精讲精练·专项突破 第六章《平面向量及其应用》单元能力提升（含详细解析） (24)

精讲精练·专项突破
2021-2022学年高一下学期人教版（2019）
第六章 《平面向量及其应用》 单元能力提升（含详细解析）
一、单选题
1．（2021高二上·大连期末）已知空间向量，，若，则实数的值是（　　）．
A．-1 B．0 C．1 D．2
2．已知直线 的一个方向向量为 ，直线 的一个方向向量为 ，则两直线所成角的余弦值为（　　）
A． B． C． D．
3．（2021高二上·河南月考） 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， .若 ， ，则（　　）
A． B．
C． D． 与 的大小不能确定
4．（2021高一下·武清月考）在 中，内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，已知 ，且 ， ，则 （　　）
A．1 B． C．1或 D．
5．（2021高三上·湛江月考）已知 ， ，则 （　　）
A．4 B．8 C．16 D．32
6．（2022·湖南模拟）在一个边长为2的等边三角形中，若点P是平面(包括边界)中的任意一点，则的最小值是（　　）
A． B． C．-1 D．
7．（2021·八省联考）已知单位向量 满足 ，若向量 ，则 （　　）
A． B． C． D．
8．（2021高一下·齐齐哈尔期中）若 均为非零向量，则“ ”是“ 与 共线”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
二、多选题
9．（2021高一下·台州期末）已知非零向量 ，下列命题正确的是（　　）
A．若 ，则
B．若 ，则
C．
D．
10．（2021高一下·常熟期中）已知m，n是实数， 为向量，则下列运算中正确的有（　　）
A．
B．若 ，则
C．
D．
11．（2021高一下·浙江期中）已知等腰中，P为内部及边上的点，则的值可能是（　　）
A．-2 B．-3 C．24 D．16
12．（2021高三上·福州期中）下列命题中正确的是（　　）
A．若 ， ，若 与 所成的夹角为锐角，则实数 的取值范围是 ；
B．若非零向量 满足 则 与 的夹角是 .
C．已知 ，且 ，则 ；
D．若点G为 内一点，满足 ，则点G是 的重心
三、填空题
13．（2021高二下·南昌期末）已知向量 ．若 ，则 　 　．
14．（2021高三上·台州期末）在复平面内，复数，，（为虚数单位）对应的点分别为、、，则　 　；　 　．
15．（2022·江西模拟）已知非零向量，满足，，向量在向量方向上的投影为2，则　 　.
16．（2022·徐汇模拟）已知菱形的边长为，点为该菱形边上任意一点，则的取值范围是　 　．
四、解答题
17．（2022·大连模拟）在中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，若.
（1）求a ；
（2）求的面积.
18．（2021·长春模拟）已知椭圆 的离心率为 ，左、右焦点分别为 ， 为坐标原点，点 在椭圆 上，且满足 ， .
（1）求椭圆 的方程；
（2）已知过点 且不与 轴重合的直线 与椭圆 交于 两点，在 轴上是否存在定点 ，使得 . 若存在，求出点 的坐标；若不存在，说明理由.
19．（2021高二上·浙江开学考）在 中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，S为 的面积．请在① ；② ；③ 三个条件中选择一个，完成下列问题：
（1）求出角A的大小；
（2）若 ，求 的取值范围．（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．）
20．（2021高一下·延庆期末）在 中，三内角 所对的边分别为 ， ， .
（Ⅰ）若 ，求 边上的高；
（Ⅱ）若 ，求 的面积；
（Ⅲ）求 周长的最大值.
21．（2021高一下·宁波期中）已知.
（1）求与的夹角θ；
（2）求；
（3）若，求△ABC的面积．
22．（2021高一下·池州月考）在中，内角，的对边分别为，，，.
（1）求；
（2）若，，点满足，求线段的长度.
答案解析部分
1．【答案】C
【考点】数量积的坐标表达式；空间中的点的坐标
【解析】【解答】因为，所以，因此有.
故答案为：C
【分析】由空间向量的坐标公式以及数量积的坐标公式，计算出结果即可。
2．【答案】D
【考点】数量积表示两个向量的夹角
【解析】【解答】由向量的夹角公式可得，
两条直线的夹角的余弦值为 。
故答案为：D.
