精讲精练·专项突破 第六章《平面向量及其应用》单元能力提升（含详细解析） (16)

精讲精练·专项突破
2021-2022学年高一下学期人教版（2019）
第六章 《平面向量及其应用》 单元能力提升（含详细解析）
一、单选题
1．（2021高一下·南平期末）已知向量 ， ，若 ，则 的值为（　　）
A．-9 B． C．6 D．15
2．设的内角的对边分别为的面积，则（　　）
A． B． C． D．
3．已知单位向量的夹角为，且与垂直，则（　　）
A．1 B．-1 C．2 D．4
4．（2021·南平模拟）过点 的直线 与函数 的图象交于 ， 两点， 为坐标原点，则 （　　）
A． B． C．5 D．10
5．（2021·惠州模拟）同学们都知道平面内直线方程的一般式为 ，我们可以这样理解：若直线 过定点 ，向量 为直线 的法向量，设直线 上任意一点 ，则 ，得直线 的方程为 ，即可转化为直线方程的一般式.类似地，在空间中，若平面 过定点 ，向量 为平面 的法向量，则平面 的方程为（　　）
A． B．
C． D．
6．（2020高二上·南平期末）若直线 的方向向量 ，平面 的法向量 ，则（　　）
A． B．
C． D． 或
7．（2021高二上·浙江期中）已知点A、B、C为椭圆 ： 上的三点， 为坐标原点，当 时，称 为“稳定三角形”，则这样的“稳定三角形”（　　）
A．不存在 B．存在有限个
C．有无数个但面积不为定值 D．有无数个且面积为定值
8．（2021高三上·月考）在 中，D为三角形所在平面内一点，且 ，则 （　　）
A． B． C． D．
二、多选题
9．（2021高三上·茂名月考）在同一平面上，A，B是直线l上两点，O，P是位于直线l同侧的两点（O，P不在直线l上），且 ，则 的值可能是（　　）
A．-1 B．0 C．1 D．2
10．（2021高二下·广州期中）已知向量 ， ，则下列命题正确的是（　　）．
A．若 ，则
B．若 ，则
C．若 取得最大值时，则
D． 的最大值为
11．（2021高一下·吴江期中）在 中， .若 ，则 的值可以等于（　　）
A． B． C．2 D．3
12．（2022·湖南模拟）已知，则下列结论正确的是（　　）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则的夹角为
三、填空题
13．（2021高一下·昌平期末）已知单位向量 ， 满足 ，则 与 夹角的大小为　 　； 　 　.
14．（2020高二上·丽水期末）四棱锥 的底面是平行四边形， ，若 ，则 　 　．
15．（2021·枣庄模拟）如图，由四个全等的三角形与中间的一个小正方形 拼成的一个大正方形 中， .设 ，则 的值为　 　.
16．（2021高一下·江南期中）如图，在平行四边形中，，为的中点，为线段上一点，且满足，则　 　；若的面积为，则的最小值为　 　．
四、解答题
17．（2021高三上·洮南月考）在 中，角 所对的边分别为 ，已知 ．
（1）求 ；
（2）若 ， ，求 的值．
18．（2021高一下·扬州期末）已知 是关于 的实系数方程 的一个复数根.
（1）求实数 的值；
（2）设方程的另一根为 ，复数 对应的向量分别是 .若向量 与 垂直，求实数 的值.
19．（2021·重庆模拟）在 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c， .
（1）求C；
（2）若 的面积为 ，求c的最小值.
20．（2021高一下·朝阳期末）在锐角 中， ， ， 、 分别是边 、 上的点.且 ，再从条件①、条件②、条件③中选择两个能解决下面问题的条件作为已知，并求：
条件①： ；条件②： ；条件③： .
（1） 的值；
21．（2021高一下·聊城期末）已知点 ， ， ， ．
（1）若四边形ABCD是平行四边形，求x，y的值；
（2）若 ，且 ，求向量 在 方向上的投影向量．
22．（2020高二上·如皋期末）请从下列条件中选取一个条件补充在横线上，并解决你组成的问题：
① ， ；② ， ；③ ， .
问题：在 中，内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，满足 ，且________.
求：
（1）a的值；
（2） 的面积.
答案解析部分
1．【答案】D
【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】【解答】因为 ，则 ，因此， .
故答案为：D.
【分析】 利用向量平行和向量数量积的坐标表示解题可得答案.
2．【答案】A
【考点】解三角形；余弦定理
【解析】【解答】由，
∴，在中，，
∴，解得.
故答案为：A.
