精讲精练·专项突破 第六章《平面向量及其应用》单元能力提升（含详细解析） (15)

精讲精练·专项突破
2021-2022学年高一下学期人教版（2019）
第六章 《平面向量及其应用》 单元能力提升（含详细解析）
一、单选题
1．（2021高一下·天津月考）给出下列向量等式：① ；② ；③ 其中正确的等式有（　　）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】C
【考点】向量加减混合运算及其几何意义
【解析】【解答】① ，正确；
② 错误，应为 ；
③ 正确.
故答案为：C.
【分析】由向量的加减运算性质对选项逐一判断即可得出答案。
2．（2021高一下·重庆期末）在圆O中弦AB的长度为8，则 =（　　）
A．8 B．16 C．24 D．32
【答案】D
【考点】平面向量数量积的含义与物理意义
【解析】【解答】 。
故答案为：D
【分析】利用已知条件结合数量积的定义，从而求出数量积的值。
3．（2021高二下·成都月考）在直三棱柱 中，已知 ， ， ，则异面直线 与 所成的角为 　　
A． B． C． D．
【答案】C
【考点】异面直线及其所成的角；余弦定理
【解析】【解答】由题意知，，所以直线与AB所成的角即为异面直线所成的角，
又 ，，AB=2，
则在中，由余弦定理得
又，所以，所以C正确，
故答案为：C.
【分析】由异面直线所成角的概念易知为所求角，再由余弦定理求解即可.
4．（2021高一下·浙江月考）在 中， 分别是角 的对边，且 ，则 （　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【考点】两角和与差的正弦公式；运用诱导公式化简求值；正弦定理
【解析】【解答】解：因为 ，
由正弦定理得 ，
因为 ，
所以 ,
因为 ，所以 ，
因为 ，所以 。
故答案为：D
【分析】利用已知条件结合正弦定理得出，再利用三角形内角和为180度的性质和诱导公式、两角和的正弦公式，得出，因为 ，所以 ，再利用三角形中角A的取值范围，进而求出角A的值。
5．（2021高一下·湖南月考）如图，已知圆 的半径为2， 是圆 的一条直径， 是圆 的一条弦，且 ，点 在线段 上，则 的最小值是（　　）
A．1 B．-2 C．-3 D．-1
【答案】D
【考点】平面向量数量积的运算
【解析】【解答】连接 ，
由题可知，
，
连接 ，
在 中，当 时， 最小，
由于 ，
所以 的最小值为 ，
因此 的最小值为 ，
故答案为：D．
【分析】由题可知，，当 时， 最小，即可求出 的最小值 。
6．（2021·焦作模拟）在 中，内角 ， ， 的对边 ， ， 依次成等差数列， 的周长为15，且 ，则 （　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【考点】正弦定理；余弦定理
【解析】【解答】∵ ，所以 ，
由正弦定理得 ，
又因为 ， ， 依次成等差数列， 的周长为15，即 ，
由 ，解得 ，
。
故答案为：B．
【分析】利用已知条件结合正弦定理得出 ，再利用已知条件结合等差中项公式和三角形周长公式，得出 ，进而解方程组求出a,b,c的值，再利用余弦定理求出角B的余弦值。
7．（2021·乌鲁木齐模拟）设点 分别是双曲线 的两个焦点，若双曲线上存在点A，使 ，且 ，则双曲线的离心率为（　　）
A． B．2 C． D．
【答案】D
【考点】双曲线的定义；双曲线的简单性质；余弦定理
【解析】【解答】解：由双曲线的定义知， ，
， ， ，
在△ 中，由余弦定理知， ，
化简得， ，
离心率 ．
故答案为：D．
【分析】根据双曲线定义结合已知可求出,,再由余弦定理化简得 利用离心率公式即可求出离心率。
8．（2021高二上·靖远期末）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知，，，则的面积为（　　）
A． B． C．1 D．
【答案】D
【考点】余弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【解答】在中，由，得，而，，由余弦定理得：，
即，解得，
所以的面积。
故答案为：D
【分析】利用已知条件，得，再利用，，由余弦定理得ac的值，再利用三角形的面积公式，进而得出三角形的面积。
二、多选题
9．（2021高一下·丹东期末） 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，若 ， ，则 的可能取值为（　　）
A．30° B．35° C．45° D．70°
【答案】A,D
【考点】正弦定理
【解析】【解答】 ，
，由正弦定理，得 ，
即
所以 或 ，
所以 或 .
