精讲精练·专项突破 第六章《平面向量及其应用》单元能力提升（含详细解析） (13)

精讲精练·专项突破
2021-2022学年高一下学期人教版（2019）
第六章 《平面向量及其应用》 单元能力提升（含详细解析）
一、单选题
1．（2021高一下·大理期中）若向量 ， 是不共线的两个向量， 与 共线，当 时， 的最小值为（　　）
A．4 B．2 C． D．
【答案】A
【考点】基本不等式在最值问题中的应用；向量的共线定理
【解析】【解答】因为 与 共线，由平面向量共线定理可知 ，所以 ，所以 ，因为 ，所以 ，当且仅当 ，即 时，等号成立，
故答案为：A．
【分析】由向量共线定理整理得到即，结合题意利用基本不等式计算出最小值即可。
2．（2020高二上·温州期末）已知向量 ， ，且 ，则 （　　）
A．-8 B．-12 C．8 D．12
【答案】A
【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】【解答】已知向量 ， ，且 ，则 ，解得 ， ，
因此， .
故答案为：A.
【分析】利用向量共线定理坐标运算即可得出答案。
3．（）在中，角所对的边分别为，，．当角取最大值时，外接圆的直径是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【考点】两角和与差的正弦公式；正弦定理
【解析】【解答】，,
根据正弦定理可知：，，，
，
当且仅当即时取等号，
取最小值时取最大值，此时，
外接圆的直径为.
故选：A
【分析】 利用两角和的正弦公式和正弦定理化简得到a,b, c之间的关系，分析可知取最小值时取最大值大值，进而求出△ABC外接圆的直径.
4．（2021高一下·吴江期中）已知 中， ， ， ， 为 所在平面内一点，且 ，则 的值为（　　）
A．-4 B．-1 C．1 D．4
【答案】B
【考点】平面向量数量积的运算
【解析】【解答】 。
【分析】利用已知条件结合数量积的运算法则，进而结合数量积的定义，从而求出数量积的值。
5．（2021高二上·深圳期中）如图，一个结晶体的形状为平行六面体 ，其中，以顶点A为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是60°，下列说法中正确的是（　　）
A．
B． 平面
C．向量 与 的夹角是120°
D． 与 所成角的余弦值为
【答案】B
【考点】平面向量数量积的含义与物理意义；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；数量积判断两个平面向量的垂直关系
【解析】【解答】在平行六面体 中，令 ，依题意， 的长度均为6，且两两的夹角都为60°，
则有 ，
对于A， ，则 ，A不正确；
对于B，平行四边形 是菱形，则 ，又 ，
则 ，即 ， ，
而 ， 平面ACC1，所以 平面 ，B符合题意；
对于C， ，依题意 是正三角形，即 ，
，而 ，则 ，C不正确；
对于D， ， ，
，
，即 与 所成角的余弦值为 ，D不正确.
故答案为：B
【分析】在平行六面体 中，令 ，依题意， 的长度均为6，且两两的夹角都为60°，再利用数量积的定义，得出 ，再利用平行四边形法则得出 ，再利用数量积求向量的模的公式，得出的长；利用平行四边形 是菱形，则 ，再利用三角形法则，得出 ，再结合数量积的运算法则和数量积为0两向量垂直的等价关系，推出， ，再利用线线垂直证出线面垂直，从而证出 平面 ；再利用已知条件结合三角形法则，得出
，再利用三角形 是正三角形，即 ，再结合数量积求向量夹角公式，得出向量 与 的夹角； 再利用已知条件结合三角形法则，得出
， 再利用数量积求向量的模的公式得出的值 ，再利用数量积的运算法则，得出数量积的值 ，再结合数量积求向量夹角公式，得出 与 所成角的余弦值，从而找出说法正确的选项。
6．在正方体 中， 是 的中点，则直线 与直线 所成角的余弦值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【考点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
【解析】【解答】解：如图建立空间直角坐标系，
令正方体的棱长为2，则 ， ， ， ，所以 ， ，设直线 与直线 所成角为 ，所以
故答案为：D
【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量法求出异面直线所成的角的余弦值。
7．（2021高三上·巴中月考）在矩形 中， ， ，若 ，则 与 的夹角为（　　）
A．30 B．45 C．60 D．135
【答案】B
【考点】数量积表示两个向量的夹角
【解析】【解答】如图：以 为原点，建立如图的平面直角坐标系，
因为四边形 是矩形， ， ， ，
则 ， ， ， ，则 ， ，
故 ，
因为 ，所以 。
故答案为：B.
【分析】以 为原点，建立如图的平面直角坐标系，再利用已知条件求出点的坐标，再结合向量的坐标表示求出向量的坐标，再利用数量积求向量夹角公式，从而结合两向量的夹角取值范围，进而求出两向量的夹角。
8．（2020高二上·滨州期末）如图，在平行六面体 中， ， ， 点 在 上，且 ，则 （　　）．
A． B．
C． D．
【答案】B
【考点】平面向量的基本定理及其意义
【解析】【解答】因为 ，可得 ，
根据空间向量的运算法则，可得
，
又由 ， ， ，
所以 。
故答案为：B.