【分析】根据题意由已知条件，结合余弦定理即可得出，由此计算出结果即可。
3．【答案】C
【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系
【解析】【解答】由题得：
由条件 与 垂直可得：
故答案为：C
【分析】由 即可求解。
4．【答案】D
【考点】平面向量数量积的运算
【解析】【解答】 ，函数 的图象关于点 对称，
直线 与函数 的图象交于 ， 两点时，得出 ， 两点关于点 对称，则有 ，于是 ．
故答案为：D．
【分析】由已知可得，函数 的图象关于点 对称，进而得出 ， 两点关于点 对称，则 ，即可得出答案。
5．【答案】C
【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系
【解析】【解答】解：设平面 内任意一点Q（x,y,z），又 平面 过定点 ，向量 为平面 的法向量，
则，
则由得2×(1-x)+(-3)×(-y)+1×(-2-z)=0，
化简得2x-3y+z=0
故答案为：C
【分析】根据题意平面的方程的概念，结合向量垂直的判定求解即可.
6．【答案】D
【考点】平面向量数量积的运算
【解析】【解答】直线 的方向向量 ，平面 的法向量
由 ，则 或 ，
故答案为：D.
【分析】直接利用空间向量数量积的坐标表示计算可得到答案。
7．【答案】D
【考点】数量积表示两个向量的夹角；三角形中的几何计算
【解析】【解答】设 为椭圆 上的三个动点，
因为 ，所以 ，所以 ，
，因此有 ，即
，而
所有 ，整理得 ，
将 看成关于 的方程，即 ，
，因 ，所以 ，
所以存在有无数组 使得 成立；
由重心的性质可知 面积相等，
故只需先求 的面积即可；
则 ，
，
，
则
所以 ，因此 ,
所以 的面积为定值，从而得出这样的“稳定三角形” 有无数个且面积为定值 。
故答案为：D.
【分析】设 为椭圆 上的三个动点，再利用 结合向量的坐标表示和向量的坐标运算，从而得出 ，再利用已知条件结合代入法得出 ，再利用 ，整理得 ，再结合判别式法结合 ，得出 ，所以存在有无数组 使得 成立；由重心的性质可知 面积相等，故只需先求 的面积即可，再设 再利用数量积求向量夹角公式得出 ，再利用同角三角函数基本关系式，得出 ，再利用三角形面积公式，得出 ，再结合已知条件求出 的值，进而求出 的值，再结合的关系式，从而求出三角形 的面积，进而证出三角形 的面积为定值，从而得出这样的“稳定三角形” 有无数个且面积为定值 。
8．【答案】B
【考点】平面向量的基本定理及其意义；三角形中的几何计算
【解析】【解答】如图，设AD交BC于E，且 ，由B,E,C三点共线可得：
，∴ ，
∴ .
设 ，则 ，∴ .
又因为 ，∴ ，∴ 。
故答案为：B.
【分析】设AD交BC于E，且 ，由B,E,C三点共线可得x的值，从而得出 ，再利用三角形法则得出 ，设 ，则 ，所以 ，再利用 ，所以 ，从而得出的值 。
9．【答案】A,B
【考点】平面向量的基本定理及其意义
【解析】【解答】∵当且仅当点 在直线 上时，则 ．而当 ， 两点在 的异侧时，才会有 ．因为 ， 在直线 同侧，所以C，D不符合题意；当 时， ，此时 ，所以B符合题意．当 在 关于点 对称的直线 上时， ，所以A符合题意．
故答案为：AB．
【分析】由平面向量的基本定理，对选项逐一判断即可得出答案。
10．【答案】A,C,D
【考点】平行向量与共线向量；平面向量共线（平行）的坐标表示；数量积判断两个平面向量的垂直关系；平面向量数量积坐标表示的应用
【解析】【解答】解：对于A，若 ，则2sinα-cosα=0，则2sinα=cosα，所以，故A正确；
对于B， 若 ，则sinα-2cosα=0，则sinα=2cosα，所以，故B错误；
对于C，，其中tanθ=2，f(a)取得最大值时，，此时，则，所以C正确；
对于D，由C得
当时，，所以D正确.
故答案为：ACD
【分析】根据平行向量的坐标表示可判断A，根据垂直向量的坐标表示可判断B，根据向量的数量积，结合正弦函数 的值域可判断C，根据向量的模，结合选项C的结论可判断D.
