精讲精练·专项突破 第六章《平面向量及其应用》单元能力提升（含详细解析） (9)

精讲精练·专项突破
2021-2022学年高一下学期人教版（2019）
第六章 《平面向量及其应用》 单元能力提升（含详细解析）
一、单选题
1．（2021高一下·白城期末）已知 ， ， ，则 的形状是（　　）
A．钝角三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．等边三角形
【答案】C
【考点】平面向量的坐标运算；数量积判断两个平面向量的垂直关系
【解析】【解答】解：由题意得
∴
∴
则△ABC是直角三角形
故答案为：C
【分析】根据平面向量的坐标运算，结合向量垂直的坐标表示求解即可.
2．（2021高一下·隆阳期中）下列说法错误的是（　　）
A．长度为0的向量叫做零向量
B．零向量与任意向量都不平行
C．平行向量就是共线向量
D．长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量
【答案】B
【考点】零向量；单位向量；平行向量与共线向量
【解析】【解答】A. 规定长度为0的向量叫做零向量，故正确；
B.规定零向量与任意向量都平行，故错误；
C.平行向量就是共线向量，故正确；
D.长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量，故正确；
故答案为：B
【分析】由平面向量的概念逐项判断即可。
3．（2022·岳普湖模拟）已知向量，，则向量与的夹角的余弦值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【考点】数量积表示两个向量的夹角；平面向量数量积坐标表示的应用
【解析】【解答】，，
∴＝ ．
故答案为：D．
【分析】求出 和的坐标，进而求出，，然后利用向量夹角的余弦公式即可求出向量与的夹角的余弦值.
4．（2021高一下·天津期中）我校八角形校徽由两个正方形叠加变形而成，喻意“方方正正做人”，又寄托南开人”面向四面八方，胸怀博大，广纳新知，锐意进取”之精神，如图，在抽象自“南开校徽”的多边形中，已知其由一个正方形与以该正方形中心为中心逆时针旋转45°后的正方形组合而成，已知向量 ， ，则向量 （　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【考点】向量加减混合运算及其几何意义；向量的线性运算性质及几何意义
【解析】【解答】根据题意可得 ，
由该图形是由正方形中心为中心逆时针旋转 后与原正方形组合而成，如图
由对称性可得 ,
由对称性可得点 共线，点 共线.
所以 ，
所以
故答案为：D
【分析】根据题意由图形的对称性即可得出点 共线，点 共线，再由向量的线性运算整理即可得出答案。
5．（2021高二下·汕尾期末）如图所示， 为平行四边形 对角线 上一点， ，若 ，则 （　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【考点】平面向量的基本定理及其意义
【解析】【解答】因为 ，
所以 ，又因为 ，而 不共线，所以 ，
。
故答案为：C．
【分析】因为 结合三角形法则和共线定理，再结合平面向量基本定理得出，又因为 ，而 不共线，从而求出x，y的值，进而求出xy的值。
6．（2021高二下·杭州期中）在 中， ， ， ，则 （　　）
A． B． C．5 D．6
【答案】A
【考点】正弦定理；余弦定理；正弦定理的应用；余弦定理的应用
【解析】【解答】解：由正弦定理及 得a=6b，又 ， 所以a=6,b=1
又因为C=60°，
所以c2=a2+b2-2abcosC，即，
解得
故答案为：A
【分析】根据正弦定理及余弦定理直接求解即可.
7．下列关于空间向量的命题中，正确命题的个数是（　　）
（1）长度相等、方向相同的两个向量是相等向量；（2）平行且模相等的两个向量是相等向量；（3）若 ，则 ；（4）两个向量相等，则它们的起点与终点相同．
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【考点】向量的模；平行向量与共线向量；相等向量与相反向量
【解析】【解答】由相等向量的定义知（1）正确；
平行且模相等的两个向量也可能是相反向量，（2）错；
方向不相同且长度相等的两个是不相等向量，（3）错；
相等向量只要求长度相等、方向相同，而表示两个向量的有向线段的起点不要求相同，（4）错，
所以正确答案只有一个．
故答案为：B．
【分析】根据向量的基本概念依次进行判断即可得到答案。
8．（2020高一上·聊城期末）《掷铁饼者》取材于古希腊的体育竞技活动，刻画的是一名强健的男子在掷铁饼过程中最具有表现力的瞬间．现在把掷铁饼者张开的双臂及肩近似看成一张“弓”，掷铁饼者的肩宽约为 米，一只手臂长约为 米，“弓”所在圆的半径约为 米，则掷铁饼者双手之间的直线距离约为（　　）
A． 米 B． 米 C． 米 D． 米
【答案】C
【考点】扇形的弧长与面积；解三角形的实际应用
【解析】【解答】掷铁饼者张开的双臂及肩近似看成一张“弓”即如图中的 及弦 ，
取 的中点，连接 .
