精讲精练·专项突破 第六章《平面向量及其应用》单元能力提升（含详细解析） (11)

精讲精练·专项突破
2021-2022学年高一下学期人教版（2019）
第六章 《平面向量及其应用》 单元能力提升（含详细解析）
一、单选题
1．（2021高一下·连云港期末）在长方体 中， ， ，则 与 所成角的余弦值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【考点】余弦定理
【解析】【解答】如图，连接 ， ，
在长方体中，因为 ，所以 与 所成角等于 与 所成的角；
在三角形 中， ，
由余弦定理得 。
故答案为：D．
【分析】利用长方体的结构特征结合已知条件，从而得出 与 所成角等于 与 所成的角，在三角形 中， ，从而结合余弦定理求出 与 所成角的余弦值 。
2．（2021·浙江模拟）已知 为单位向量，向量 满足 ，则 的最大值为（　　）
A． B．2 C． D．3
【答案】B
【考点】两向量的和或差的模的最值；平面向量的坐标运算；轨迹方程
【解析】【解答】解：由 得 ，说明 的终点的轨迹是以 的终点为圆心， 为半径的圆，
的最大值是圆心与 的终点之间的距离加上半径，即为 ，
，（当且仅当 时取等号）．
故答案为：B．
【分析】由已知条件整理即可得出 的终点的轨迹是以 的终点为圆心， 为半径的圆，结合圆的性质以及向量模、数量积的运算性质整理得出利用夹角以及余弦函数的性质即可求出最大值。
3．（2021高三上·河南月考）如图，圆锥的底面直径 ，其侧面展开图为半圆，底面圆的弦 ，则异面直线 与 所成的角的余弦值为（　　）
A．0 B． C． D．
【答案】C
【考点】数量积表示两个向量的夹角；异面直线及其所成的角
【解析】【解答】在劣弧 上取 的中点 ，以 为原点， 为 轴， 为 轴， 为 轴建立如图所示的空间直角坐标系，
因为圆锥的底面直径 ，其侧面展开图为半圆，底面圆的弦 ，
所以 ，所以 ，则 ，
所以 ,
所以 ,
则 ，因为异面直线的成角范围为 ，故异面直线 与 所成的角的余弦值为 .
故答案为：C.
【分析】在劣弧 上取 的中点 ，以 为原点， 为 轴， 为 轴， 为 轴建立如图所示的空间直角坐标系，利用平面向量数量积的运算即可求出异面直线 与 所成的角的余弦值。
4．（2021高一下·合肥期末）如图，设 的内角 所对的边分别为 ， ，且 若点 是 外一点， ，则下列说法中错误的是（　　）
A． 的内角
B． 的内角
C．四边形 面积无最大值
D．四边形 面积的最大值为
【答案】C
【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦定理
【解析】【解答】因为 ，
由正弦定理，可得 ，
所以 ，即 ，
因为 ，可得 ，所以 ，解得 ，
又因为 ，所以 ，所以A、B正确，不符合题意；
由四边形 面积等于
，
所以D正确，不符合题意，C错误，符合题意．
故答案为：C.
【分析】 直接利用三角函数的关系式的恒等变换,正弦定理和三角形的面积公式的应用判断A、B、C、D的结论.
5．（2020高三上·芜湖期末）已知正四棱锥的高为2，底面正方形边长为4，其正视图为如图所示的等腰三角形，正四棱锥表面点 在正视图上的对应点为腰的中点 ，正四棱锥表面点 在正视图上对应点为 ，则 的取值范围为（　　）．
A． B． C． D．
【答案】A
【考点】余弦定理
【解析】【解答】如图正四棱锥 ， 平面 ， 是底面中心，
分别是 的中点，由题意知， 点在 上运动， 点在 上运动，
所以 ，且 ，
所以四边形 是梯形，在 与 中， ，所以 ，所以 ，
所以四边形 是等腰梯形，则 的取值范围的最小值就是等腰梯形的高，
最大值就是梯形的对角线长，且 ， ，
作 于 ，所以 ， 平面 ，
，且 是 的中点， ， ， ，作 于 ，连接 ， ， 所以 ，
由余弦定理得 ，
所以 ， ，
， ，
故答案为：A.