11．【答案】A,D
【考点】两角和与差的正弦公式；运用诱导公式化简求值；正弦定理
【解析】【解答】因为 ，
所以 ，
在 中，因为 ，
所以 ，
即 ，
解得 或 ，
当 时，因为 ，
所以 ，
，
当 时，由正弦定理得： ，
所以 ，
综上所述： 或。
故选：AD
【分析】利用三角形内角和为180度的性质结合诱导公式和两角和的正弦公式，进而推出 ，在 中，因为 ，所以 ，解得 或 ，再利用分类讨论的方法结合已知条件，再结合正弦定理，进而求出 的值 。
12．【答案】B,D
【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示；数量积表示两个向量的夹角；数量积判断两个平面向量的垂直关系
【解析】【解答】若，则，解得，所以A不符合题意；
若 ，则 ，解得 ，所以B符合题意；
若 ，则 ，解得 或 ，所以C不符合题意；
若 ，则 ，
设向量 与 的夹角为 ，可得 ，
因为 ，所以 ，所以D符合题意.
故答案为：BD
【分析】根据共线向量与向量垂直的坐标表示，以及向量的夹角公式，逐项进行判断，可得答案。
13．【答案】；
【考点】平面向量数量积的运算；数量积表示两个向量的夹角
【解析】【解答】设 ， 的夹角为 ，则 ，又 ，所以 ；
，所以 .
故答案为：① ；② .
【分析】 根据題意，设 ， 的夹角为 ，由数量积的计算公式可得 ,求出 的值，即可得第一空答案;又由代入数据即可得答案.
14．【答案】
【考点】向量的共线定理
【解析】【解答】由 ，则
四棱锥 的底面是平行四边形,即 为平行四边形，则
则
又
所以 ，故
故答案为：
【分析】利用向量的加减运算法则以及向量的线性运算即可求出x、y、z的值，由此即可得出答案。
15．【答案】
【考点】平面向量的基本定理及其意义
【解析】【解答】过点 作 ，垂足为 ，根据正方形的性质，可知 ，因此 ，
由题意可知： ，所以 ，由题意可知： 是小正方形，
因此可知： 是直角三角形，设大正方形 的边长为 ， ，
因为 ，所以 ，由勾股定理可知：
，
由 ，
由 ，
因为 ，所以 ，
故答案为：
【分析】过点 作 ，垂足为 ，根据平面向量基本定理，结合锐角三角函数的定义进行求解即可。
16．【答案】；
【考点】向量的模；向量的线性运算性质及几何意义
【解析】【解答】由题意，设，
则 ，
所以 ，所以 ，所以 ；
所以 ，
由 的面积为 ，得到 ，得到 ，
所以 ，
当且仅当 时，等号成立，
所以 的最小值为 ．
故答案为： ； .
【分析】 利用平面向量基本定理以及线性运算，结合向量相等，求出m的值，利用平行四边形的面积，求出 ，由模的运算性质以及基本不等式求解最值即可.
17．【答案】（1）解： ，
（2）解： ， ；
， ；
由余弦定理得： ，
解得： ，
由 得： ， .
【考点】同角三角函数基本关系的运用；运用诱导公式化简求值；余弦定理的应用
【解析】【分析】（1）根据诱导公式，结合三角形内角和性质求解即可；
（2）根据同角三角函数间的基本关系，与三角形面积公式，结合余弦定理，运用方程思想求解即可.
18．【答案】（1）由题得 ，
所以 得
（2）由（1）知，关于 的实系数方程为 ，所以 ，
，则 ，所以 ，
则 .
因为 与 垂直，
所以 ，
解得： .
【考点】一元二次方程的解集及其根与系数的关系；数量积判断两个平面向量的垂直关系
【解析】【分析】 (1 )由实系数一元二次方程虚根成对原理及根与系数的关系求解m与n的值；
(2)求出 的坐标，进一步求得 与 的坐标，再由向量垂直与数量积的关系列式求得实数t的值.
19．【答案】（1） ，
由正弦定理得 .
即 ， ，
又 ，∴ ，即 ， ，
又 ，∴ ，即 ，
（2）由题知 ，即 ，
由余弦定理 得 ，∴ ，
解得 或 (舍去)，当且仅当 时等号成立，∴c的最小值为4.
【考点】两角和与差的正弦公式；正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】（1）对 利用两角和的正弦公式以及正弦定理可得 ，再利用三角恒等变换可知 ，由C的范围可知 。
（2）利用面积公式可得 ， 由余弦定理可得 ，利用基本不等式可得 ，分析可得C值。
20．【答案】（1）选条件①③：
因为 ， ， ，
又因为在 中， ，所以 ；
选条件②③：
因为 ， ， 为锐角，所以 ，
所以 ；（2） 的大小；
选条件①③：
因为 锐角三角形，由（1）知 ，所以 .
在 中，因为 ，
所以 ，即 ，解得 ，
又因为 ，所以 .
