精讲精练·专项突破 第七章《复数》单元能力提升（含详细解析） (59)

精讲精练·专项突破
2021-2022学年高一下学期人教版（2019）
第七章 《复数》 单元能力提升（含详细解析）
一、单选题
1．（2021·嘉兴模拟）已知 为虚数单位，且复数 是纯虚数，则实数 （　　）．
A．1或-1 B．1 C．-1 D．0
【答案】A
【考点】复数的基本概念
【解析】【解答】 ，
因为复数 是纯虚数，故 ， 即 。
故答案为：A.
【分析】利用复数的乘除法运算法则求出复数 的代数表达式，再利用复数为纯虚数的判断方法，从而求出实数a的值。
2．（2020高二下·舒兰期中）复数 的共扼复数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【考点】虚数单位i及其性质
【解析】【解答】 ，
∴ ．
故答案为：A.
【分析】先根据虚数单位 的性质化简复数z，然后再求它的共轭复数.
3．（2020高二下·山西期中）已知复数 满足 ，则 在复平面内对应的点位于（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【考点】复数的代数表示法及其几何意义；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】已知复数 满足 ，则 ，所以在复平面内对应的点位于第二象限。
故答案为：B
【分析】利用复数的乘除法运算法则求出复数z，再利用复数z的几何意义，进而求出复数z对应的点的坐标，再利用点的坐标确定复数z在复平面内对应的点位于的象限。
4．（2020高二下·柳州模拟）复数z满足 ，则 （　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【考点】复数代数形式的混合运算；复数求模
【解析】【解答】 ，
∴ ．
故选：D．
【分析】先求等式右边的模，然后由复数的除法运算计算 ．
5．（2020高一下·红桥期中）已知 ，则 （　　）
A．i B．2i C． D．3i
【答案】D
【考点】复数的代数表示法及其几何意义
【解析】【解答】 .
故答案为： .
【分析】根据复数乘法运算的三角表示，即得答案.
6．（2020高二下·徐州月考）已知 是虚数单位， 且 ，则 （　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【考点】复数代数形式的混合运算
【解析】【解答】∵ ，
∴ ，
∴ .
故选：C.
【分析】根据等式可求得 的值，再代入 中，利用复数的乘方运算，即可得答案.
7．（2020高二下·嘉定期末）下列命题中,正确的命题是（　　）
A．若 ，则
B．若 ，则 不成立
C． ，则 或
D． ，则 且
【答案】C
【考点】复数的代数表示法及其几何意义；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】A．当 时， ，此时 无法比较大小，故错误；
B．当 时， ，所以 ，所以此时 成立，故错误；
C．根据复数乘法的运算法则可知： 或 ，故正确；
D．当 时， ，此时 且 ，故错误.
故答案为：C.
【分析】A．根据复数虚部相同，实部不同时，举例可判断结论是否正确；
B．根据实数的共轭复数还是其本身判断 是否成立；
C．根据复数乘法的运算法则可知是否正确；
D．考虑特殊情况： ，由此判断是否正确.
8．（2020高三上·稷山月考）已知 是 的共轭复数，则 （　　）
A．-1 B． C． D．1
【答案】D
【考点】复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】 ，
，
.
故答案为：D.
【分析】 由，根据共轭复数的概念得 进而得到，再求解即可。
二、多选题
9．（2021高一下·平潭月考）已知 与 是共轭虚数，以下4个命题一定正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B,C
【考点】复数的基本概念；复数代数形式的混合运算；复数求模
【解析】【解答】 与 是共轭虚数，设 ， .
； ，因为虚数不能比较大小，因此 不正确；
， 正确；
， 正确；
不一定是实数，因此 不一定正确.
故答案为：BC.
