精讲精练·专项突破 第七章《复数》单元能力提升（含详细解析） (52)

精讲精练·专项突破
2021-2022学年高一下学期人教版（2019）
第七章 《复数》 单元能力提升（含详细解析）
一、单选题
1．（2020高三上·宣城期末）设复数 满足： ，则 的虚部为（　　）
A． B． C． D．
2．（2020·辽宁模拟）已知复数 （ ）， 是实数，那么复数 的实部与虚部满足的关系式为（　　）
A． B． C． D．
3．（2020高三上·湖北月考）已知 （ 为虚数单位）的共轭复数为 ，则 （　　）
A．10 B．9 C． D．3
4．（2021高一下·联合期中）设复数（i为虚数单位），则在复平面内z对应的点位于（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
5．已知复数 （ 为虚数单位），则在复平面内Z所对应的点在（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
6．（2020·赤峰模拟）欧拉公式 （ 为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发 现的，它将指数函数的定义扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数理论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，根据欧拉公式可知， 表示的复数在复平面中位于（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
7．（2021高一下·慈溪期中）复数与复数在复平面内对应的点分别是、，若为坐标原点，则为（　　）
A． B． C． D．
8．（2020·芜湖模拟）已知复数 （ 为虚数单位），则z在复平面内对应的点位于（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
二、多选题
9．（2020高二下·泰州期末）已知复数 （其中 为虚数单位），则以下说法正确的有（　　）
A．复数 的虚部为
B．
C．复数 的共轭复数
D．复数 在复平面内对应的点在第一象限
10．（2020高二下·常熟期中）下面四个命题中的真命题为（　　）
A．若复数 满足 ，则
B．若复数 满足 ，则
C．若复数 ， 满足 ，则
D．若复数 ，则
11．（2021高一下·普宁期中）设是复数，则下列说法正确的是（　　）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若则
12．（2020高一下·胶州期中）已知复数 满足 ， ，则实数 的值可能是（　　）
A．1 B．-4 C．0 D．5
三、填空题
13．复数 　 　．
14．（2021高一下·南安期中）已知复数 （i为虚数单位），则 　 　.
15．（2021·黄浦模拟）设复数 （i为虚数单位），若 ，则 　 　.
16．（2021·湖北模拟）设复数 ，若 ，则 　 　.
四、解答题
17．（2021高一下·河北期中）已知复数 .
（1）若 为实数，求 值；
（2）若 为纯虚数，求 值；
（3）若复数 对应的点在第一象限，求 的范围.
18．（2021高一下·延寿月考）已知复数 （ ）．
（1）若复数z为纯虚数，求实数m的值；
（2）若复数z在复平面内对应的点在第二象限，求实数m的取值范围．
19．（2021高一下·吉林月考）实数 分别取什么数值时，复数 满足下列条件：
（1）纯虚数；
（2）对应的点在第一象限内．
20．（2020高二下·吉林期末）已知复数 是虚数单位），当实数 为何值时.
（1）复数 对应的点在第四象限；
（2）复数 .
21．（2020高一下·天津期中）当实数m取什么值时，复数 分别满足下列条件？
（1）复数Z实数；
（2）复数Z纯虚数；
（3）复平面内，复数Z对应的点位于直线 上.
22．（2021高一下·江南期中）已知复数的共轭复数为，且满足．
（1）求；
（2）若复数在复平面内对应的点在第二象限，求实数的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】D
【考点】复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】因为 ，故可得 。
则 的虚部为： 。
故答案为：D.
【分析】利用复数的乘除法运算法则，从而求出复数z，再利用复数z的虚部的定义，进而求出复数z的虚部。
2．【答案】B
【考点】复数的基本概念；复数代数形式的混合运算
【解析】【解答】
若 是实数，则虚部
故选：B
【分析】先利用复数的除法运算化简 ，若为实数，则虚部为零，即得解.
3．【答案】A
【考点】复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】由题意，复数 ，
则 ，所以 ，
故答案为：A.
【分析】利用复数的乘除法运算法则求出复数z，再利用复数与共轭复数的关系，从而求出复数z的共轭复数，再利用复数的乘法运算法则求出的值。
4．【答案】B
【考点】复数的代数表示法及其几何意义；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】，对应点为，在第二象限．
故答案为：B．
【分析】化简z得到代数形式，即可确定答案。
5．【答案】A
【考点】复数的代数表示法及其几何意义；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】由题意，根据复数的除法运算，可得复数 ，
则在复平面内 所对应的点为 ，在第一象限.
故答案为：A.
【分析】根据复数的除法运算，求得复数 ，再结合复数的几何意义，即可求解.
6．【答案】A
【考点】复数的代数表示法及其几何意义；欧拉公式的应用
【解析】【解答】 ,
当 时, ,
表示的复数对应的点为 在第一象限.
故选:A.
【分析】由 可知当 时, ,化简即可求得结果.
7．【答案】B
【考点】数量积表示两个向量的夹角；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】复数对应向量为，对应向量为
所以 ，则 。
故答案为：B.
【分析】利用已知条件结合复数的乘除法运算法则和复数的几何意义得出复数 对应向量和复数对应向量，再结合数量积求向量夹角公式得出的值。
8．【答案】C
【考点】复数的代数表示法及其几何意义
【解析】【解答】由 得 ，
故对应的点的坐标为 ，从而求出复数z在复平面内对应的点位于第三象限。
故答案为：C.
【分析】利用复数的除法运算法则求出复数z，再利用复数的几何意义，从而求出复数z在复平面内对应的点的坐标，进而根据点的坐标确定复数z在复平面内对应的点所在的象限。
9．【答案】B,C,D
【考点】复数的基本概念；复数的代数表示法及其几何意义；复数求模
【解析】【解答】因为复数 ，
所以其虚部为 ，即A不符合题意；
，B符合题意；
复数 的共轭复数 ，C符合题意；
复数 在复平面内对应的点为 ，显然位于第一象限，D符合题意.
