精讲精练·专项突破 第七章《复数》单元能力提升（含详细解析） (61)

精讲精练·专项突破
2021-2022学年高一下学期人教版（2019）
第七章 《复数》 单元能力提升（含详细解析）
一、单选题
1．（2021高二上·重庆期中）已知 ，则 （　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【考点】复数代数形式的混合运算；复数求模
【解析】【解答】因为 ，所以
所以 ．
故答案为：D
【分析】由复数代数形式的运算性质，整理即可得出答案。
2．（2022·盐湖模拟）若，则（　　）
A． B．10 C． D．
【答案】C
【考点】复数代数形式的乘除运算；复数求模
【解析】【解答】，则
故答案为：C
【分析】 根据复数的基本运算法则进行化简，再运用向量模长公式，即可求解出答案.
3．（2020高二上·惠州期末）若复数 （其中 为虚数单位），则 （　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【考点】复数的代数表示法及其几何意义；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】 ，
则.
故答案为：B
【分析】化简得到 ，再由共轭复数的概念即可得到答案.
4．（2021高二下·普宁期中）在复平面中复数，则复数z的坐标在第（　　）象限．
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【考点】复数的代数表示法及其几何意义；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】，
复数z的坐标在第一象限，
故答案为：A
【分析】由复数的乘除运算即可求解。
5．（2020高三上·宁海月考）已知 ，复数 满足 ，则 （　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【考点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】 ，
所以 ， 即 ，
所以 ，即 ，所以
所以 ，所以
故答案为：B
【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简求出 、 的值，即可得到答案.
6．（2020高一下·邹城期中）设 ，其中 ，则以下结论正确的是（　　）
A．z对应的点在第一象限 B．z一定不为纯虚数
C． 对应的点在实轴的下方 D．z一定为实数
【答案】C
【考点】复数的代数表示法及其几何意义
【解析】【解答】 ， 不可能为实数，所以D不符合题意；
对应的点在实轴的上方，又 与 对应的点关于实轴对称， 对应的点在实轴的下方，所以C符合题意；
， 对应的点在第二象限，所以A不符合题意；
， 可能为纯虚数，所以B不符合题意；
C项正确.
故答案为：C
【分析】根据 ， 可正可负也可为0，即可判定.
7．（2019高三上·株洲月考）棣莫弗公式 （ 为虚数单位）是由法国数学家棣莫弗（1667-1754）发现的，根据棣莫弗公式可知，复数 在复平面内所对应的点位于（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【考点】复数的代数表示法及其几何意义
【解析】【解答】由题意 ，
该复数在复平面内所对应的点为 ，
， ， 该复数在在复平面内所对应的点位于第三象限.
故答案为：C.
【分析】由题意 ，根据复数的几何意义结合 、 即可得解.
8．（2019高三上·大同月考）欧拉公式 （ 为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位.特别是当 时， 被认为是数学上最优美的公式，数学家们评价它是“上帝创造的公式”.根据欧拉公式可知， 表示的复数在复平面中位于（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【考点】复数的代数表示法及其几何意义
【解析】【解答】由题意 ，对应点为 ，在第二象限．
故答案为：B．
【分析】根据定义把 写出复数的代数形式，再写出对应点坐标．
二、多选题
9．（2020高一下·济宁期末）若复数z满足 ，则（　　）
A． B．z的实部为1 C． D．
【答案】B,C
【考点】复数的基本概念；复数代数形式的混合运算
【解析】【解答】解：由 ，得 ，
所以z的实部为1， ， ，
故答案为：BC
【分析】根据题意由复数代数形式的运算性质整理再结合共轭复数的概念即可得出答案。
10．（2020高一下·镇江期末）已知复数 （i是虚数单位）， 是 的共轭复数，则下列的结论正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A,C
【考点】复数代数形式的混合运算
【解析】【解答】解：∵ 所以 ，
∴ ，A符合题意，
，B不符合题意，
，C符合题意，
虚数不能比较大小，D不符合题意，
故答案为：AC.
【分析】首先由共轭复数的定义求出的共轭复数，再由复数的运算性质对选项逐一判断即可得出答案。
11．若复数 满足 （其中 是虚数单位），复数 的共轭复数为 ，则（　　）
A．
B． 的实部是2
C． 的虚部是1
D．复数 在复平面内对应的点在第一象限
【答案】A,B,D
【考点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】 ，
，
，A正确，
的实部是 ， B正确，
的虚部是 ，C错误，
复数 在复平面内对应的点为 ，在第一象限，D正确.
故答案为：ABD.
【分析】 把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，然后逐一核对四个选项得答案．
12．（2020高二下·济南期末）已知复数 ，其中 是虚数单位，则下列结论正确的是（　　）
A．
B． 的虚部为
C．
D． 在复平面内对应的点在第四象限
【答案】A,B
【考点】复数代数形式的乘除运算；复数求模
【解析】【解答】依题意 ，所以A选项正确；
，虚部为 ，所以B选项正确；
，所以C选项错误；
，对应点为 ，在第三象限，D选项错误.