又因为 ，所以 ，故 ；
选条件②③：
由（1）及正弦定理 得 ，
又因为 ，所以 ，
又因为 ，所以 ，故 ；（3）四边形 的面积.
选条件①③：
因为 ， ，由（2）知 ，所以 ，
又因为 ，所以 ,
所以四边形 的面积为 ；
选条件②③：
因为 是锐角三角形，由（1）知 ，所以 ，
由余弦定理得 ，
解得： .
所以 ，
又因为 ，所以 ，
所以四边形 的面积为 ；
选择①②：因为 ， ， ，
由余弦定理可得 ，故 ，
因为 为锐角，则 ，
所以， ， ，则 满足，
，点 的位置无法确定，故 无法确定，即选择①②无法求解.
【考点】正弦定理；余弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【分析】(1) 选条件①③由正弦定理代入数值计算出sinC的值；
选条件②③结合同角三角函数的基本关系式代入数值计算出sinB的值，再由两角和的正弦公式代入数值计算出结果即可。
(2) 选条件①③ 由(1)的结论结合同角三角函数的基本关系式计算出cosA的值，再由余弦定理代入数值计算出AC的值，由此即可求出AE的值，由三角形的形状即可求出角的大小，由此得；
选条件②③ 由(1)的结论结合正弦定理代入数值计算出AC的值，由此得到EC以及AE的值结合三角形的形状即可求出角的大小。
(3) 选条件①③： 由(2)的结论即可求出AC的值，再由三角形的面积公式代入数值计算出三角形的面积，从而得出 四边形 的面积为 ；
选条件②③ 首先由同角三角函数的基本关系式计算出cosC的值，再由余弦定理代入数值计算出AB的值，由此得到三角形的面积进而得出 四边形 的面积为 ；
选择①② 首先由三角形中的几何计算关系计算出cosB的值，再由余弦定理代入数值计算出AC的值，从而由同角三角函数的基本关系式计算出sinB的值，然后由正弦定理计算出从而D点的位置无法确定， 故 无法确定 ，由此答案。
21．【答案】（1）解：由 ， ， ， ，得 ， ，
因为四边形 是平行四边形，所以 ，即 ，
所以 解得
因为 ， 时， 与 不共线，符合题意，
所以 ， ．
（2）由 ， ， ， ，且 ，
得 ， ， ， ，
因为 ，所以 ，解得 ，所以 ．
设向量 与 的夹角为 ，则向量 与 方向上的投影向量为 ．
【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示；数量积的坐标表达式；数量积判断两个平面向量的垂直关系；向量的投影
【解析】【分析】(1)利用已知条件结合向量的坐标表示求出向量的坐标，再利用四边形 是平行四边形，所以 ，再利用向量共线的坐标表示，从而求出x,y的值。
（2）利用x的值结合向量的坐标表示，从而求出向量的坐标，再结合向量的坐标运算和数量积为0两向量垂直的等价关系，再结合数量积的坐标表示，进而求出y的值，从而求出向量 的坐标，再结合数量积求向量夹角公式，从而求出向量 在 方向上的投影向量。
22．【答案】（1）解：∵∴ ，
∵ ，
∴ ，
由正弦定理，得
，
∴ ，由余弦定理得 ，
∵∴ ，
若选①
由 及 ，
得 ，
∵∴∴ ，
∴ 为锐角，∴ ，
此时 ，
则 .
若选②
∵∴ ，
∵∴ ，
∵∴ .
若选③
∵∴ ，
∵∴ .
（2）解：若选①
.
若选②∵ ，
∴ .
若选③ .
【考点】两角和与差的正弦公式；运用诱导公式化简求值；正弦定理；余弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）① ， ；② ， ；③ ， ，从以上条件中选取一个条件补充在横线上，并解决组成的问题。利用三角形内角和为180度结合诱导公式和正弦定理，进而求出a的值，再利用余弦定理结合三角形中角A的取值范围，进而求出角A的值， 若选①结合正弦定理和已知条件，进而求出角B的正弦值，再利用大边对应大角，进而结合角B的取值范围，进而求出角B的值，再结合三角形内角和为180度，进而求出角C的值，再利用正弦定理求出a的值； 若选②结合诱导公式结合三角形中角B的取值范围，再结合同角三角函数基本关系式，进而求出角B的正弦值，再结合正弦定理求出a的值； 若选③ 结合三角形内角和为180度，再结合正弦定理求出a的值。
（2） 若选①结合已知条件，进而利用三角形面积公式求出三角形 的面积；若选②结合三角形内角和为180度和诱导公式，再利用两角和的正弦公式和三角形面积公式，进而求出三角形 的面积；若选③结合已知条件和三角形面积公式，进而求出三角形 的面积。
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