精讲精练·专项突破 第七章《复数》单元能力提升（含详细解析） (55)

精讲精练·专项突破
2021-2022学年高一下学期人教版（2019）
第七章 《复数》 单元能力提升（含详细解析）
一、单选题
1．（2021高一下·沈阳期末）已知复数 （ 为虚数单位），则 （　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【考点】复数代数形式的加减运算；复数求模
【解析】【解答】 ，则 ，
因此， .
故答案为：A.
【分析】 根据已知条件，运用复数的加法运算法则，以及复数模的公式，即可求解.
2．（2020高三下·兰溪开学考）已知 是虚数单位，复数 满足 ，则 （　　）
A． B．2 C．1 D．
【答案】A
【考点】复数代数形式的乘除运算；复数求模
【解析】【解答】 ，
所以 ，
故答案为：A.
【分析】利用复数的乘除法运算法则求出复数z，再利用复数z求模公式，从而求出复数z的模。
3．（2021高二下·桂林期末）设复数 ，则 的实部为（　　）
A．-1 B．2 C．-2 D．
【答案】B
【考点】复数的基本概念
【解析】【解答】解：根据复数的概念得z的实部为2.
故答案为：B
【分析】根据复数的概念直接求解即可.
4．（2021高三上·龙岗期中）已知复数 满足 （其中 为虚数单位），则复数 （　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【考点】虚数单位i及其性质；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】 ，
，则 .
故答案为：C.
【分析】根据复数的模长和复数代数形式的乘除运算化简，再利用共轭复数的概念可得答案。
5．（2020高二下·中山期中）若满足 ，则 (　　)
A．0 B．1 C．-1 D．±1
【答案】B
【考点】复数相等的充要条件
【解析】【解答】 ，
.
故答案为：B
【分析】首先求出 ，按照复数相等的充要条件列出方程组即可求得a.
6．（2020高二下·洛阳期末）已知a是实数， 是实数，则 的值为（　　）
A． B． C．0 D．
【答案】A
【考点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解： 是实数，
，即 ．
．
故答案为：A．
【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，由虚部为0求得 值，代入 得答案．
7．（2020高二下·中山期中）已知复数 满足， ，则 (　　)
A． B． C． D．5
【答案】C
【考点】复数代数形式的乘除运算；复数求模
【解析】【解答】 ，
.
故答案为：C
【分析】运用复数代数形式的除法运算求出复数z，然后求模即可.
8．（2020·东莞模拟）设复数 满足 ， 则复数z的共轭复数 在复平面内对应的点位于（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【考点】复数的代数表示法及其几何意义
【解析】【解答】 对应的点在第一象限．
故答案为：A．
【分析】先求出复数z，可得其共轭复数 ，从而可知其所在的象限.
二、多选题
9．（2021高一下·聊城期末）已知复数 ，则下列说法正确的是（　　）
A．若 ，则 的共轭复数
B．若复数 ，则
C．若复数 为纯虚数，则
D．若 ，则
【答案】A,B,D
【考点】复数的基本概念；复数相等的充要条件；复数代数形式的混合运算
【解析】【解答】对于A， 时， ，则 ，A符合题意；
对于B，若复数 ，则满足 ，解得 ，B符合题意；
对于C，若复数z为纯虚数，则满足 ，解得 ，C不符合题意；
对于D，若 ，则 ，
，D符合题意.
故答案为：ABD.
【分析】利用m的值求出复数z,再利用复数与共轭复数的关系，从而求出复数z的共轭复数；再利用已知条件结合复数相等的等价关系，从而求出m的值；利用已知条件结合纯虚数的定义，从而求出m的值；再利用m的值求出复数z,再结合复数的混合运算法则，从而求出复数，进而找出说法正确的选项。
10．（2021高一下·东莞期末）已知复数 ， 是 的共轭复数，则下列结论正确的是（　　）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
【答案】A,B
【考点】复数相等的充要条件；复数代数形式的乘除运算；复数求模
【解析】【解答】设 ，
若 ，即 ，所以 ， ，A符合题意；
若 ，则 ，所以 ，B符合题意；
若 ，则 ，C不符合题意；
若 ，则 ，D不符合题意．
故答案为：AB．
【分析】 先设 ，由共轭复数的定义、复数相等的定义、模的定义以及复数的运算,对四个选项逐一分析判断即可.