【分析】利用已知条件结合向量共线定理，得出 ，再利用空间向量的三角形法则结合空间向量基本定理，进而得出。
二、多选题
9．（2021高二下·番禺期末）锐角三角形 的面积是 ， ， .则（　　）
A． B． C． D．
【答案】A,C
【考点】余弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【解答】 锐角三角形 的面积是 ，
，
，
为锐角，
，A选项正确，B选项错误，
在 中，运用余弦定理，
可得 ，
，C选项正确，D选项错误．
故答案为：AC．
【分析】利用已知条件结合三角形的面积公式，进而求出角B的正弦值，再利用锐角三角形中角B的取值范围，进而求出角B的值；再利用余弦定理求出AC的长，进而找出正确的选项。
10．（2021高一下·江苏期中）在 中，内角A，B，C所对的边长分别是a，b，c，若 ，则下列结论正确的有（　　）
A． B． C． D．
【答案】A,B
【考点】两角和与差的正弦公式；正弦定理
【解析】【解答】在 中，
由 ，则 ，
即 ，
，
，
，
则 或 ，
所以 或 .
故答案为：AB
【分析】根据题意由正弦定理整理得出再由两角和的正弦公式整理得出，由此得出或从而求出角的大小。
11．（2021高一下·惠州期末）已知 中， ， ， ，则下列结论正确的有（　　）
A． 为钝角三角形 B． 为锐角三角形
C． 面积为 D．
【答案】A,C
【考点】平面向量数量积的含义与物理意义；余弦定理；三角形中的几何计算；三角形的形状判断
【解析】【解答】在 中， ，∴ ，∴ 为钝角三角形，A符合题意，B不符合题意；
， C符合题意；
，D不符合题意.
故答案为：AC．
【分析】利用已知条件结合余弦定理和三角函数值在各象限的符号判断，从而判断出三角形的形状，再利用三角形的面积公式求出三角形的面积，再结合数量积的定义求出数量积的值，进而求出结论正确的选项。
12．（2021高一下·肇庆期末）在平行四边形 中，点 ， 分别是边 和 的中点， 是 与 的交点，则有（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A,C
【考点】向量的共线定理
【解析】【解答】解：如图所示：
对A， ，
又 ，
即 ，A符合题意；
对B， ，B不符合题意；
对C，设 为 与 的交点，
由题意可得： 是 的重心，
故 ，
，C符合题意；
对D， ，D不符合题意.
故答案为：AC.
【分析】由已知结合平面知识及向量共线定理，分别检验各项可得答案。
三、填空题
13．（2021高一下·昆山月考）在 中， ， ， ， 是 中点， 在边 上， ， ，则 　 　， 的值为　 　.
【答案】；
【考点】平面向量数量积的运算
【解析】【解答】因为 ， ， ，所以 ，
由题意 ， ，
所以
，
所以 ；
由 可得
，
解得 .
故答案为： ； .
【分析】首先由数量积的公式代入数值计算出的值再由向量的运算性质即可得出代入数值计算出结果即可；再由数量积的公式结合已知条件即可得出整理即可得到，求出的值即可。
14．（2022·盐湖模拟）已知分别为双曲线的两个焦点，曲线上的点P到原点的距离为b，且，则该双曲线的离心率为　 　.
【答案】
【考点】双曲线的简单性质；余弦定理
【解析】【解答】设焦距为，因为，，所以，又，所以
因为 ，
所以 ，结合 整理得 ，即
故答案为：
【分析】由等面积法结合定义得出 ，由结合余弦定理得出该双曲线的离心率。
15．（2021·惠州模拟）若向量 ， 满足 ，则 的最小值为　 　.
【答案】
【考点】基本不等式在最值问题中的应用；向量的模；平面向量数量积的运算
【解析】【解答】解：因为 ，
所以
所以
由
所以
所以
解得
故答案为：
【分析】根据向量的数量积，结合基本不等式求最值即可
16．（2021·郑州模拟）在矩形ABCD中，其中 ， ，AB上的点E满足 ，F为AD上任意一点，则 　 　.