故答案为：AD
【分析】首先由三角形的内角和求出角的大小，再由正弦定理计算出sinA的值，由此即可求出角A的大小。
10．（2021高一下·厦门期末）已知向量 ， 在向量 上的投影向量为 ，则（　　）
A．
B．与 方向相同的单位向量为 或
C． 的最小值为0
D． 的最小值为
【答案】A,B,D
【考点】向量的模；单位向量；数量积的坐标表达式；平面向量数量积的运算；向量的投影
【解析】【解答】由投影向量的定义可知： ，可知 ，设
对于A： ， ，所以 ，
A符合题意；
对于B：由于 ，所以与 方向相同的单位向量为 即 或 B符合题意；
对于C：因为 ，所以
所以当 时， 的最小值为 ，C不正确；
对于D： 因为
，所以当 时， 的最小值为 ，D符合题意。
故答案为：ABD.
【分析】由投影向量的定义可知： ，从而可知 ，再利用向量共线的坐标表示得出向量 。再利用数量积的坐标表示得出；再结合单位向量的定义结合向量方向相同的判断方法，从而求出与 方向相同的单位向量；利用数量积的运算法则结合数量积的坐标表示，再结合二次函数求最值的方法，从而求出 的最小值；再利用数量积求向量的模的公式结合数量积的坐标表示，从而结合二次函数的图像求最值的方法，进而求出 的最小值，从而找出正确的选项。
11．（2021高二上·重庆月考）下列命题是真命题的有（　　）.
A．直线 的方向向量为 ，直线 的方向向量为 ，则 与 垂直
B．直线 的方向向量为 ，平面 的法向量为 ，则
C．平面 ， 的法向量分别为 ， ，则
D．平面 经过三点 ， ， ，向量 是平面 的法向量，则
【答案】A,D
【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示；数量积的坐标表达式；数量积判断两个平面向量的垂直关系
【解析】【解答】∵ ， ，
∴ ，则 ，
∴直线 与 垂直，A符合题意；
， ，则 ，
则 ，∴ 或 ，B不符合题意；
∵ ， ，∴ 与 不共线，
∴ 不成立，C不符合题意；
∵点 ， ， ，
∴ ， .
∵向量 是平面 的法向量，∴ ，
即 ，解得 ，D符合题意.
故答案为：AD
【分析】利用已知条件结合方向向量的定义和数量积为0两向量垂直的等价关系，再利用数量积的坐标表示，从而证出线线垂直，进而推出线面平行或线在平面内，再利用已知条件结合向量共线的坐标表示证出两向量平行，再结合已知条件和数量积为0两向量垂直的等价关系，再结合数量积的坐标表示，从而求出的值，进而找出真命题的选项。
12．（2021·常州模拟）已知 为 所在平面内一点，则下列正确的是（　　）
A．若 ，则点 在 的中位线上
B．若 ，则 为 的重心
C．若 ，则 为锐角三角形
D．若 ，则 与 的面积比为
【答案】A,B,D
【考点】平面向量的基本定理及其意义；数量积表示两个向量的夹角；三角形五心；三角形的形状判断
【解析】【解答】对于A，设 中点为 ， 中点为 ，
， ，
，即 ， 三点共线，
又 为 的中位线， 点 在 的中位线上，A符合题意；
对于B，设 中点为 ，由 得： ，
又 ， ， 在中线 上，且 ，
为 的重心，B符合题意；
对于C， ， 与 夹角为锐角，即 为锐角，但此时 有可能是直角或钝角，故无法说明 为锐角三角形，C不符合题意；
对于D， ， 为线段 上靠近 的三等分点，即 ，
，D符合题意.
故答案为：ABD.
【分析】设 中点为 ， 中点为 ，因为 ，再利用中点的性质结合共线定理，得出 ，再结合三点共线的判断方法，所以 三点共线，又因为 为 的中位线，所以点 在 的中位线上；设 中点为 ，由 结合相反向量与向量的关系，得： ，又因为，再利用平行四边形法则 ，所以 ，所以 在中线 上且 ，再利用三角形重心的定义，所以点为 的重心；因为 ，再利用数量积求向量夹角公式，得出两向量 与 夹角为锐角，即 为锐角，但此时 有可能是直角或钝角，故无法说明 为锐角三角形；因为 ，所以 为线段 上靠近 的三等分点，再利用向量共线定理，即 ，再利用三角形的面积公式，从而得出两三角形 与 的面积比，从而找出正确的选项。
三、填空题
13．（2021高三上·静海月考）如图，在梯形中，，，，，，
（1）　 　．
（2）P是上的动点，则的最小值为　 　．
【答案】（1）4
（2）18
【考点】函数的最值及其几何意义；向量加减混合运算及其几何意义；平面向量数量积的运算
【解析】【解答】（1）由题设知：.
