精讲精练·专项突破 第七章《复数》单元能力提升（含详细解析） (57)

精讲精练·专项突破
2021-2022学年高一下学期人教版（2019）
第七章 《复数》 单元能力提升（含详细解析）
一、单选题
1．（2020高二下·常熟期中）已知复数 （其中 是虚数单位），则复数 的虚部为（）
A．-1 B． C．1 D．
【答案】A
【考点】复数的基本概念
【解析】【解答】 ，则复数 的虚部为-1。
故答案为：A
【分析】利用复数的乘除法运算法则，进而求出复数z，再利用复数虚部的定义，进而求出复数得虚部。
2．（2020高二下·吉林期中）复数 的共轭复数对应的点位于（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【考点】复数的代数表示法及其几何意义
【解析】【解答】复数 的共轭复数为 ，对应的点在第一象限.
故答案为：A.
【分析】计算共轭复数得到 ，再判断对应点得到答案.
3．（2020高二下·赣州期末）设复数z满足 ，则复数z的共轭复数对应的点在第（　　）象限.
A．一 B．二 C．三 D．四
【答案】A
【考点】复数的代数表示法及其几何意义；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：由 ，得 ，
∴ .
则复数 的共轭复数对应的点的坐标为 ，在第一象限．
故答案为：A.
【分析】 把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，再求出 的坐标得答案．
4．（2021高二下·淮南月考）欧拉公式 ( 为自然底数， 为虚数单位)是瑞士数学家欧拉最早发现的，是数学界最著名 最美丽的公式之一根据欧拉公式，复数 在复平面内对应点所在的象限是（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【考点】复数的代数表示法及其几何意义
【解析】【解答】由已知 ，对应点 ，
而 ，即 ，点在第一象限。
故答案为：A。
【分析】利用已知条件结合复数的几何意义，得出复数 在复平面内对应点的坐标，再利用弧度数所在的象限结合三角函数值所在象限的符号，进而判断出复数 在复平面内对应点所在的象限 。
5．（2021·安徽模拟）复数 ，则 （　　）
A． B．4 C． D．
【答案】A
【考点】复数代数形式的混合运算；复数求模
【解析】【解答】解：由题意得 ，
则.
故答案为：A
【分析】根据复数的运算，以及复数的求模公式求解即可.
6．在复平面内，复数 对应向量 （o为坐标原点），设 ，以射线 为始边， 为终边旋转的角为 ，则 ，法国数学家棣莫弗发现棣莫弗定理： ， ,则 ，由棣莫弗定理导出了复数乘方公式: ,则 （　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【考点】复数的代数表示法及其几何意义；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】由题意得复数 可化为 ，
所以 ．
故答案为：A．
【分析】先将复数 化为 的形式，然后再根据由棣莫弗定理得到的复数的乘方公式计算即可．
7．（2020高二下·吉林期中）若复数z满足 ，则 的虚部为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【考点】复数代数形式的乘除运算；复数求模
【解析】【解答】解：由题意得，
所以z的虚部为 .
故答案为：B
【分析】由复数的模长公式计算出等式右边，再把复数变形，利用复数代数形式的乘除运算计算出z，进而得到虚部．
8．（2020·长春模拟）已知复数 的实部为3，其中i为虚数单位，则复数 的虚部为（　　）
A．-1 B．-i C．1 D．i
【答案】A
【考点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】 ，
∴ .
故答案为：A.
【分析】根据复数的乘法运算化简复数z，由其实部即可求得参数a.