由题设可得 的弧长为 ，而 ，
故 ，故 的长度为 ，
故答案为：C.
【分析】掷铁饼者张开的双臂及肩近似看成一张“弓”即如图中的 及弦 ，取 的中点，连接 ，由题设可得 的弧长，而 ，从而结合扇形弧长公式，进而求出扇形所对的圆心角，再利用直角三角形中的正弦函数的定义结合中点的性质，进而求出AB的长，从而求出掷铁饼者双手之间的直线距离。
二、多选题
9．（2021高三上·泉州月考）已知向量 ＝（1， ）， ＝（λ，1），若（ ﹣4 ） ＝4，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】B,D
【考点】向量的模；平面向量共线（平行）的坐标表示；平面向量数量积的运算
【解析】【解答】解：向量 ＝（1， ）， ＝（λ，1），
则 ，
所以（ ﹣4 ） ＝ ，
解得λ＝﹣ ，A不符合题意；
则 ＝（ ，1），所以 ，B符合题意；
因为1×1﹣ ×（﹣ ）＝4≠0，故 与 不共线，C不符合题意；
因为 ＝﹣ + ＝0，故 ⊥ ，D符合题意．
故答案为：BD．
【分析】 由向量的坐标运算及数量积运算可求得入的值，即可判断选项A;由模的运算即可判断选项B;由共线的充要条件即可判断选项C;由 ＝0即可判断选项D.
10．（2021高二上·河源月考）给出下列命题，其中正确的命题是（　　）
A．若 ，则 是钝角
B．若 为直线l的方向向量，则λ 也是直线l的方向向量
C．若 ，则可知
D．在四面体 中，若 ， ，则
【答案】C,D
【考点】向量的共线定理；向量的线性运算性质及几何意义；数量积表示两个向量的夹角；数量积判断两个平面向量的垂直关系
【解析】【解答】对于A，当 时，若 ，但 ，不是钝角，所以A错；
对于B，当 时， ，不是直线 的方向向量，所以B错；
对于C，
，所以C对；
对于D，如图，过P作 平面ABD交平面于O点，连结CO交AB于M，
连结AO交BC于N，连结BO交AC于T，
同理 为 垂心，所以 ，
从而 ，所以D对；
故答案为：CD.
【分析】根据向量的夹角可判断A，根据直线的方向向量以及向量的共线定理可判断B，根据向量的线性运算可判断C，根据向量垂直的判定定理可判断D.
11．（2021·湖北模拟）已知 分别为椭圆 的左 右焦点， 为椭圆上任意一点(不在 轴上)， 外接圆的圆心为 ， 内切圆的圆心为 ，直线 交 轴于点 为坐标原点.则（　　）
A． 的最小值为 B． 的最小值为
C．椭圆 的离心率等于 D．椭圆 的离心率等于
【答案】A,D
【考点】向量在几何中的应用；椭圆的简单性质
【解析】【解答】由题意得外心 满足 ，所以 必在y轴上，
设 ， ， ，
则由 得 ，即 ，
所以 ，所以 ，
所以 ， ，
所以 ，
因为 在椭圆上，设 ，
所以
，
当 时，有 ，所以 的最小值为 ，
A符合题意，B不符合题意；
连接 ，则 分别为 的角平分线，由角平分线定理可知， ，则 ，D符合题意，C不符合题意.
故答案为：AD.
