精讲精练·专项突破 第六章《平面向量及其应用》单元能力提升（含详细解析） (5)

精讲精练·专项突破
2021-2022学年高一下学期人教版（2019）
第六章 《平面向量及其应用》 单元能力提升（含详细解析）
一、单选题
1．（2021·全国甲卷）在 中，已知 ，则 (　　)
A．1 B． C． D．3
【答案】D
【考点】余弦定理；余弦定理的应用
【解析】【解答】解：由余弦定理得AC2=AB2+BC2-2·AB·BC·cos120°，
即19=4+BC2+2BC
即BC2+2BC-15=0
解得BC=3或BC=-5(舍去)
故BC=3
故答案为：D
【分析】由余弦定理直接求解即可.
2．（2020高三上·河西期末）在梯形 中， ， ， ， ，若点 在线段 上，则 的最小值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【考点】二次函数在闭区间上的最值；数量积的坐标表达式
【解析】【解答】建立如图所示平面直角坐标系：
因为 ， ， ， ，
所以 ，
设
所以 ，
所以 ， ，
所以 ，
当 时， 的最小值为 ，
故答案为：B。
【分析】利用已知条件建立平面直角坐标系，因为 ， ， ， ，所以 ，设 ，再利用共线向量的坐标表示求出点M的坐标，再利用斜向量的坐标表示结合数量积的坐标表示，从而将 转化为二次函数，再利用二次函数图象求最值的方法，从而求出 的最小值 。
3．（2021高二上·河南月考） 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， .已知 ， ，若该三角形有两个解，则 的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【考点】正弦定理
【解析】【解答】解：∵在△ABC中, ，
∴由正弦定理得 ，
∵ ，
∴ ，
要使三角形有两解，得到： ，且 ，即
∴
解得： ，
故答案为：D．
【分析】 利用正弦定理可求sinB的值，将a, b, sinA的值代入表示出sinB，根据B的度数确定出B的范围，要使三角形有两解确定出B的具体范围，利用正弦函数的值域求出a的范围即可.
4．（2020高二上·重庆期末）已知点 、 分别为双曲线 的左、右焦点，过 的直线与双曲线 的左、右两支分别交于 、 两点，若 ，则双曲线 的离心率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【考点】双曲线的简单性质；余弦定理
【解析】【解答】如下图所示，设 ，则 ，设 ，
由双曲线的定义可得 ，即 ，可得 ，
所以， ，故 ， ， ， ，
由余弦定理可得 ，
另一方面 ，整理可得 ，
因此，双曲线 的离心率为 .
故答案为：A.
【分析】设 ，则 ，设 ，根据双曲线的定义算出t=a, ，在由余弦定理可得 ，整理可得 ，然后利用双曲线的离心率公式可得答案.
5．（2022高三上·河北月考）已知单位向量，满足，则（　　）
A． B．5 C．2 D．
【答案】D
【考点】平面向量数量积的运算
【解析】【解答】由题意，，，
对两边同时平方可得，，
解得，
故，得.
故答案为：D.
【分析】 由向量的数量积的性质:向量的平方即为模的平方，由条件可得，再由，代入计算即可得到答案.
6．（2021·马鞍山模拟）已知 中， ， ， ，则 的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【考点】两角和与差的正弦公式；同角三角函数间的基本关系；正弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：因为 ，所以 为 的一个三等分点，且靠近 点，
所以 ，
因为 ， ，所以 ， ，
在 中，由正弦定理可得 ，
在 中，由正弦定理可得 ，
所以 ，即 ，
又在 中， ，
所以 ，
整理可得 ，即 ，
又 ，所以 ，解得 ，
因为 ，所以 .
故答案为：B.
【分析】首先由已知条件结合三角形的几何性质以及 为 的一个三等分点，且靠近 点，由此得出，再由正弦定理整理得出，结合三角形中角之间的关系以及两角和的正弦公式整理得出，然后由同角三角函数的基本关系式以及角A的取值范围计算出sinA的值即可。
7．（2020高二上·中山期末）已知平面向量 满足： ， ， ，则 的最小值为 （　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【考点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
【解析】【解答】因为 ，
所以 ，
所以 ，所以 ，
所以 ，
因为 ， ，所以 ，
设 ，则 ，
，
当 时， （舍去），
当 时， ，
所以 的最小值为 。
故答案为：A
【分析】利用已知条件结合数量积求向量的模的公式，从而求出的值 ，进而求出的值 ，再利用绝对值三角不等式结合分类讨论的非法，从而结合几何法得出 的最小值。
8．（2021·江西模拟）已知点 是边长为1的正方形 所在平面上一点，满足 ，则 的最小值是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【考点】向量的模；平面向量的坐标运算；两点间距离公式的应用
【解析】【解答】建立如图所示的平面直角坐标系，则 ， ， ， ，
设 ，则 ， ，
， ，
由题意知： ，
即 ，
∴点 在以 为圆心，半径为 的圆上，
又 表示圆上的点到 的距离，
∴ 。
故答案为：A.