二、多选题
9．（2021高一下·湖州期中）在复平面内，下列说法正确的是（　　）
A． B．
C．若，则 D．若复数z满足，则z是虚数
【答案】B,D
【考点】虚数单位i及其性质；复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】对于A，，故A错误；
对于B， ，故B正确；
对于C，两个虚数不能比较大小，故C错误；
对于D，设 ，则 ， ，则 ，解得 ，故 是虚数，故D正确；
故答案为：BD
【分析】利用已知条件结合复数乘法运算法则、虚数单位i的运算法则、两个虚数不能比较大小、复数为虚数的判断方法，从而找出说法正确的选项。
10．以下为真命题的是（　　）
A．纯虚数 的共轭复数等于
B．若 ，则
C．若 ，则 与 互为共轭复数
D．若 ，则 与 互为共轭复数
【答案】A,D
【考点】复数的基本概念；复数相等的充要条件
【解析】【解答】解：对于A，若 为纯虚数，可设 ，则 ，
即纯虚数 的共轭复数等于 ，A符合题意；
对于B，由 ，得出 ，可设 ，则 ，
则 ，此时 ，B不符合题意；
对于C，设 ，则 ，则 ，
但 不一定相等，所以 与 不一定互为共轭复数，C不符合题意；
对于D， ，则 ，则 与 互为共轭复数，D符合题意.
故答案为：AD.
【分析】利用纯虚数的定义结合复数与共轭复数的关系求出共轭复数，利用已知条件 结合复数相等的判断方法、再利用已知条件结合实数的定义和共轭复数的关系、再结合已知条件结合复数相等的判断方法和共轭复数的关系，进而找出真命题的选项。
11．（2020高三上·邯郸期末）已知复数 ，则下列结论正确的是（　　）
A．
B．复数 在复平面内对应的点在第二象限
C．
D．
【答案】A,D
【考点】复数的代数表示法及其几何意义；复数代数形式的乘除运算；复数求模
【解析】【解答】 ，
复数 在复平面内对应的点在第一象限，AD符合题意.
故答案为：AD
【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数的模、共轭复数的概念，进行判断即可得到答案。
12．（2020高一下·沈阳期末）已知复数 在复平面内对应的点位于第二象限，且 则下列结论正确的是（　　）．
A． B．z的虚部为
C．z的共轭复数为 D．
【答案】A,B
【考点】复数的代数表示法及其几何意义；复数求模
【解析】【解答】解： ，且 ，
复数 在复平面内对应的点位于第二象限
A:
B: 的虚部是
C: 的共轭复数为
D:
故答案为：AB．
【分析】利用复数 的模长运算及 在复平面内对应的点位于第二象限求出a，再验算每个选项得解.
三、填空题
13．已知 ，则 　 　
【答案】
【考点】复数求模
【解析】【解答】由题,
故答案为：
【分析】对于坐标法表示的向量 ,向量的模为 ,代入计算即可
14．（2021高二下·湖州期末）在复平面内，复数z=i(1+2i)（i是虚数单位）的虚部是　 　，复数z的模等于　 　.
【答案】1；
【考点】虚数单位i及其性质；复数求模
【解析】【解答】由题得z=-2+i，
所以复数z的虚部为1，复数z的模为 .
故答案为：1； .
【分析】 根据已知条件，运用复数的运算法则，以及复数模的公式，即可求解.
15．（2020·南通模拟）已知复数 满足 （i为虚数单位），则复数 的模为　 　
【答案】
【考点】虚数单位i及其性质；复数求模
【解析】【解答】∵复数z满足z i＝1+i（i是虚数单位），
∴z 1﹣i，
∴复数z-i=1﹣2i, 故 的模为： ．
故答案为 ．
【分析】推导出z 1﹣i，由此能求出复数z-i的模．
16． 是虚数单位,若 是纯虚数,则实数 的值为　 　.
【答案】-2
【考点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】
因为复数为纯虚数，
所以 ，得 .
故答案为：-2.
【分析】对复数 进行化简计算，再根据纯虚数的定义，得到 的值.