【分析】由题意得外心 在y轴上，设 ， ， ，则由 得 ，求出，得 ，设 ，得 ，可判断AB，、因为 分别为 的角平分线，得可判断CD。
12．（2021·青岛模拟）在平面直角坐标系中， 为坐标原点，P为 轴上的动点，则下列说法正确的是（　　）
A． 的最小值为2
B．若 ，则 的面积等于4
C．若 ，则 的最小值为5
D．若 ，且 与 的夹角 ，则
【答案】A,C,D
【考点】函数单调性的性质；向量的模；数量积表示两个向量的夹角；两点间的距离公式
【解析】【解答】 ，
当且仅当 ，即 时，等号成立，A符合题意；
， ，
轴， ， ，B不符合题意；
， 关于 轴的对称点 ，
，
，
当且仅当 共线时等号成立．C符合题意；
，则 ，
， ，
与 的夹角 ，即 ，
所以 ， ，
令 ，则 ，
，
易知函数 在 上是增函数，
所以 ，
所以 ，D符合题意．
故答案为：ACD．
【分析】A依据向量摸结合基本不等式可判断A正确。
B由三角形面积公式易判B错误。
C根据两点间距离公式结合三角形三边关系可判出C正确。
D根据向量夹角推出 ，令 ，则 ，利用单调性可推出 ，故D正确。
三、填空题
13．（2021高一下·河北期末）已知向量 ， ，若 ，则 　 　．
【答案】
【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】【解答】解：因为向量 ， ，且 ，
所以 ，解得 ．
故答案为：
【分析】根据两个向量共线的坐标表示列方程，解方程求得x的值。
14．（2021·海南模拟）已知向量 和 的夹角为 ，且 ， ，则 　 　.
【答案】10
【考点】平面向量数量积的运算；数量积表示两个向量的夹角
【解析】【解答】解：因为向量 和 的夹角为 ，且 ， ，所以 ，所以
故答案为：10
【分析】首先由数量积的公式代入数值计算出，再由数量积的运算公式代入数值计算出结果即可。
15．（2021高三上·广西开学考）已知正三棱锥 的底面边长为2， ， ， 中点分别为D，E，则直线 、 的夹角为　 　．
【答案】
【考点】反三角函数的运用；余弦定理
【解析】【解答】如图，取 的中点 ，连接 、 ，因为 为 的中点，
所以 ，直线 、 的夹角即为直线 、 的夹角，
因为正三棱锥 的底面边长为2， ，
所以 ， ， ，
在 中，由余弦定理得
，
在 中，由余弦定理得 ，
所以直线 、 的夹角为 。
故答案为： 。
【分析】取 的中点 ，连接 、 ，利用 为 的中点，再利用中点作中位线的方法结合中位线的性质，所以 ，所以直线 、 的夹角即为直线 、 的夹角，再利用正三棱锥 的底面边长为2， ，所以 ， ， ，在 中，由余弦定理得出AF的长，在 中，由余弦定理得出 直线 、 的夹角的余弦值，进而求出直线 、 的夹角。
16．（2022高三上·昌平期末）已知向量，，在正方形网格中的位置如图所示. 若网格纸上小正方形的边长为1，则　 　；　 　.
【答案】0；-2
【考点】平面向量数量积的运算
【解析】【解答】由网格知：，
所以，
又，
所以，
所以，
故答案为：0，-2
【分析】根据网格，利用平面向量的数量积的运算求解，即可求出 ， 的值。
四、解答题
17．（2021高三上·河北月考）图一是东汉末年与三国初期东吴数学家赵爽创造的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形（阴影部分）围成一个大正方形，类比赵爽弦图，三个全等的不等腰三角形构成一个大的正三角形和一个小的正三角形（如图二）.已知 与 的面积比为7∶1.
（1）求证： ；
（2）求 的值.
【答案】（1）证明：∵ 与 的面积比为7∶1，
∴ ，
设 ， ，则 ， ，
由余弦定理可得 ，即 ，
，∴ ，
即 .
（2）解：由（1）知 ， ，由正弦定理得 ，
∴ ， ，
因此 ，
，
∴
【考点】两角和与差的正弦公式；同角三角函数间的基本关系；正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】 （1）根据三角形面积比的性质，结合余弦定理进行证明即可；
(2)根据(1)的结论，结合正弦定理、同角的三角函数关系式、两角差的余弦公式进行求解即可
18．（2021高一下·和平期末）已知 的内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，且满足 ．
（1）求 的值；
（2）若 ， ，求 的面积．
【答案】（1）由正弦定理， 可化为：
，
也就是 ．
由三角形内角和定理得 ．
即 ． 由正弦定理可得 ，故 ．
（2）由 可知 ．而 ，
由余弦定理可知 ．
又 ，于是 ．
．
【考点】正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】 (1)先根据正弦定理将条件边化角，然后借助于诱导公式进一步化简成sinA、sinB的关系式，最后借助于正弦定理得解；
(2) 结合(1) 的结论，可求出三边，利用余弦定理求出任意角，代入面积公式即可求出结果.
19．（2021高一下·揭东期末）设 ， ，其中 .