【答案】-3
【考点】平面向量数量积的含义与物理意义；运用诱导公式化简求值
【解析】【解答】∵ 知： 为 靠近B的三等分点，
∴ ，如上图示， ，又因为 ，
∴ 。
故答案为：-3。
【分析】因为 ，所以 为 靠近B的三等分点，所以 ，再利用数量积的定义结合诱导公式，从而结合，进而求出数量积的值。
四、解答题
17．（2021高一下·大理期中）若向量 ， ，设函数
（1）求 在 上的单调增区间；
（2）在角 为锐角的 中，角 、 、 的对边分别为 、 、 ， 且 的面积为3， ，求 的值．
【答案】（1）解： ，
，
令 （ ），
得 （ ），
∴ 在 上的单调递增区间为 （ ）．
（2）由（Ⅰ）可得 ，
∴ ，
因为 ，所有 ，
从而 ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，又 ，
∴
，
∴ ．
【解析【分析】
【考点】数量积的坐标表达式；平面向量数量积的运算；正弦函数的单调性；余弦定理
【解析】【分析 】 (1)根据题意首先由数量积的坐标公式整理化简函数的解析式，再由正弦函数的单调性由整体思想即可求出答案。
(2)由(1)的结论把点的坐标代入函数的解析式，结合A的取值范围计算出角A的值，再由三角形的面积公式整理得到，由余弦定理整理得到a的值。
18．（2020高二上·广安期末）已知点 ，直线 为平面上的动点，过点 作 的垂线，垂足为点 ，且 .
（1）求动点 的轨迹 的方程；
（2）过点 的直线交轨迹 于 两点，交直线 于点 .若 ， ,求 的值.
【答案】（1）解：设点 ，则 ，由 ，
得 ， 化简得曲线 的方程为 ；
（2）解：由于直线 不能垂直于 轴，且又过 轴上的定点，
设直线 的方程为 ，则 ，
设 ， ，联立方程组
消去 得 ， ，故
由 ， ，得
利用对应的纵坐标相等，得 ， ，整理得 ， ，
所以 .
【考点】数量积的坐标表达式；抛物线的简单性质；曲线与方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】(1)由已知条件即可设出点的坐标，由此即可求出向量的坐标，结合数量积的坐标公式整理即可得出曲线的方程。
(2)根据题意设出直线的方程，由直线的方程求出点的坐标，再联立直线与抛物线的方程消元后得到关于y的方程，结合韦达定理即可求出关于m的两根之和与两根之积的代数式，然后由向量的坐标公式整理得到，整理即可得到的值。
19．（2021高一下·通化期中）设平面向量三点 ， ，
（1）求向量 ， 的坐标
（2）若四边形ABCD为平行四边形，求点D坐标
（3）求与 垂直的单位向量的坐标
【答案】（1）
（2）因为ABCD为平行四边形，所以
设D(x，y)，所以(-1，1)=(2-x，5-y)
解得：
所以点D的坐标为(3,4).
（3）设所求向量 ，由已知得：
解得：
所以
【考点】单位向量；相等向量与相反向量；平面向量的坐标运算；数量积判断两个平面向量的垂直关系
【解析】【分析】（1）由平面向量的坐标运算直接求解即可；
（2）由平面向量的坐标运算，结合相等向量的定义直接求解即可；
（3）由垂直向量的判定，结合单位向量的定义直接求解即可.
20．（2022·重庆模拟）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，点D为边BC上一点，且．
（1）求角A的大小；
（2）若，求的值．
【答案】（1）解：在中，由正弦定理及得：
，即，
于是得，而，，
因此有，而，因此，，
所以角A的大小是.
（2）解：由(1)知，，又，则有，如图，
在中，，则，于是得，，
而，即有，
因此，.
【考点】两角和与差的正弦公式；正弦定理
【解析】【分析】 （1）在中，由正弦定理和，再利用两角和的正弦公式和三角形内角和为180度的性质，再结合诱导公式得出，再利用三角形中角B的取值范围结合三角函数值在各象限的符号，得出，从而得出角A的余弦值，再利用三角形中角A的取值范围，进而求出角A的大小。
（2）在中，，再结合勾股定理得出，再利用三角函数的定义，得出和的值，再利用，得出，再利用两角差的正弦公式得出角B的正弦值。
21．（2022高三上·河北月考）的内角，，的对边分别是，，，已知．
（1）求；
（2）若是锐角三角形，，求周长的取值范围．
【答案】（1）解：由正弦定理得，，
在中，，
故，
∴，
∴，，
从而，，
∵，∴；
（2）解：由正弦定理得，，，其中为的外接圆半径，
故
，
因为是锐角三角形，，，
即且，
故，，
所以，
从而，故，
故三角形周长的取值范围为．
【考点】正弦定理
【解析】【分析】 (1)由正弦定理得 ，可得 ， 由 可求得 的值；
(2)由正弦定理得 ，利用正弦函数的性质即可求出 周长的取值范围．
22．（2021高二上·湖南月考）已知空间三点，，.
（1）已知点，且，求的值；
（2）求以，为邻边的平行四边形的面积.
【答案】（1）解：因为，，又，所以，解得.
（2）解：，，，，，
，，所以以，为邻边的平行四边形的面积为.
所以以，为邻边的平行四边形的面积为.
【考点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量数量积的运算
【解析】【分析】（1）先求出 的坐标，由 得 ，求解可得m的值；
（2）先求出 的坐标，然后利用向量的模长公式，数量积的公式求出 ，，，进而求出，再利用面积公式即可求出以，为邻边的平行四边形的面积.
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