四、解答题
17．（2021高一下·浙江期中）设复数 ，其中i为虚数单位， ．
（1）若 是纯虚数，求实数a的值；
（2）若 ，求复数 的模．
【答案】（1）解：由题意 ，它为纯虚数，
则 ，解得
（2）解：若 ，则 ，所以 ．
【考点】复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算；复数求模
【解析】【分析】（1）由复数的乘法运算得到 ，再由纯虚数的概念列出方程即可求a;
(2)化简 ，代入模长公式即可。
18．（2021高二下·吕梁期末）已知复数 (1+i)-a(2+5i)-3(1-2i),其中为i虚数单位.
（1）若复数z为纯虚数，求实数a的值；
（2）若复数z在复平面内对应的点在第三象限，求实数a的取值范围.
【答案】（1）化简得 i，
因为复数z为纯虚数，
所以
解得 .
（2）∵复数z在复平面内对应的点在第三象限，
，
所以 ，
解得2∴实数a的取值范围是(2，3).
【考点】复数的基本概念；复数的代数表示法及其几何意义；复数代数形式的混合运算
【解析】【分析】 (1)由实部为0且虚部不为0列式求解出a的值；
(2)由实部小于0且虚部大于0，由此得到关于a的不等式组，求解出a的取值范围即可。，
19．（2021高一下·延寿月考）在复平面内，A，B，C三点对应的复数分别为1，2+i，﹣1+2i．
（1）求向量 ， ， 对应的复数；
（2）若ABCD为平行四边形，求D点对应的复数．
【答案】（1）解：∵A，B，C三点对应的复数分别为1，2+i，﹣1+2i，
∴A（1，0），B（2，1），C（﹣1，2），
∴ ，
∴向量 对应的复数为1+i，﹣2+2i，﹣3+i
（2）解：设D（x，y），则
，
故x＝﹣2，y＝1；
故D点对应的复数为﹣2+i．
【考点】相等向量与相反向量；平面向量的坐标运算；复数的代数表示法及其几何意义
【解析】【分析】（1）根据复数的几何意义，结合向量的坐标运算求解即可；
（2）根据平行四边形的几何性质，结合相等向量的定义直接求解即可.
20．已知复数z： 当m取何值时复数z是：
（1）实数；
（2）纯虚数；
（3） .
【答案】（1）解：由 为实数，所以 ，解得 或 ，所以当 或 时 为实数；
（2）解：由 为纯虚数，可得 ，即 ， 解得 ，
所以当 时 为纯虚数
（3）解：由 ，所以 ，所以 ，解得 ，所以当 时 .
【考点】复数的基本概念；复数相等的充要条件
【解析】【分析】（1）当且仅当虚部为0时，复数为实数；（2）当且仅当实部为0，虚部不为0时，复数为纯虚数；（3）当实部为2，虚部为5时，复数 .
21．（2020高二下·重庆期中）已知复数 ， ，（ ， 是虚数单位）
（1）若 ，求 ， ；
（2）若 ，求复数 ， .
【答案】（1）解：因为复数 ， ， ，所以 ，
得 ， ，所以 ， ，即复数 ， ，
故 ， ；
（2）解：因为复数 ， ， ，所以
得 ，所以 ，所以
故 ， .
【考点】复数相等的充要条件；复数代数形式的乘除运算
【解析】【分析】（1）根据复数加法运算以及复数相等的条件计算参数，再计算模长即可；
（2）根据复数乘法运算以及复数相等的条件计算参数，即得结果。
22．（2020高二下·越秀期中）复数 .
（Ⅰ）实数m为何值时，复数z为纯虚数；
（Ⅱ）若m=2，计算复数 ．
【答案】解：（Ⅰ）欲使z为纯虚数，则须 且 ，所以得
（Ⅱ）当m=2时，z=2+ , =2- ,故所求式子等于 =
【考点】复数的基本概念；复数代数形式的混合运算
【解析】【分析】(Ⅰ)复数为纯虚数，则实部为0，虚部不为零，据此可得 ；(Ⅱ)利用复数的运算法则计算可得 .
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