【分析】建立平面直角坐标系，从而求出点的坐标，设 ，再利用向量的坐标表示结合向量的坐标表示求出向量 ，再利用 结合数量积的坐标表示，从而得出，所以点 是在以 为圆心，半径为 的圆上，又因为 表示圆上的点到 的距离，从而结合两点距离公式，进而求出 的最小值 。
二、多选题
9．（2021高一下·漳州期末）设向量 、 满足 ，且 ，则以下结论正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A,C
【考点】向量的模；平面向量数量积的运算；数量积表示两个向量的夹角
【解析】【解答】 ，在等式 两边平方可得 ，可得 ，
故A选项正确，D选项错误；
，B选项错误；
，C选项正确.
故答案为：AC.
【分析】根据题意由向量模的运算性质结合已知条件，以及数量积的运算公式对选项逐一判断即可得出答案。
10．（2021高二上·浙江期中）已知 ，若 ，则 的值可能为（　　）
A．-2 B．-1 C．1 D．2
【答案】B,D
【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】【解答】 ， ，
，
即 ，
解得 或 ，
所以 或2，
故答案为：BD
【分析】根据向量平行，由向量共线定理建立方程组，求解即可得出答案。
11．（2020高二上·天河期末）在四面体P-ABC中，以下说法错误的是（　　）
A．若四面体P-ABC各棱长都相等，则
B．若四面体P-ABC各棱长都为2，M，N分别PA，BC的中点，则
C．若 则
D．若Q为△ABC的重心，则
【答案】B,C
【考点】向量的线性运算性质及几何意义；平面向量数量积的运算
【解析】【解答】对A：因为若四面体P-ABC各棱长都相等，所以 ，
A正确，不符合题意；
对B：
B错误，符合题意；
对C：
因为 ，所以 ，所以 ，所以 ，所以 ，即 ，
C错误，符合题意；
对D：
因为Q为△ABC的重心，则 ，所以 ，
所 ，即 ，
D正确，不符合题意；
故答案为：BC.
【分析】 对于A: 利用向量垂直的充要条件的应用和向量的线性运算的应用求出结果； 对于B:利用向量的线性运算和向量的模的应用求出结果； 对于C:直接利用向量的线性运算的应用求出结果； 对于D:利用三角形的中心和向量的线性运算的应用求出结果.
12．（2021高三上·荔湾月考）已知直三棱柱 中， ， ， 为 的中点.点 满足 ，其中 ，则（　　）
A．对 时，都有
B．当 时，直线 与 所成的角是30°
C．当 时，直线 与平面 所成的角的正切值
D．当 时，直线 与 相交于一点 ，则
【答案】A,C,D
【考点】平面向量数量积的运算；用空间向量求直线间的夹角、距离；用空间向量求直线与平面的夹角
【解析】【解答】以 为 轴，建立如图所示空间直角坐标系，设 ，
其中 ，
因为 ，所以 ，
A.因为 ，
所以 ，所以 ，故正确；
B.当 时， ，所以 ，
所以直线 与 所成的角不是 ，故错误；
C. 当 时， ，取平面 的一个法向量为 ，
所以 ，设直线 与平面 所成的角为 ，
所以 ，所以 ，故正确；
D. 当 时，如图所示， 为 中点， 为 中点，连接 ，
所以 ，所以 ，故正确；
故答案为：ACD.
【分析】由向量数量积的运算可得 ，即可判断选项A；根据已知判断当点P运动到BC1中点时，直线A1P与AB所成的角最小，求出其正切值即可判断选项B； 根据已知条件，建立空间直角坐标系,利用空间向量法求直线与平面的夹角，即可判断选项C；由三角形中位线的性质可得，，即可判断选项D。
三、填空题
13．（2021·云南模拟）已知 ， 都是平面向量.若 ， ，则 　 　.