（1）求 的最值及取最值时对应的x值.
（2）当 时，求x的值.
【答案】（1）∵ ， ，
∴ ，
，
.
∵ ，
∴ ，
当 时，即 时，函数 取得最大值为1，
当 时，即 时，函数 取得最小值为 .
（2）当 时， ，
所以 ，
∵ ，
∴ 即 时， ，
即当 时，x的值为 .
【考点】数量积的坐标表达式；数量积判断两个平面向量的垂直关系；三角函数的恒等变换及化简求值；三角函数的最值
【解析】【分析】(1)利用已知条件结合数量积的坐标表示和二倍角的正弦公式以及辅助角公式，从而化简函数为正弦型函数，再利用换元法将正弦型函数转化为正弦函数，再利用正弦函数的图像求出正弦型函数的最值，进而求出其最值对应的x的值。
（2）利用已知条件结合数量积为0两向量垂直的等价关系，再结合数量积的坐标表示，进而结合x的取值范围和正弦型函数的图像，从而求出满足要求的x的值。
20．（2021高一下·运城期末）如图所示，平面 平面 ，四边形 为矩形，四边形 为直角梯形， ， ， ， ， 为 的中点.
（1）求证： 平面 ；
（2）若点 是线段 上一动点，求 周长的最小值；
（3）求二面角 的大小.
【答案】（1）证明：在直角梯形 中，由题意可得 ，
.
又 平面 平面 ，平面 平面 ， ， 平面
平面
又 平面
又
平面
（2）将棱锥 的侧面展开到与平面 共面，得平面四边形 .当 ， ， 三点共线时， 值最小此时 周长最小.
在平面四边形 中，可求得 ，根据余弦定理可得
周长最小值为
（3）连接 ，过 作 ，连接 ，在矩形 中可算得
又
平面 平面 ，平面 平面 ，
平面 ，
又 平面
又
平面
平面
又. ，且
平面
即为所求
在 中可算得
又
二面角 的大小为60°
【考点】直线与平面垂直的判定；二面角的平面角及求法；余弦定理
【解析】【分析】 (1)利用勾股定理证明AC⊥BC,由面面垂直的性质定理证明 平面 ，从而得到AC⊥EB,利用线面垂直的判定定理证明即可;
(2)空间中距离最小值问题,解题的关键是要把空间问题转化为平面问题，当F, P, B三点共线时，FP + PB值最小，此时△FP B周长最小，然后利用三角形的边角关系求解周长即可;
(3)证明CE⊥平面FHM,可得∠FHM即为二面角F- CE - M的平面角，在三角形中，利用边角关系求解即可.
21．（2021高一下·联合期中）已知向量
（1）若，求的值;
（2）若，向量与的夹角为锐角，求的取值范围.
【答案】（1）解：，
，
解得.
（2）解：向量与的夹角为锐角，且与不同向
解得且. (没有扣2分）
【考点】数量积表示两个向量的夹角；数量积判断两个平面向量的垂直关系
【解析】【分析】（1）利用向量的坐标运算求出 坐标，再由向量垂直的充要条件列方程即可求 ，
（2）由向量夹角为锐角，数量积为正，同时注意到不共线即可求出 。
22．（2020高二上·洛阳期末）如图，某工厂欲将一块边长为40m的等边三角形ABC区域用一条公共通道DE分成面积相等的两个办公区域，点D，E分别在AB，AC上，设 .（公共通道DE所占面积忽略不计）
（1）令 ，求y关于x的函数关系式并写出定义域；
（2）若公共通道DE每米造价2000元，请你做一下预算，求出该通道造价最大值和最小值及对应的x值.
【答案】（1）解：∵ ，∴ ，
∴ ，即 ，其中
（2）解：在 中，由余弦定理得 ，整理得 .
设函数 ， .
又函数 在 上单调递减，在 上单调递增.
又 ， .
所以当 时，通道长 ，造价最小为 元；
当 或 时，通道长 ，造价最大为 元
【考点】函数的定义域及其求法；函数解析式的求解及常用方法；函数单调性的性质；函数的最值及其几何意义；余弦定理
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合两三角形面积的关系和三角形的面积公式，从而求出y关于x的函数关系式，再结合实际问题已知条件求出其定义域。
（2） 在 中，由余弦定理得出 ，设函数 ， ，再利用单调函数的定义，从而判断出函数 在 上单调递减，在 上单调递增，再利用 ， ，从而求出该通道造价最大值和最小值及对应的x值。
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