【分析】直接利用正四棱锥体的性质和两种的特殊情况，进一步利用余弦定理和勾股定理的应用求出最大和最小值。
6．（2021·山西模拟）已知四棱锥 的五个顶点都在球 的球面上， 平面 ，底面 是高为 的等腰梯形， ， ， ，则球 的表面积为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【考点】球的体积和表面积；正弦定理；余弦定理
【解析】【解答】取 的中点 ，过 作 面 ，如图，
因为 ， ， ， ,
所以在 中， ,
所以 ，
由余弦定理可知， ，
故 ,
设底面ABCD外接圆半径为r，圆心为M，球О的半径为R，
由正弦定理知 故 ，
又因为 平面
所以
所以球 的表面积为
故答案为：D
【分析】由题意可得底面等腰梯形的外接圆的半径，过底面外接圆的圆心E作垂直于底面的直线，则外接球的球心在此直线上，在两个三角形中求出外接球的半径。
7．（2020高二上·朝阳期末）已知椭圆 ： ，椭圆的左、右焦点分别为 ， ， 是椭圆 上的任意一点，且满足 ，则椭圆离心率的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【考点】平面向量的坐标运算；数量积的坐标表达式；椭圆的简单性质
【解析】【解答】由已知得 ，设 ，则 ，因为 ，所以 ， ，即 ，因为点P是椭圆上的任意一点，所以 表示椭圆上的点到原点的距离的平方，所以 ，所以 ，即 ，所以 ，
故答案为：B.
【分析】首先由向量的坐标公式以及数量积的坐标公式整理化简即可得出，由点与椭圆的位置关系即可得出，结合椭圆的 a、b 、c 三者的关系即可得出，由离心率公式即可得出答案。
8．（2021高三上·烟台期中）设 为 所在平面内一点， ， 为 的中点，则 （　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【考点】平面向量的基本定理及其意义
【解析】【解答】因为 ， 为 的中点，
所以 。
故答案为：A.
【分析】利用已知条件结合三角形法则和向量共线定理以及中点的性质，再结合平面向量基本定理，从而推出。
二、多选题
9．（2021高一下·平潭月考）已知 是表示平面内所有向量的一组基底，则下列四个向量中，能作为一组基底的是（　　）
A．
B．
C．
D．
【答案】A,C,D
【考点】平面向量的基本定理及其意义
【解析】【解答】∵4 －6 ＝－2(3 －2 )，∴3 －2 与4 －6 共线，∴它们不能作为一组基底，作为基底的两向量一定不共线.A、C、D选项均可
故答案为：ACD
【分析】根据题意由向量基底的定义对选项逐一判断即可得出答案。
10．（2022·重庆模拟）已知 中， 在 方向上的投影为3,D为 的中点， 为 的中点，则下列式子有确定值的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A,C
【考点】数量积的坐标表达式
【解析】【解答】如图，以A为原点， 的方向为 轴正方向建立平面直角坐标系，
因为 在 方向上的投影为3，
所以点 的横坐标为5，设 点坐标为 ， ，
因为 为 的中点， 为 的中点，所以 ， ,
对于A， ，所以A符合题意，
对于B， ，所以B不符合题意，
对于C， ，所以C符合题意，
对于D， ，所以D不符合题意，
故答案为：AC
【分析】由已知条件建立空间直角坐标系，由此求出各个点以及向量的坐标，然后由数量积的坐标公式代入数值，由此对选项逐一判断即可得出答案。
11．（2021高一下·湖南期末）下列说法中正确的是（　　）
A．若 ， ，则
B．两个非零向量 ， ，若 ，则 与 共线且反向
C．若 ，则存在唯一实数 使得
D．若 是三角形 的重心，则
【答案】B,D
【考点】向量的减法及其几何意义；向量的共线定理
【解析】【解答】若 可满足“ ， ”，但 不一定成立， A不符合题意；
根据向量减法几何意义，当 ，则 与 共线且反向， B对；
若 可满足 ，但不满足存在唯一实数 使得 ， C不符合题意；
如图所示：
，
D对．
故答案为：BD．
【分析】 若可判断A;根据向量减法几何意义可判断B;若可判断C;根据重心特点可判断D.