【答案】-3
【考点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
【解析】【解答】因为 ，所以 .
故答案为：-3.
【分析】 求出向量 ，利用向量的数量积求解即可.
14．（2022·肇庆模拟）已知向量，，若，则　 　.
【答案】
【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】【解答】因为，所以，解得.
故答案为： .
【分析】 根据已知条件，结合向量平行的性质，即可求解出x的值.
15．（2021高二上·九江期中）我国古代数学家秦九部在其著作《数书九章》中给出了一个求三角形面积的公式 ，其中a，b，c分别为 的内角A，B，C的对边．若 中， ，且 ，则 面积S的最大值为　 　．
【答案】
【考点】二次函数的性质；正弦定理
【解析】【解答】由 可得 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
当 时， ．
故答案为：
【分析】 由已知利用正弦定理可求，代入三角形面积的公式，配方，结合二次函数的最值求法，即可得到 面积S的最大值 .
16．（2021高一下·齐齐哈尔期中）已知在 中，点 满足 ，若存在实数 使得 成立，则 　 　.
【答案】3
【考点】向量的加法及其几何意义；向量的共线定理；向量在几何中的应用
【解析】【解答】解：因为 点 满足 ， 所以可知 点 是△ABC的重心，设点D是底边BC的中点，如图所示，
则，即，所以m=3.
故答案为：3
【分析】利用三角形重心的性质，结合向量的运算求解即可.
四、解答题
17．（2021·湖南模拟） 的内角 、 、 的对边分别为 、 、 ，其面积为 ，且 ．
（1）求 的值；
（2）若 、 、 成等比数列，且 的面积是 ，求 的周长．
【答案】（1）解： ，
由正弦定理得： ，即 ，
；
（2）解：由（1）知 ，
又 、 、 成等比数列， ， ，
即 ， ，
又 ，即 ，
即 ，则 ， ，
又 ， ，因此 的周长为 ．
【考点】等比数列的性质；正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】(1)根据题意由正弦定理代入数值整理得到，再由余弦定理代入整理计算出cosB的值。
(2)根据题意由(1)的结论结合同角三角函数的基本关系式求出sinB的值，结合等比数列的性质求出
再由三角形的面积公式代入数值计算出，并把数值代入到余弦定理计算出，由周长的公式代入数值计算出结果即可。
18．（2021高一下·台州期末）如图，在三棱锥 中， .
（1）求证： ；
（2）求点 到平面 的距离.
【答案】（1）取 中点 ，连接 和 ，
因为 ，所以 ，
又因为 ，所以 平面 ，.
又由 平面 ，所以
（2）过点 作 ，垂足 ，
由（1）可知 平面 ，又因为 平面
所以平面 平面 ，所以 平面 ，
所以 即为点 到平面 的距离，
在 中， ，
所以
即点 到平西 的距离为 .
【考点】直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质；余弦定理
【解析】【分析】 (1)取AB中点D,连接PD, CD,即可得到AB⊥PD, AB⊥CD,进而根据线面垂直定理可得AB⊥平面PCD,即可证得PC⊥AB;
(2)过点P作PK⊥CD,垂足K,可得PK即为点P到平面ABC的距离,利用余弦定理，可求得cos∠PDC,进而可得PK.
19．（2021高二上·浙江期中）已知直三棱柱 中， ，E，F分别为AC和 的中点，D为棱 上的点， .
（1）证明： ；
（2）若D为 中点，求平面 与平面DFE的夹角的余弦值.
【答案】（1）证明：因为三棱柱 是直三棱柱，所以 底面ABC， 底面ABC，所以 ，
因为 ， ，所以 ，又 ， 平面 ，所以 平面 .所以 ， ， 两两垂直.
以 为坐标原点，分别以 ， ， ，所在直线为 ， ， 轴建立空间直角坐标系，如图.
所以 ， ， ， ， ， ， ， .
由题设 .
因为 ， ，
所以 ，所以 .
（2）解：由题意得面 的法向量为 ， ， ， ，
设面 的法向量为 ，
， 取 ，得 ，
所以所求角余弦值为 .
