精讲精练·专项突破 第七章《复数》单元能力提升（含详细解析） (62)

精讲精练·专项突破
2021-2022学年高一下学期人教版（2019）
第七章 《复数》 单元能力提升（含详细解析）
一、单选题
1．（2020·攀枝花模拟）设 ，则 （　　）
A．0 B．1 C． D．3
2．（2020高二下·玉龙期中）复数 （ 是虚数单位）的虚部是（　　）
A．2 B．-1 C． D．
3．（2020·江西模拟）若复数 满足 ，则 （　　）
A． B． C． D．
4．（2020高二下·徐州期末）下列四个复数中，实部大于虚部的是（　　）
A． B． C． D．
5．（2020高三上·西安月考）已知 ，则下列说法正确的是（　　）
A．复数 的虚部为
B．复数 对应的点在复平面的第二象限
C．复数z的共轭复数
D．
6．（2020高三上·宁波期中）若复数 （ 为虚数单位）的实部和虚部互为相反数，则实数 （　　）
A．-1 B． C． D．1
7．（2020高三上·南漳期中）若复数 满足 ，则下列说法正确的是（　　）
A． 的虚部为 B． 为实数
C． D．
8．（2020高二下·林州月考）已知实数 满足 ，则实数 的取值范围是(　　)
A． B． C． D．
二、多选题
9．（2021高一下·温州期中）下列命题正确的有（　　）
A．复数的虚部是
B．复数z的共轭复数为，则的一个充要条件是
C．若是纯虚数，则实数
D．关于x的方程在复数范围内的两个根互为共轭复数
10．（2020高二下·淮安期末）已知复数 ，则下列说法正确的是（　　）
A．若 ，则共轭复数
B．若复数 ，则
C．若复数z为纯虚数，则
D．若 ，则
11．（2021高二下·天河期末）已知 为虚数单位，则下列命题正确的是（　　）
A．若复数 的共轭复数为 ，则
B．若复数 ， 满足 ，则
C．若复数 ，则
D．复数 满足 ， 在复平面内对应的点为 ，则
12．（2021高一下·宁波期末）已知复数 （ 为虚数单位），复数 满足 ，则下列结论正确的是（　　）．
A． 在复平面内所对的点在第四象限
B． 在复平面内对应的点在第一象限
C． 的最大值为
D． 的最小值为
三、填空题
13．（2020高二下·天津期中）已知 为虚数单位，则复数 　 　.
14．（2021高三上·南开期末）设i为虚数单位，则　 　.
15．（2020高二下·嘉定期末）已知定点 ，点Q在抛物线 上运动，若复数 、 在复平面内分别对应点P、Q的位置，且 ，则 的最小值为　 　.
16．（2020高二下·厦门期末）在复平面内，复数 对应的点位于第　 　象限.
四、解答题
17．（2021高一下·联合期中）（Ⅰ）在①，②z为纯虚数，③z为实数，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题．
已知复数（i为虚数单位），为z的共轭复数，若_________，求实数m的值；（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个条件给分）
（Ⅱ）在复数范围内解关于x的方程：．
18．（2021高一下·济南期中）m为何实数时，复数 在复平面内所对应的点（1）在实轴上；（2）在虚轴上；（3）位于第四象限．
19．（2020高二下·泰安开学考）设 为复数 的共轭复数，满足 ．
（1）若 为纯虚数，求 ；
（2）若 为实数，求 ．
20．（2020高二下·肥城期中）在① ，②复平面上表示 的点在直线 上，③ .这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，求出满足条件的复数 ，以及 .已知复数 ， ，______.若 ，求复数 ，以及 .
21．（2020高二下·菏泽期末）已知复数z满足 ，且z的虚部为 ，z在复平面内所对应的点在第四象限.
（1）求z；
（2）求 .
22．（2021高一下·青岛期中）已知向量 ，在复平面坐标系中，i为虚数单位，复数 对应的点为 ．
（1）求 ﹔
（2） 为曲线 为 的共扼复数)上的动点，求 与 之间的最小距离；
（3）若 ，求 在 上的投影向量 ．
答案解析部分
1．【答案】B
【考点】复数求模
【解析】【解答】
【分析】先将 分母实数化，然后直接求其模．
2．【答案】B
【考点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】复数 .
故其虚部为：-1.
故答案为：B.
【分析】根据复数的除法运算，化简复数，再求其xu部即可。
3．【答案】B
【考点】复数的代数表示法及其几何意义；复数代数形式的混合运算
【解析】【解答】因为 ，
所以 .
故答案为：B
【分析】由复数的除法运算及乘方运算求解.