11．（2020高二下·宁德期末）下列说法正确的有（　　）
A．若离散型随机变量 的数学期望为 ，方差为 ，则 ，
B．若复数 满足 ，则 的最大值为6
C．4份不同的礼物分配给甲 乙 丙三人，每人至少分得一份，共有72种不同分法
D．10个数学竞赛名额分配给4所学校，每所学校至少分配一个名额，则共有 种不同分法
【答案】A,B,D
【考点】复数的代数表示法及其几何意义；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】解：对于A，因为离散型随机变量 的数学期望为 ，方差为 ，所以 ， ，所以A符合题意；
对于B，因为 ，所以复数 对应的点 在以 为圆心，1为半径的圆上，所以 表示点 与原点 的距离，根据圆的几何性质可知， 的最大值为 ，所以B符合题意；
对于C，4份不同的礼物分组的方式只有1，1，2，所以只有 种情况，再分配给三人，有 种方式，最后根据分步乘法计数原理可知，共有36种不同的方法，所以C不符合题意；
对于D，10个数学竞赛名额分配给4所学校，每所学校至少分配1个名额，采用挡板法可知，共有 种不同的分法，D符合题意，
故答案为：ABD
【分析】 根据离散型随机变量X的数学期望和方差的性质即可知A正确；根据复数的几何意义可知B正确；根据先分组再分配的原则可知C错误，利用挡板法可知D正确．
12．（2021高三上·辽宁月考）下列说法正确的有（　　）
A．命题 的否定是
B．若复数 、 满足 ，则
C．若平面向量 、 满足 ，则
D．在△ABC中，若 ，则△ABC为锐角三角形
【答案】A,C,D
【考点】命题的否定；复数代数形式的乘除运算；复数求模；三角形的形状判断
【解析】【解答】对于A项，根据特称命题的否定可知 的否定是 ，A符合题意；
对于B项，设 ， ， ，但 ， ，B项错误；
对于C项，由向量的数量积定义可知 、 满足 ，则 正确，C符合题意；
对于D项，由 可得 和 同号，所以 只能都是锐角，又 ，所以 ，则C也是锐角，D项正确；
故答案为：ACD
【分析】利用全称命题与特称命题互为否定的关系，从而写出命题 的否定；利用已知条件结合复数的模求解方法，再利用复数乘法运算法则，从而得出设 ， ， ，但 ， ，所以二者不相等；再利用已知条件结合数量积求向量的模的公式，从而得出若平面向量 、 满足 ，则 ；由 可得 和 同号，所以 只能都是锐角，再利用两角和的正切公式，从而得出 ，则C也是锐角，从而找出说法正确的选项。
三、填空题
13．（2020高三上·天津期末） 是虚数单位，若复数 满足 ，则 　 　.
【答案】
【考点】复数代数形式的混合运算
【解析】【解答】 .
故答案为： .
【分析】利用复数的除法运算，求得 .
14．（2020高三上·温州期末）已知复数z满足 ，则z的虚部是　 　， 　 　．
【答案】-2；
【考点】复数的基本概念；复数代数形式的混合运算；复数求模
【解析】【解答】 ，
，
z的虚部是 ， .
故答案为：-2； .
【分析】首先由复数的运算性质整理化简得出复数z再由复数的定义即可得出答案。
15．设复数 满足 ， 在复平面内对应的点为 则 ， 满足的关系式为　 　.