12．（2021高一下·杭州期中）已知向量，，则（　　）
A．
B．若，则
C．与的夹角的正弦值为
D．若，则实数
【答案】B,D
【考点】相等向量与相反向量；向量的线性运算性质及几何意义；平面向量共线（平行）的坐标表示；数量积表示两个向量的夹角；数量积判断两个平面向量的垂直关系
【解析】【解答】A. 由题得因为,所以不成立；
B. ,所以，所以，所以，所以该选项正确；
C. 由题得，所以与的夹角的余弦，所以该选项错误；
D. 所以，所以所以.所以该选项正确.
故答案为：BD
【分析】根据向量共线的坐标表示可判断A,根据向量线性运算的坐标表示结合相等向量的概念可判断B,根据向量的夹角公式可判断C，根据向量垂直的坐标表示可判断D.
三、填空题
13．（2021高二下·遵义期末） 、 是双曲线 的左、右焦点，过点 的直线 与 的左、右两支曲线分别交于 、 两点，若 ，则 　 　．
【答案】
【考点】平面向量数量积的运算；双曲线的简单性质
【解析】【解答】如下图所示：
在双曲线 中， ， ， ，则 、 ，
因为直线 过点 ，由题意可知直线 的斜率存在且不为 ，
，所以， 为直角三角形，所以， ，
又因为 ，可得 ，
整理可得 ， ，解得 ， ，
所以， .
故答案为： .
【分析】首先由双曲线的方程求出a、b、c的值，再由双曲线的定义以及勾股定理整理即可得到，求解出的值从而得到，然后由数量积的运算性质计算出结果即可。
14．（2021高二上·河北月考）已知 ， ， ， ，若 ， ， ， 四点共面，则 　 　．
【答案】2
【考点】平面向量的坐标运算；共线向量与共面向量
【解析】【解答】设 ，且 ，
∴ ，
∴ ．
故答案为：2
【分析】根据题意由四点共面的几何性质即可得到，再由向量的坐标公式整理即可得到，整理得到，由此求出即可。
15．（2020高一上·贵州期末）已知向量 ， ， 点为坐标原点，在 轴上找一个点 ，使得 取最小值，则 点的坐标是　 　.
【答案】
【考点】平面向量数量积的运算
【解析】【解答】设 点的坐标是 ，即 ，
因为向量 ， ，
所以 ，
，
，
当 时， 有最小值 ，此时 点的坐标是 ，
故答案为： .
【分析】设 点的坐标是 ，利用平面向量数量积的运算可得 ，再利用配方法，即可求出 点的坐标。
16．（）如图，半圆 的圆心为 ，半径为 ， 为 的中点，点 为半圆 上的一个动点，点 在直线 的上方，且 ， .设 ，则四边形 面积的最大值为　 　.
【答案】
【考点】余弦定理
【解析】【解答】在 中，
由余弦定理，可得 ，
，
当且仅当 时，即 时，四边形 面积有最大值，最大值为 ，
故答案为： .
【分析】先利用余弦定理求出MP的值，再将四边形OMNP的面积分解成两个三角形的面积的和，从而得到关于θ的函数，利用三角函数的值域可求四边形 面积的最大值。
四、解答题
17．（2022高三上·河北月考）的内角的对边分别为.
（1）求；
（2）若的面积为30，求的周长.
【答案】（1）解：令，，，，
因为，
所以，
解得，即，
所以；
（2）解：因为，
所以，
又，，
所以，，
所以，
所以，
解得，
则，
即，，
则周长为.