【考点】数量积表示两个向量的夹角；直线与平面垂直的判定；用空间向量求平面间的夹角
【解析】【分析】(1)由三棱柱的几何性质结合线面垂直的性质定理即可得出线线垂直，然后由线面垂直的判定定理即可得出 平面 ，结合线面垂直的定义即可得证出线线垂直，由此建立空间直角坐标系求出各个点的坐标以及向量的坐标，然后由数量积的坐标公式计算出，从而得出线线垂直。
(2)建立空间直角坐标系求出各个点的坐标以及向量和平面法向量的坐标，再由数量积的坐标公式即可求出平面的法向量的坐标，同理即可求出平面的法向量；结合空间数量积的运算公式代入数值即可求出夹角的余弦值，由此得到平面 与平面DFE的夹角的余弦值。
20．已知向量.
（1）若，求向量与的夹角；
（2）在矩形中，设为的中点，F为的中点，求的值．
【答案】（1）解：由，则，
，则，
所以，
因为向量与的夹角在上，则，
即向量与的夹角为.
（2）解：
.
【考点】向量数乘的运算及其几何意义；平面向量数量积的运算；数量积表示两个向量的夹角
【解析】【分析】（1）由，可得 ，代入夹角公式即可求结果；
（2），，,代入即可求出结果。
21．（2022高三上·“智桂杯”联考）在平面直角坐标系中，已知曲线的参数方程为（为参数），直线的参数方程为（为参数，）.以坐标原点为极点，轴非负半轴为极轴建立极坐标系.
（1）求曲线和直线的极坐标方程；
（2）直线与曲线交于，两点，若，求直线的斜率.
【答案】（1）解：∵曲线的参数方程（为参数），
，即，
将，代入，
∴曲线的极坐标方程为.
∵直线的参数方程为（为参数，），
∴直线的极坐标方程为
（2）解：将直线的极坐标方程代入曲线
得.
，.
设点，，
由韦达定理得，，
，，
解得，满足，又，或.
∴直线的斜率.
【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示；直线的斜率；直线与圆的位置关系；简单曲线的极坐标方程；点的极坐标和直角坐标的互化
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合参数方程与普通方程的转化方法，再结合极坐标与直角坐标的互化公式，进而求出曲线和直线的极坐标方程。
（2）利用直线与曲线交于，两点，联立二者方程结合判别式法和韦达定理，再利用向量共线的坐标表示，进而求出直线l的倾斜角，再利用直线的倾斜角与直线的斜率的关系式，进而求出直线l的斜率。
22．（2021·三明模拟）如图，在四棱锥 中，底面 为等腰梯形，且 ， ，点 在平面 内的正投影点 在 上，若 为等边三角形， 为 的中点.
（1）求证： 平面 ；
（2）求二面角 的大小.
【答案】（1）【解答】（1）如图，在等腰梯形ABCD中，过点D作DN⊥AB于点N，
则由题意得∠BAD=60°，，则AD=2,
则在△ABD中，由余弦定理得BD2=AD2+AB2-2AD·BD·cos∠BAD，
即BD2=22+42-2×2×4×=12，
则BD2+AD2=AB2
故△ABD是直角三角形，AD⊥BD，
又因为 点 在平面 内的正投影点 在 上 ，
所以PF⊥AD，
又因为△PAD为等边三角形， 为 的中点.
所以PH⊥AD，
又PF∩PH=P，
所以AD⊥平面PHF，
则AD⊥HF，
又BD，HF均在平面ABCD内，
所以HF//BD，
又平面PBD，
所以HF//平面PBD；
（2）由（1）知AD⊥BD，则可以D为原点，分别以DB，DA为x,y轴，以平面ABCD的垂线为z轴建立如图的空间直角坐标系，
则在Rt△AHF中，AH=1，∠HAF=30°，所以，
又,
则在RtPAHF中，,
故P为，
由题意知△BCD是等腰三角形，取BD的中点M，则CM⊥BD，
由（1）得，CM=1，
则C为，又D为（0,0,0），B为
故
设平面BPC的法向量为，则，即，解得
令x1=1，则，
故，
同理可得平面PCD的法向量为，
设 二面角 的平面角为θ，
则，
由题意知θ为钝角，
则
故
【考点】直线与平面平行的判定；用空间向量求平面间的夹角；余弦定理；余弦定理的应用
【解析】【分析】(1)根据余弦定理，结合勾股定理，直线垂直的性质，以及线面平行的判定定理求证即可；
(2)利用向量法直接求解即可.
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