【分析】根据题意设出和，再由复数模的定义以及复数代数形式的运算性质整理化简对选项逐一判断即可得出答案。
10．（2020高一下·菏泽期末）下列命题中，正确的是（　　）
A．复数的模总是非负数
B．复数集与复平面内以原点为起点的所有向量组成的集合一一对应
C．如果复数 对应的点在第一象限，则与该复数对应的向量的终点也一定在第一象限
D．相等的向量对应着相等的复数
【答案】A,B,D
【考点】复数的代数表示法及其几何意义；复数求模
【解析】【解答】设复数 ，
对于A， ，A符合题意．
对于B，复数 对应的向量为 ，
且对于平面内以原点为起点的任一向量 ，其对应的复数为 ，
故复数集与复平面内以原点为起点的所有向量组成的集合一一对应，B符合题意．
对于B，复数 对应的向量为 ，
且对于平面内的任一向量 ，其对应的复数为 ，
故复数集中的元素与复平面内以原点为起点的所有向量组成的集合中的元素是一一对应，B符合题意．
对于C，如果复数 对应的点在第一象限，则与该复数对应的向量的终点不一定在第一象限，
C不符合题意．
对于D，相等的向量的坐标一定是相同的，故它们对应的复数也相等，D符合题意．
故答案为：ABD．
【分析】利用复数的模的取值范围，复数的几何意义、复数对应的点的坐标确定点所在的象限、相等向量的定义，从而找出命题正确的选项。
11．（2021高二下·南海期末）已知集合 ，其中 为虚数单位，则下列元素属于集合 的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B,C
【考点】复数求模
【解析】【解答】因为 ，所以 ， ， ， ．
故答案为：BC．
【分析】 对n进行分类讨论，可得出集合M，然后逐一核对四个选项的答案是否属于集合M即可.
12．（2021高三上·高邮月考）已知i为虚数单位，复数z满足 ，则下列说法正确的是（　　）
A．复数z的虚部为
B．复数z的共轭复数为
C．复数z模为
D．复数z在复平面内对应的点在第二象限.
【答案】C,D
【考点】复数的代数表示法及其几何意义；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：因为 ，
所以 ，
所以复数z 的虚部为 ,复数 的共轭复数为 ,A，B选项错误；
复数z 模为 ,复数 在复平面内对应的点 在第二象限，CD选项正确.
故答案为：CD
【分析】 把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，然后逐项分析，可得答案.
三、填空题
13．（2021高三上·山东月考）设复数满足，且是纯虚数，试写出一个满足条件的复数：　 　.
【答案】
【考点】复数代数形式的混合运算；复数求模
【解析】【解答】设，由，可得，解得，
又是纯虚数，设且，则，则，解得，
所以或.
故答案为：
【分析】由复数模的定义结合复数代数形式的运算性质，计算出z即可。
14．设 ，i为虚数单位，则 　 　.
【答案】
【考点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】 .
故答案为：
【分析】利用复数的乘法运算法则计算即可.
15．（2021高一下·宁波期中）设复数满足，且，则=　 　．
【答案】
【考点】复数代数形式的加减运算；复数求模
【解析】【解答】因为，所以，
又因为 ，
所以 ，
所以 。
故答案为： 。
【分析】利用已知条件结合复数求模公式和平方法，进而得出 的值。
16．（2020高一下·和平期中）已知复数 ，则复数 的模为　 　；复数 的虚部为　 　.
【答案】；
【考点】复数代数形式的乘除运算；复数求模
【解析】【解答】 ， ，
所以，复数 的虚部为 ，模为 .
故答案为： ； .
【分析】利用复数的除法法则将复数表示为一般形式，可得出复数 的虚部，利用复数的模长公式可求出复数 的模.
四、解答题
17．（2020高二下·兰陵期中）已知复数 ， ．
（1）若 为纯虚数，求实数 的值；
（2）若 在复平面上对应的点在直线 上，求实数 的值．
【答案】（1）解：若 为纯虚数，则 ，且 ，
解得实数 的值为2；
（2）解： 在复平面上对应的点 ，
在直线 上，则 ，
解得 ．
【考点】虚数单位i及其性质；复数的代数表示法及其几何意义
【解析】【分析】 （1）若z为纯虚数，实部为0，虚部不为0，求实数a的值；
（2）求出z在复平面上对应的点的坐标，代入直线x+2y+1=0，求实数a的值．
18．（2020高二下·常熟期中）已知复数 满足 为实数， 为纯虚数，其中 是虚数单位.