【考点】两角和与差的正切公式；正弦定理
【解析】【分析】(1)由已知条件结合两角和的正切公式即可得出m的取值，然后由正切公式代入数值计算出角A的大小即可。
(2)根据题意由已知条件即可得出，再由同角三角函数的基本关系式计算出和，结合正弦定理即可求出，由此即可求出c的取值，然后由正弦定理代入计算出边的大小，由此即可求出三角形的周长。
18．（2021高一下·湖北期末）已知 、 、 是 中 ， ， 的对边， ， ， ．
（1）求 ：
（2）求 的值．
【答案】（1）在 中，由余弦定理得，
即 ， 或 ，负值舍去．
（2）由已知，得
【考点】二倍角的余弦公式；余弦定理
【解析】【分析】(1)利用已知条件结合余弦定理，从而求出c的值。
（2）利用已知条件结合余弦定理求出角B的余弦值，再利用二倍角的余弦公式，从而求出 的值。
19．（2021·梅县模拟）在① ，② ，③ 三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并加以解答．
已知 的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若__________，且a，b，c成等差数列，则 是否为等边三角形？若是，写出证明；若不是，说明理由．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【答案】解：选择① ，
证明：则由余弦降幂公式可得 ， 即 ，
由 可得 ， 又因为a，b，c成等差数列，则B为锐角， 则 ， ，
由余弦定理可知 ，
代入可得 ，即 ， 则 ，
化简可得 ， 即 ，又因为 ， 所以 为等边三角形.
【考点】等差数列的性质；正弦定理；余弦定理；三角形的形状判断
【解析】【分析】根据题意选择 ① 结合余弦定理整理化简即可得到关于sinB的方程由角的取值范围，即可求出sinB的值，再由等差数列项的性质结合余弦定理整理即可得到关于边之间的关系由此得到三角形的形状。
20．（2021高一下·辽宁期中）已知的图象与直线相切，并且每相邻两个切点间的距离为.
（1）求函数的单调递增区间；
（2）已知中，内角，，的对边分别是，，，其中，若锐角满足，且，求内切圆的面积.
【答案】（1）解：
，
的图象与直线相切，且，
，，
又每相邻两个切点间的距离为，
所以，函数的最小正周期为，
，可得，
，
令，
解得：
函数的单调递增区间是，；
（2）解：由得，
可得，
为锐角，则，
，则，
由余弦定理得，
，
记为内切圆半径，
的面积，
即，
内切圆的面积.
【考点】两角和与差的正弦公式；正弦函数的单调性；诱导公式；余弦定理
【解析】【分析】（1）由诱导公式、二倍角公式及辅助角公式可化简函数解析式得f(x)，由图象与直线相切 ，可求得t,再由 每相邻两个切点间的距离为 ，确定周期，求出 ，从而得到函数解析式。进而由 求递增区间。
（2）由（1）可求得A,由，可求得bc,再由余弦定理， 可求b+c，最后由三角形面积公式 即可求解。
21．（2021高一下·滁州期中）如图，在等腰梯形中，，，，，点和分别在线段和，且，.
（1）若，求，的值；
（2）求.
【答案】（1）解：如图，分别过，作的垂线，，垂足分别为，，
在中，，，所以，同理，，又，所以，即.
，所以，.
（2）解：，
.
因为，，，
所以.
【考点】向量的线性运算性质及几何意义；平面向量数量积的运算
【解析】【分析】 (1) 分别过，作的垂线，，垂足分别为，， 求解三角形可得BE、CF的值，得到 ，再由斜率加法表示，利用系数相等求得m与n的值；
(2)利用向量的加法与数乘运算写出 ，展开多项式乘多项式，结合数量积运算求解.
22．（2021高三上·哈尔滨月考）在 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 ．
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）若 的面积为 ，求 外接圆面积的最小值．
【答案】解：（Ⅰ）因为 ，
所以 ，
所以 ，即 ．
因为 ，所以 ，所以 ．
因为 ，所以 ．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知 ，则 ．
因为 的面积为 ，所以 ，所以 ．
由余弦定理可得 ，则 ．
设 外接圆的半径为r，则 ，即 ，
故 外接圆的面积 ，当且仅当 时，等号成立．
即当 时， 外接圆面积的最小值为 ．
【考点】两角和与差的正弦公式；正弦定理的应用；余弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）根据正弦定理，结合两角和的正弦公式求解即可；
（2）根据三角形面积公式，运用正弦定理与余弦定理求解即可.
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