故答案为：BCD.
【分析】利用复数的虚部的定义求出复数的虚部，再利用复数的模的求解公式，进而求出复数的模，再利用复数与共轭复数的关系，进而求出复数z的共轭复数，再利用复数的几何意义，进而求出复数z对应的点的坐标，再利用点的坐标确定点所在的象限，进而找出说法正确的选项。
10．【答案】A,D
【考点】复数的基本概念；复数相等的充要条件
【解析】【解答】若复数 满足 ，则 ，故命题A为真命题；
复数 满足 ，则 ，故命题B为假命题；
若复数 ， 满足 ，但 ，故命题C为假命题；
若复数 ，则 ，故命题D为真命题.
故答案为：AD
【分析】利用已知条件结合复数的乘除法运算法则结合复数为实数的判断方法，复数相等的判断方法，复数与共轭复数的关系，进而找出真命题的选项。
11．【答案】A,B,C
【考点】复数的基本概念；复数求模
【解析】【解答】解：对于项，若，则，，故正确；
对于 项，若 ，则 和 互为共轭复数，所以 ，故 正确；
对于 项，若 ，则 ， ，故 正确；
对于 项，若 ， ，则 ，而 ， ，故 错误．
故答案为：ABC．
【分析】由复数的模长公式，可判断A，C,D由共轭复数概念可判断B.
12．【答案】A,B,C
【考点】复数代数形式的混合运算
【解析】【解答】设 ，∴ ，
∴ ，
∴ ，解得： ，
∴实数 的值可能是 .
故答案为：ABC.
【分析】设 ，从而有 ，利用消元法得到关于 的一元二次方程，利用判别式大于等于0，从而求得a的范围，即可得答案.
13．【答案】1
【考点】虚数单位i及其性质
【解析】【解答】 。
故答案为：1。
【分析】利用虚数单位i的运算性质，进而求出复数。
14．【答案】
【考点】复数代数形式的乘除运算；复数求模
【解析】【解答】 ，
， .
故答案为： .
【分析】先做复数除法，化简Z，再求模。
15．【答案】1
【考点】复数求模；二阶行列式的定义
【解析】【解答】因为 ，
又 ，
所以 ，
所以 ，
即 ，
所以 .
故答案为：1
【分析】 先根据二阶行列式的定义写出算式，然后根据复数的模的定义式列出算式，再进行化简整理，并利用同角三角函数基本关系式，并将弦化切，进行转化可得 的值。
16．【答案】
【考点】复数代数形式的乘除运算；复数求模
【解析】【解答】 ， ，
，
所以 .
故答案为：
【分析】 由已知先求z2，再根据模的运算公式即可求解.
17．【答案】（1）解： 复数 为实数，则 ，解得
（2）解： 复数 为纯虚数，则 ，解得
（3）解： 复数 对应的点在第一象限，则 ，解得 .
因此，实数 的取值范围是
【考点】复数的基本概念；复数的代数表示法及其几何意义
【解析】【分析】（1）利用复数为实数的判断方法，进而求出m的值。
（2）利用复数为纯虚数的判断方法，进而求出m的值。
（3）利用复数的几何意义，进而求出复数z对应的点的坐标，再利用点的坐标确定点所在的象限，再利用已知条件复数 对应的点在第一象限， 进而求出m的取值范围。
18．【答案】（1）解：因为复数 为纯虚数，所以 ，
解之得，
（2）解：因为复数 在复平面内对应的点在第二象限，所以 ，
解之得 ，得 ．
所以实数 的取值范围为（2，3）．
【考点】复数的基本概念；复数的代数表示法及其几何意义
【解析】【分析】（1）根据纯虚数的定义直接求解即可；
（2）根据复数的几何意义直接求解即可.
19．【答案】（1）解：
（2）解：
【考点】复数的基本概念；复数的代数表示法及其几何意义
【解析】【分析】（1）根据纯虚数的定义直接求解即可；
（2）根据复数的几何意义直接求解即可.
20．【答案】（1）解：由题意，
，解得
（2）解：由 ，
得 ，解得
【考点】复数的基本概念；复数的代数表示法及其几何意义
【解析】【分析】（1）利用复数的几何意义求出复数对应的点的坐标，再利用点的坐标确定点所在的象限，再结合已知条件复数 对应的点在第四象限，进而求出实数m的取值范围。
（2） 因为复数 ，所以得出复数为实数，再结合复数为实数的判断方法结合，进而求出满足要求的m的值。
21．【答案】（1）解：由题可知，复数 ，
当 为实数时，则虚部为0，
由 ，解得： 或
（2）解：当Z纯虚数时，实部为0且虚部不为0，
由 ，解得：
（3）解：当Z对应的点位于直线 上时，则 ，
即：实部与虚部的和为0，
由 ，解得： 或 ．
【考点】复数的代数表示法及其几何意义；复数代数形式的混合运算
【解析】【分析】（1）由虚部为0，求解m值；（2）由实部为0且虚部不为0，列式求解m值；（3）由实部与虚部的和为0，列式求解m值．
22．【答案】（1）解：因为，
所以，
所以；
（2）解：，
因为复数在复平面内对应的点在第二象限，
所以，解得，
所以的取值范围为．
【考点】复数的代数表示法及其几何意义；复数代数形式的乘除运算
【解析】【分析】(1)把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，然后利用共轭复数的概念求得； (2)把复数 展开后化为复数的代数形式，再由实部小于0且虚部大于0列不等式组求解出实数的取值范围．
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