【答案】
【考点】复数的代数表示法及其几何意义
【解析】【解答】由题意，设复数 ，
因为 ，可得 ，整理得 ，
即复数 在复平面内对应的点为 则 满足的关系式为 .
故答案为： .
【分析】由 在复平面内对应的点为 ，可得 ，然后根据即可得解。
16．（2021高一下·丽水期末）已知复数 满足 ，则 的最大值是　 　．
【答案】7
【考点】复数的代数表示法及其几何意义
【解析】【解答】 在复平面内， 表示复数 在以圆心是 ，半径为 的圆上， 而 表示复数 对应的点到坐标原点 的距离， 所以 的最大值就是 .
故答案为：7.
【分析】 表示复数 在以圆心是 ，半径为 的圆上， 而 表示复数 对应的点到坐标原点 的距离， 计算可得 的最大值 。
四、解答题
17．（2021高二下·浦东期中）已知复数满足（为虚数单位），
（1）求复数；
（2）若，求的取值范围．
【答案】（1）解：设
则，
．
（2）解：
【考点】二次函数在闭区间上的最值；复数的基本概念；复数相等的充要条件；复数求模
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合复数与共轭复数的关系，进而得出复数z的共轭复数，再结合复数求模公式结合复数相等判断方法，进而得出复数z。
（2）利用已知条件结合复数求模公式结合二次函数的图像求值域的方法，进而得出 的取值范围。
18．已知复数 ， ．
（Ⅰ）若 为纯虚数，求m的值；
（Ⅱ）若 对应的点在直线 上，求m的值．
【答案】解：由题意，复数 ，
则 ，
（Ⅰ）若 为纯虚数，则有 ，
解得： ．
（Ⅱ）根据 对应的点 在 上，
可得 ，
解得： ．
【考点】复数的基本概念；复数的代数表示法及其几何意义
【解析】【分析】（Ⅰ）将复数整理成代数形式，根据实部为0，虚部不为0，列式可解得结果；
（Ⅱ）根据复数的几何意义得到复数所对应的点，再代入直线方程可解得结果.
19．设复数 ，若 ，求实数 的值.
【答案】解： ，
，
，解得 .
【考点】复数相等的充要条件
【解析】【分析】首先利用复数代数形式的乘除运算化简复数z,然后把z代入 ,整理后利用复数相等的条件可求得 的值.
20．（2021高一下·电白期中）已知已知为虚数单位，复数，且为纯虚数．
（1）求复数及；
（2）若，求复数的模．
【答案】（1）解：由题可得，
因为为纯虚数，所以且，解得，
所以，．
（2）解：由（1）可得，
所以．
【考点】复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算；复数求模
【解析】【分析】（1）由为纯虚数，利用纯虚数的概念列方程即可求解。
（2）由复数的四则运算先化成代数形式，代入模长公式即可求解。
21．（2020高二下·郑州期末）设实部为正数的复数 ，满足 ，且复数 在复平面上对应的点在第二、四象限的角平分线上.
（1）求复数 ；
（2）若 为纯虚数，求实数 的值.
【答案】（1）解：设 ， ， .
由题意： .①
，
得 ，
，②
①②联立，解得 ，
得 .
（2）解：由（1）可得
所以
由题意可知 解得 且 且
所以
【考点】复数的代数表示法及其几何意义
【解析】【分析】（1）设 ， 且 ，由条件可得 ①， ②．由①②联立的方程组得 、 的值，即可得到 的值；（2）根据实部为0，虚部不为0即可求解 ．
22．（2021高一下·深圳期中）已知复数z满足 .
（1）求z；
（2）若 ，求 .
【答案】（1）设复数 ，则
由复数相等得 ，解得
（2）由（1）得
∴
∵
∴
∴ .
【考点】复数相等的充要条件；复数代数形式的混合运算；复数求模
【解析】【分析】（1）根据复数的四则运算法则，结合相等复数的概念求解即可；
（2）根据复数的四则运算法则，结合共轭复数的概念，运用求模公式求解即可.
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