
故答案为：3.
【分析】 由题意利用纯虚数的定义，求得m的值.
14．【答案】-4
【考点】复数的代数表示法及其几何意义；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】因为 ，所以 的实部为 .
故答案为：-4.
【分析】先化简复数为 形式，然后可得复数的实部.
15．【答案】-1；1；3
【考点】复数的代数表示法及其几何意义；复数代数形式的乘除运算；复数求模
【解析】【解答】解：
设 ，因为
即
根据复数的几何意义可知 表示以 为圆心， 为半径的圆上的点集，
则 ， ，
故答案为：-1；1；3.
【分析】根据复数的代数形式的除法、乘方运算法则计算可得，根据复数的几何意义得到z的轨迹，即可得到 的最值；
16．【答案】
【考点】复数求模
【解析】【解答】因为(z－2)i＝1＋2i，故可得 .
故可得 .
故答案为： .
【分析】根据复数的运算，即可求得复数 ，则模长得解.
17．【答案】解：（Ⅰ）由题意得 ，
所以 ，因此方程的根为 或 ．
（说明：用实系数一元二次方程的求根公式同样给分）
（Ⅱ）以 为坐标原点， 所在直线为 轴， 所在直线为 轴建立平面直角坐标系，如图．
则 ， ， ， ．
设 ，由 得 ，
所以
【考点】数量积的坐标表达式；平面向量数量积的运算；复数的基本概念
【解析】【分析】（1）根据配方法，结合复数的概念求解即可；
（2）根据向量数量积的坐标运算法则求解即可.
18．【答案】（1）解： ，不为纯虚数
（2）解：
．
【考点】复数的基本概念；复数代数形式的混合运算
【解析】【分析】(1)根据题意由复数代数式的运算性质整理化简得出答案。
(2)由组合数公式结合复数的运算性质计算出答案。
19．【答案】（1）解：由题意，解得；
（2）解：由题意
【考点】复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算
【解析】【分析】(1)由纯虚数实部为0，虚部不为0，列方程求解即可；
（2）由复数四则运算即可求解。
20．【答案】（1）解：由 ， ，
得 ，
为纯虚数，
，且 ，
.
（2）解： ，
，
，
即 ，
解得 .
【考点】复数的基本概念；复数的代数表示法及其几何意义；复数代数形式的混合运算
【解析】【分析】(1)根据题意由复数代数形式的乘除运算性质整理再结合题意为纯虚数，进而得到关于a的方程求解出a的值即可。
(2)首先整理化简再由复数模的定义结合已知条件即可得到关于a的不等式，求解出a的取值范围即可。
21．【答案】（1）解：若 为实数，则 ，
（2）解：若z为纯虚数，则 ，
解得实数a的值为2；
（3）解： 在复平面上对应的点 ，
在直线 上，则 ，即
解得 ．
【考点】复数的基本概念；复数的代数表示法及其几何意义
【解析】【分析】（1）由 为实数则虚部为0列式，即可求出实数 的值；
（2）由 为纯虚数则实部为0且虚部不为0列式，即可求出实数 的值；
（3）由 在复平面上对应的点 ，满足直线的方程代入列出方程，即可求出实数 的值；
22．【答案】（1）解：设，则，
，又为纯虚数，，即；
，
又为实数，，又，，
（2）解：，
对应的点为，
，解得：，实数的取值范围为
【考点】复数的代数表示法及其几何意义；复数代数形式的混合运算
【解析】【分析】（1）由复数的概念即可得； 再结合 为实数，即可解决问题；
（2）由复数的几何意义可得 ，求解即可。
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