4．【答案】C
【考点】复数的基本概念
【解析】【解答】解：复数 的实部为1．虚部为2，实部小于虚部；
复数 的实部与虚部相等，都是1；
复数 的实部为0，虚部为-1，实部大于虚部；
复数 的实部为0，虚部为2，实部小于虚部．
故答案为：C．
【分析】利用i的运算性质、复数的乘法运算法则结合复数的实部和虚部的定义，进而找出实部大于虚部的复数。
5．【答案】B
【考点】复数的代数表示法及其几何意义；复数代数形式的乘除运算；复数求模
【解析】【解答】由已知得 ，所以复数z的虚部为 ，而不是 ，A不符合题意；
在复平面内，复数z对应的点为 ，在第二象限，B符合题意.
，C不符合题意；
，D不符合题意；
故答案为：B．
【分析】由复数除法求出复数 ，然后可判断各选项．
6．【答案】B
【考点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解： ，所以复数 的实部为 ，虚部为 ，因为实部和虚部互为相反数，所以 ，解得
故答案为：B
【分析】利用复数代数形式的乘法运算化简，再由实部加虚部为0求解．
7．【答案】C
【考点】虚数单位i及其性质；复数代数形式的乘除运算；复数求模
【解析】【解答】因为 ，所以 ，
所以 的虚部为 ， 为虚数， ， ，
故 A，B，D 错误，C符合题意.
故答案为：C
【分析】根据复数的除法运算求出 ，根据复数的概念、复数的模长公式、共轭复数的概念可得答案
8．【答案】D
【考点】复数相等的充要条件
【解析】【解答】已知实数 满足 ，
所以 ，
所以 ，
解得 .
故选：D
【分析】先将 ，转化为 ，再利用复数相等求解.
9．【答案】B,D
【考点】复数的基本概念
【解析】【解答】复数的虚部是-2，故A错误
设，则，若，则，
若，则，，，故B正确
若是纯虚数，则，解得，故C错误
设是方程的根，则
所以，所以，解得
故D正确
故答案为：BD
【分析】根据复数的有关概念可判断A,B,C，设z=a+bi是方程的根，解出a,b可判断D.
10．【答案】B,D
【考点】复数的基本概念；复数代数形式的混合运算
【解析】【解答】对于A， 时， ，则 ，A不符合题意；
对于B，若复数 ，则满足 ，解得 ，B符合题意；
对于C，若复数z为纯虚数，则满足 ，解得 ，C不符合题意；
对于D，若 ，则 ， ，D符合题意.
故答案为：BD.
【分析】利用m的值求出复数z，再利用复数与共轭复数的关系，进而求出复数z的共轭复数，再利用复数为实数的判断方法结合已知条件，进而求出m的值，再利用复数为纯虚数的判断方法，进而求出m的值，再利用m的值求出复数z，再结合复数的混合运算法则，进而求出当 ，则 ，从而判断出说法正确的选项。
11．【答案】A,B,D
【考点】复数的基本概念；复数相等的充要条件；复数的代数表示法及其几何意义；复数代数形式的乘除运算；复数求模
【解析】【解答】对A：设复数 ， ，
则 ，A选项正确，
对B： 复数 ， 满足 ，
、 的实部相同，虚部互为相反数，
设 ， ，
，B选项正确，
对C：当 时，复数 ，但 不一定相等 ，C选项错误，
对D： 在复平面内对应的点为 ，则 ，即 ，
，D选项正确。
故答案为：ABD．
【分析】利用已知条件结合复数与共轭复数的关系，从而求出复数z的共轭复数，再利用复数的乘法运算法则结合复数求模公式，进而得出当复数 的共轭复数为 ， 则 ；再利用复数相等的判断方法结合复数的乘除法运算法则和实数可以比较大小的方法，进而推出当复数 ， 满足 ，则 ；利用已知条件结合复数的乘法运算法则和复数相等的判断方法，进而推出当复数 ，则 不一定相等 ；利用已知条件结合复数求模公式，再结合复数的几何意义，从而求出复数对应的点的坐标，进而求出满足题意的x,y的方程，从而选出命题正确的选项。
12．【答案】A,C
【考点】复数的基本概念；复数的代数表示法及其几何意义；复数求模
【解析】【解答】解：对于A，记复数z1=2-2i对应的点为P1，则P1为（2，-2），位于第四象限，故A正确；
对于B，设复数z2=x+yi，对应的点为P2（x,y），则由复数 满足 得x2+(y-1)2=1，即点P2的轨迹为以M（0,1）为圆心，以r=1为半径的圆，则z2-z1=(x-2)+(y+2)i表示的点P3为（x-2，y+2），又由-1≤x≤1,0≤y≤2得-3≤x-2≤-1,2≤y+2≤4，故点P3不一定位于第一象限，故B错误；
对于C，根据复数的几何意义知|P1P2|=|z1-z2|，而|P1P2|max=|MP1|+r=，故C正确；
对于D，根据复数的几何意义知表示动点P2（x,y）与定点P4（-2,2）的距离，
则|z1+z2|min，故D错误.