（1）求实数 ， 的值；
（2）若复数 在复平面内对应的点在第四象限，求实数 的取值范围.
【答案】（1）解：因为 为实数，所以 ，
因为 为纯虚数，
所以 ．
（2）解： ， ，所以 ，
因为复数 在复平面内对应的点在第四象限，
所以 ，解之得 ．
【考点】复数的基本概念；复数的代数表示法及其几何意义
【解析】【分析】（1）利用复数的加法运算法则结合已知条件，再结合复数为实数的判断方法，进而求出b的值，再利用复数的乘除法运算法则结合已知条件，再结合复数为纯虚数的判断方法，进而求出a的值。
（2）利用（1）求出的a,b的值求出复数z,再结合复数与共轭复数的关系求出复数z的共轭复数，再利用复数的加减法运算法则求出复数 ，再利用复数的几何意义结合已知条件复数 在复平面内对应的点在第四象限， 进而求出实数m的取值范围。
19．（2020高二下·绥化期末）已知复数 ，求复数 在复平面内对应的点，到点 的距离.
【答案】解：因为 ，复数 在复平面内对应的点为 ，
到点 的距离为
【考点】复数的代数表示法及其几何意义；复数代数形式的混合运算
【解析】【分析】 根据复数的运算法则进行化简，结合复数的几何意义以及两点间的距离公式进行计算即可．
20．（2021高一下·通化期中）已知复数 ，试求实数a分别取什么值时，z分别为：
（1）实数；
（2）虚数；
（3）纯虚数.
【答案】（1）由己知得，a2-5a-6=0
解得：a=-1或a=6
所以当a=-1或a=6时，z为实数.
（2）由己知得，a2-5a-6≠0
解得：a≠-1或a≠6
所以当a≠-1或a≠6时，z为虚数
（3）由已知得：
解得：
所以a=1
当a=1时，z为纯虚数
【考点】复数的基本概念
【解析】【分析】(1)根据当复数的虚部为0时，复数为实数直接求解；
（2）由虚数的定义易知当复数的虚部不为0时，复数为虚数直接求解；
（3）由纯虚数的定义易知当复数的实部为且虚部不为0时，复数为纯虚数直接求解.
21．（2020高二下·吉林月考）已知复数 ，若存在实数 ，使 成立．
（1）求证： 定值；
（2）若 ，求 的取值范围．
【答案】（1）解：∵复数 ，且存在实数 使 成立，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即 为定值．
（2）解：由（1）有
∵ ，
∴
∴整理得
∴
∵
∴
，
∴
∴ 的取值范围为 .
【考点】复数的基本概念；复数代数形式的混合运算；复数求模
【解析】【分析】（1）直接将 代入后面代数式中，运算后进行系数对比即可证得结果；（2）同样的待定系数法，结合第一问的结论，换元求出 的范围 ，再将 用 来表示，即可求出 的范围.
22．（2020高二下·武汉期中）已知复数 （其中 是虚数单位， ）.
（1）若复数 是纯虚数，求 的值；
（2）求 的取值范围.
【答案】（1）解：
，
若复数 是纯虚数，则 ，所以
（2）解：由（1）得 ， ，
，
因为 是开口向上的抛物线，有最小值 ；
所以
【考点】二次函数在闭区间上的最值；复数的基本概念；复数求模
【解析】【分析】（1）利用复数的乘除法和加减法的运算法则求出复数z,再利用纯虚数的定义，进而求出m的值。
（2） 由（1）得 ， ，再利用复数求模公式，进而得出复数的模与二次型函数有关，再利用二次函数图象求最值的方法，进而求出复数的模的最小值，从而求出复数的模的取值范围。
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