故答案为：AB
【分析】 由复数的基本运算与复数模的求法逐一核对四个选项得答案．
三、填空题
13．（2020·达县模拟）复数 的实部为　 　.
【答案】
【考点】复数的基本概念
【解析】【解答】因为 ,
所以复数 的实部为 .
故答案为: .
【分析】利用复数的乘除法计算可得答案.
14．（2019高二下·上海期末）已知复数 ，则复数 　 　.
【答案】-3-2i
【考点】复数的基本概念
【解析】【解答】由 ,则 ,所以
故答案为：
【分析】根据共轭复数的表示方法算出 即可.
15．（2021高一下·高要月考）已知复数 ，且 ，则 的最大值是　 　．
【答案】3
【考点】复数的代数表示法及其几何意义
【解析】【解答】解：由|ω|=1知复数ω表示圆心在原点的单位圆，如图所示，
则|ω-2i|表示单位圆上的点与点（0,2）的距离，
则当ω=-i时，两点间的距离取得最大值为3
【分析】根据复数的几何意义，结合两点间的距离公式求解即可.
16．（2019高二下·珠海期末） ，其共轭复数 对应复平面内的点在第二象限，则实数 的范围是　 　．
【答案】
【考点】复数的代数表示法及其几何意义
【解析】【解答】由已知得： ，且在第二象限，
所以： ，
解得： ，
所以
故答案为 .
【分析】根据共轭复数对应的点所在的象限，列出不等式组求解.
四、解答题
17．（2019高二下·上海月考）已知复数 满足: 且 是纯虚数,求复数
【答案】解：设 ，
由 ，得 ；
又 是纯虚数，
，
联立 ，解得 或
或 ．
【考点】复数的基本概念；复数的代数表示法及其几何意义；复数求模
【解析】【分析】设出复数 ，根据条件列方程求解即可．
18．（2019高二下·宁夏月考）实数 取什么数值时，复数 分别是：
（1）实数？
（2）虚数？
（3）纯虚数？
（4）表示复数 的点在复平面的第四象限？
【答案】（1）解：当 ，即 时，复数z是实数
（2）解：当 ，即 时，复数z是虚数
（3）解：当 ，且 时，即 时，复数z是纯虚数
（4）解：当 且 ,即 时，复数z表示的点位于第四象限。
【考点】复数的基本概念；复数的代数表示法及其几何意义
【解析】【分析】根据复数的概念及几何意义易得.
19．（2019高二下·揭东期中）已知复数 .
（1）若 ，求 ；
（2） 取什么值时， 是纯虚数.
【答案】（1）解： ，
解得 ，
所以 .
（2）解： ，
解得 ，
所以 .
【考点】复数的基本概念；复数相等的充要条件
【解析】【分析】(1)由题意得到关于实数a的方程组，求解方程组可得 ;(2)z为纯虚数，则实部为0，虚部不为零，据此可得 .
20．（2019高二下·宁夏月考）已知复数 （ 是虚数单位）．
（1）求复数 的模 ；
（2）若 ，求 的值．
【答案】（1）解： 1﹣i，
∴|z|
（2）解：∵z2+az+b＝1+i，
∴（1﹣i）2+a（1﹣i）+b＝1+i，
∴（a+b﹣1）﹣（a+3）i＝0，
∴a+b＝1．
【考点】复数相等的充要条件；复数求模
【解析】【分析】（1）将z的分母实数化，化简得到z＝1﹣i，从而求出z的模即可；（2）将z＝1﹣i代入等式，利用复数相等求出a+b即可．
21．（2019高二下·顺德期末）某同学在解题中发现，以下三个式子的值都等于同一个常数. ①②③ （ 是虚数单位）
（Ⅰ）从三个式子中选择一个，求出这个常数；
（Ⅱ）根据三个式子的结构特征及（Ⅰ）的计算结果，将该同学的发现推广为一个复数恒等式，并证明你的结论.
【答案】解：（I）
（II）根据三个式子的结构特征及（I）的计算结果，可以得到：
（ 且 不同时为零）
下面进行证明：
要证明
只需证
只需证
因为上式成立，所以 成立.
【考点】复数代数形式的乘除运算；数学归纳法
【解析】【分析】（Ⅰ）将三个式子化简答案都为 .（II）观察结构归纳结论为 ，再利用复数的计算证明结论.
22．（2019高二下·亳州月考）已知复数 （i为虚数单位）．
（1）当 时，求复数 的值；
（2）若复数 在复平面内对应的点位于第二象限，求 的取值范围．
【答案】（1）解：当 时， ,
∴
（2）解：∵复数 在复平面内对应的点位于第二象限,
∴
解得 ，
所以 的取值范围是 .
【考点】复数的代数表示法及其几何意义
【解析】【分析】（1）将m=1代入，结合复数的除法运算，即可求出相应的值；
（2）根据复数的几何意义，结合相应点所在象限，即可求出m的取值范围.
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