（2）若且，
∵，，
∴，
∴，
故当时，的最小值为18.
故答案为：4，18.
【分析】(1)根据题意由数量积公式，整理化简计算出结果即可。
(2)首先由向量的加减运算性质结合数量积的运算公式，再由二次函数的图像和性质计算出的最小值。
14．（2021·菏泽模拟）设 为单位向量，且 则 　 　．
【答案】
【考点】向量的模；平面向量数量积的运算
【解析】【解答】由已知 ， ，
所以 ．
故答案为： ．
【分析】 根据 为单位向量，对 两边平方，进行数量积的运算即可求出 ，然后根据 即可求出 的值．
15．已知，，，则向量与向量的夹角为　 　．
【答案】
【考点】数量积表示两个向量的夹角；数量积判断两个平面向量的垂直关系
【解析】【解答】解：设向量与向量的夹角为．
∵，∴，又∵，∴．
∵，∴，∴，∴，∵，∴．
故答案为：.
【分析】 由条件利用两个向量垂直的性质，两个向量的数量积的定义，求得向量与向量的夹角的余弦值，可得向量与向量的夹角的值。
16．（2020高二上·泰安期末）已知 ，且 与 的夹角为钝角，则实数k的取值范围为　 　．
【答案】
【考点】数量积表示两个向量的夹角
【解析】【解答】由 ， ， ，
所以 ，解得 ，
若 与 反向，则 ，
则 ，所以 ，
所以 与 的夹角为钝角则 且 ，
综上所述，实数 的取值范围是 。
故答案为： 。
【分析】利用已知条件结合数量积求向量夹角公式，再结合余弦函数在各象限的符号，从而求出实数k的取值范围。
四、解答题
17．（2021高三上·河南月考）在中，内角，，所对的边分别为，，，已知，．
（1）求角的大小；
（2）求的最小值．
【答案】（1）解：因为，所以，
整理得，所以
又，所以．
（2）解：因为，，
所以，
故，即，
当且仅当时，等号成立，所以的最小值为4．
【考点】基本不等式在最值问题中的应用；解三角形；余弦定理
【解析】【分析】(1)由已知条件结合三角形的面积公式整理化简即可得出由角的取值范围，即可求出角A的大小。
(2)根据题意由已知条件结合余弦定理整理化简即可得出，再由基本不等式即可得出a的取值范围。
18．（2021高一下·运城期末） 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知 的面积为 .
（1）求角 的大小；
（2）若 ，求 的取值范围.
【答案】（1）由题意可知
又
（2）
，
由正弦定理可得
，
原式
原式
又 ，则
的取值范围为 .
【考点】正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】 (1)利用三角形面积公式及余弦定理即可求解;
(2)利用向量的数量积及正弦定理可得 , 利用余弦函数的性质即可求得结论.
19．（2021高一下·蕲春月考）
（1）已知平面向量 、 ，其中 ，若 ，且 ，求向量 的坐标表示；
（2）已知平面向量 、 满足 ， ， 与 的夹角为 ，且（ + ） （ ），求 的值.
【答案】（1）解：设 ，由 ，可得 ，
由题意可得 ，解得 或 .
因此， 或 ；
（2）解： ，
化简得 ，
即 ，解得
【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示；平面向量数量积的运算
【解析】【分析】 （1）根据 ， 即可设 ，然后根据 即可求向量 的坐标 ；
（2）根据 ， 即可得 ， 然后进行数量积的运算即可求出λ的值．
20．已知ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.
（1）求cos A;
（2）若b=4，D为ABC外一点，如图，且D=2A，DC=2，BCD的面积为4，求c.
【答案】（1）解：因为A+B=π-C，
所以sin（A+B）=sin（π-C）=sin C.
所以由已知得，
由正弦定理可得，即c（bsin A-c）=（b-a）（b+a），
整理得bcsin A=b2+c2-a2，
即sin A==cos A，
所以sin A=cos A，
结合sin2A+cos2A=1，
解得或
因为A∈（0，π），所以sin A>0，
故
（2）解：由（1）知且D=2A，
所以sin D=sin 2A=2sin Acos A=2×.
故BCD的面积S=CD×BDsin D=×2×BD×=4，
解得BD=6.