故答案为：AC
【分析】根据复数的几何意义，复数的坐标运算，运用数形结合思想求解即可.
13．【答案】i
【考点】虚数单位i及其性质
【解析】【解答】 ；
故答案为：i．
【分析】直接利用虚数单位 的运算性质得答案.
14．【答案】2-i
【考点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：
故答案为：2-i
【分析】根据复数的乘除运算化简可得答案。
15．【答案】2
【考点】函数的最值及其几何意义；复数的代数表示法及其几何意义
【解析】【解答】设 ，所以
当且仅当 时取等号，即 的最小值为2
故答案为：2
【分析】根据复数几何意义得 函数关系式，再根据函数性质求最值，即得结果.
16．【答案】一
【考点】复数的代数表示法及其几何意义；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】由题意 ，
其对应的点的坐标为 ，故对应的点位于第一象限，
故答案为：一．
【分析】 直接利用复数代数形式的乘除运算化简，求出z的坐标得答案。
17．【答案】解：（Ⅰ）①
，即，解得或
②z为纯虚数
，解得
③z为实数，，解得
（Ⅱ），
【考点】复数的基本概念
【解析】【分析】（1） ① ，可得，即可求m，
②z为纯虚数 ，可得 ，求解即可；
③z为实数 ，可得 ，求解即可；
（2）配方可得 ，即可求解。
18．【答案】⑴若复数所对应的点在实轴上则 ，则 ；
⑵若复数所对应的点在虚轴上则 ，则 ；
⑶若复数所对应的点在第四象限
【考点】复数的代数表示法及其几何意义
【解析】【分析】对于（1）由Z 在复平面内所对应的点在实轴上 ，得虚部为0，解方程即可得到m的值；
对于（2）由Z 在复平面内所对应的点在虚轴上，则实部为0，解方程即可得到m的值;
对于（3）由复数Z所对应的点在第四象限 ，则实部大于0且虚部小于0，解不等式组即可得到m的取值范围。
19．【答案】（1）解：设 ， ，则 ，
因为 ，则 ，即 ，
所以 ，所以 .
（2）解：设 ， ，则 ，
因为 ，则 ，即 ．
＝ ．
因为 为实数，所以 .
因为 ，所以 ，
所以 .
【考点】复数代数形式的混合运算；复数求模
【解析】【分析】(1)首先根据题意求出共轭复数，结合复数的模的定义结合已知条件即可求出从而得出复数z。
(2)根据题意由已知条件整理得出结合题意即可得到由此求出，再结合复数模的公式计算出结果即可。
20．【答案】解：方案一：选条件①， 因为 ，所以 ，
由于 ，
所以 ，
解得 . 所以 ， ， 从而 ， .
方案二：选条件②， 因为 ， ， 所以 ，
在复平面上表示 的点为 ，
依题意可知 ，得 ， 所以 ， ，
从而 ， .
方案三：选条件③， 因为 ，所以 ，
由 ，得 ， 所以 ， ，
从而 ， .
【考点】复数代数形式的乘除运算；复数求模
【解析】【分析】 方案一：选条件①，利用复数代数形式的乘除运算化简，由实部小于0且虚部等于0求得a值，进一步求出z，再由复数模的计算公式求解；
方案二：选条件②，利用复数代数形式的乘除运算化简，由表示z1z2的点在直线x+y+2=0上求得a，进一步求出z，再由复数模的计算公式求解；
方案三：选条件③，由 列式求得a，进一步求出z，再由复数模的计算公式求解．
21．【答案】（1）解：设 ，
因为 ，
所以 ，
得 或 ，
又z在复平面内所对应的点在第四象限，
所以 ；
（2）解： ，
所以 ；
所以 .
【考点】复数代数形式的乘除运算；复数求模
【解析】【分析】 （1）由题意设z=x-i（x∈R），再由已知列式求得x，则z可求；
（2）利用复数代数形式的乘除运算化简z2-z，再由复数模的计算公式求解．
22．【答案】（1）
所以 ．
所以 ．
所以
（2）由（1）可得 ， ，
曲线 ，即 ，
因此曲线是复平面内以 圆心，半径为 的圆，
故 与 之间的距离为
所以 与 之间的最小距离为 ．
（3）因为 ，
所以
此时 与 的夹角余弦为
与 方向相同的单位向量为
所以 在 上的投影向量
【考点】平面向量的坐标运算；复数的代数表示法及其几何意义；复数求模；三角函数的恒等变换及化简求值
【解析】【分析】（1）首先化简 ＝3，再计算 所以 ．从而再计
（2）先计算出 1 ,再由 的表示的几何意义，即可求得结果。
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