又cos D=cos 2A=2cos2A-1=2×（）2-1=-，
则在BCD中，由余弦定理可得BC2=BD2+CD2-2BD·CDcos D=62+22-2×6×2×（-）=48，
所以a=BC=4.
解法一 在ABC中，由余弦定理a2=b2+c2-2bccos A，
得48=（4）2+c2-2×4c×，得c=8.
解法二 因为a=b=4，所以由已知c=bsin A=×4=8.
【考点】正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】 (1) 首先利用正弦定理对已知条件进行变形，然后结合余弦定理可得到 sin A=cos A， , 最后利用同角三角函数的基本关系式求解即可；
(2)首先利用倍角公式和三角形的面积公式求出边BD , 然后在三角形BCD中利用余统定理求得a的值，最后在 ABC 中利用余弦定理求出c的值，或利用题中条件得到c的值。
21．（2021高二上·湖南月考）如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD为平行四边形，侧棱PA垂直于底面，AB⊥AC，点E满足 ，且PB∥平面AEC.
（1）求 的值.
（2）若PA=AB=3，AC=2，在线段PB上是否存在点Q，使二面角Q—AC—E的余弦值为 ？若存在，确定Q点的位置.若不存在，说明理由.
【答案】（1）解： ，即 为 中点，证明如下.
如图所示：
连结 交 于 ，连结 ，则 为 中位线.
即 .
又 平面 ， 平面 ，
则 平面 ，
故 为 中点，
即 .
（2）解：以 、 、 为 、 、 轴建立空间直角坐标系，
则 ， ， ， .
设平面 的一个法向量为 ，
则 ，即 .
令 ，得 .
设 ，
则 ，
设平面 的一个法向量为 ，
则 ，即 ，
当 时，Q与B重合，则平面 的一个法向量为 ，
则 ，不成立；
当 时，令 ，得 .
令 ，即 .
化简得： ，
解得 或 .当 时，不合题意.故 .
故 在线段 上靠近点 的三等分点处.
【考点】数量积的坐标表达式；数量积表示两个向量的夹角；直线与平面平行的判定；用空间向量求平面间的夹角
【解析】【分析】(1)根据题意由中点的性质即可得出线线平行，再由线面平行的判定定理结合已知条件计算出结果即可。
(2)根据题意建立空间直角坐标系求出各个点的坐标以及向量和平面 法向量的坐标，再由数量积的坐标公式即可求出平面的法向量的坐标，同理即可求出平面的法向量；结合空间数量积的运算公式代入数值结合已知条件，代入数值计算出的取值，从而得出答案。
22．（2021高二上·怀仁期末）如图所示，直角梯形中，，，，四边形为矩形，，平面平面.
（1）求证：平面；
（2）求二面角的正弦值；
（3）在线段上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为，若存在，求出线段的长，若不存在，请说明理由.
【答案】（1）证明：四边形为矩形，，
又平面平面，平面平面，
平面.
取为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系，
如图，
则，，，，，
设平面的法向量，
，，
由，取，得，
又，，，又平面，平面；
（2）解：，，，，，
设平面的法向量，
则，取，得，
设平面的法向量，
则，取，得，
设二面角的平面角为，
则，
二面角的正弦值.
（3）解：假设在线段上存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为，
设，，则，，，，，
解得，，，，，，
平面的法向量，，，，，，
直线与平面所成角的正弦值为，
，
解得或，
，或.
【考点】数量积表示两个向量的夹角；直线与平面平行的判定；直线与平面所成的角；用空间向量求平面间的夹角
【解析】【分析】(1)根据题意由已知条件结合线面垂直的性质定理即可得出线线垂直，由此建立空间直角坐标系求出各个点的坐标以及向量和平面法向量的坐标，再由数量积的坐标公式即可求出平面的法向量的坐标，由线面角与向量夹角的关系，结合空间数量积的运算公式代入数值计算出，由此得到线面平行；
(2)根据题意建立空间直角坐标系求出各个点的坐标以及向量和平面法向量的坐标，再由数量积的坐标公式即可求出平面的法向量的坐标，同理即可求出平面的法向量；结合空间数量积的运算公式代入数值即可求出夹角的余弦值，由此得到二面角的正弦值 。
(3)根据题意假设存在点P，结合数乘向量的运算公式，由空间的坐标公式代入计算出结果由此即可得出点P的坐标，然后由数量积的坐标公式即可求出线面角的正弦值，把数值代入计算出结果，由此即可得证出结论。
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