【分析】由向量的数量积求向量的夹角公式，可得两条直线的夹角的余弦值。
3．【答案】C
【考点】余弦定理
【解析】【解答】在 中，由余弦定理可得： ，
因为 ，
所以 ，即 .
两边同时除以 ，得 ，解得： ，
故 ，
故答案为：C.
【分析】利用余弦定理可得，再由求根公式得，从而可得答案。
4．【答案】C
【考点】正弦定理；余弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【解答】∵ ，
∴ ．
①当 时， 为直角三角形，且 ．
∵ ， ，
∴ ．
②当 时，则有 ，
由正弦定理得 ．
由余弦定理得 ，
即 ，
解得 ．
综上可得， 1或
故答案为：C．
【分析】首先由两角和的正弦公式整理化简得到，分情况讨论即可得出①当 时， 为直角三角形由三角形的几何计算计算出结果即可；②当 时，解正弦定理以及余弦定理整理即可得出求解出a的值即可。
5．【答案】C
【考点】平面向量数量积的含义与物理意义；数量积判断两个平面向量的垂直关系
【解析】【解答】由 。
故答案为：C
【分析】利用已知条件结合数量积为0两向量垂直的等价关系，再结合数量积的运算法则和三角形法则，从而利用数量积的定义，进而求出的值。
6．【答案】C
【考点】基本不等式在最值问题中的应用；数量积的坐标表达式
【解析】【解答】如图，以AC为x轴，AC中点为原点建立直角坐标系，则A(－1，0)，C(1，0)，
设P(x，y)，则 ， ，
∴，当且仅当P在原点时，取等号﹒
故答案为：C.
【分析】由已知条件建立直角坐标系，由此求出点以及向量的坐标然后由数量积的坐标公式，代入结合不等式的性质即可求出最小值。
7．【答案】B
【考点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】因为 是单位向量，所以 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，
所以 ，
故答案为：B.
【分析】因为 是单位向量，所以 ，再利用已知条件 ，结合数量积求向量的模的公式，从而求出向量的模，再利用数量积求向量夹角公式求出的值，再利用同角三角函数基本关系式，从而求出的值。
8．【答案】A
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；平行向量与共线向量；平面向量数量积的性质及其运算律
【解析】【解答】解：当，又，所以cosθ=1，则θ=0°，故共线且同向，所以充分性成立；
当共线但反向时，，所以必要性不成立，所以A正确.
故答案为：A
【分析】根据充要条件的定义，结合向量的数量积及共线向量的定义求解即可
9．【答案】A,D
【考点】平行向量与共线向量；平面向量数量积的运算
【解析】【解答】解：因为向量 ，为非零向量，且 ，所以 ，A符合题意；
因为 ， ，根据 ，得 ，B不符合题意；
因为 是以 为方向的向量， 是以 为方向的向量，而向量 的方向不确定，C不符合题意；
根据向量数量积的分配律知 ，D符合题意.
故答案为：AD.
【分析】 直接利用向量的共线，向量的数量积，三角不等式的应用，判断A、B、C、D的结论.
10．【答案】A,D
【考点】向量数乘的运算及其几何意义；平面向量数量积的运算
【解析】【解答】A选项： ，满足向量的运算法则，所以A符合题意；
B选项：当 时， ，但是 ， 不一定相等，所以B不正确；
C选项： 表示与 共线的向量， 表示与 共线的向量，
所以两个向量不一定相等，所以C不正确；
D选项： ，满足向量的数量积的运算法则，所以D符合题意.
故答案为：AD
【分析】利用数乘向量的运算法则结合数量积的运算法则，从而选出运算正确的选项。
11．【答案】A,C,D
【考点】平面向量的坐标运算；数量积的坐标表达式
【解析】【解答】如图，以为轴，的中垂线为轴建立如图所示的直角坐标系，显然在轴上，
由，得，
设，则，
，
因为为内部及边上的点，所以
时，取得最小值，
时，取得最大值24（内部及边上到点距离最大），
故答案为：ACD．
【分析】以为轴，的中垂线为轴建立如图所示的直角坐标系,求得B,C,A坐标，设，求出 坐标，可得，最后借助P点位置可求出范围，得到答案。
12．【答案】B,D
【考点】平面向量数量积的运算；数量积表示两个向量的夹角
【解析】【解答】若 与 所成的夹角为锐角，则 ，解得： 且 ，A不符合题意；
不妨设 ，则 ，
所以 ， ，故
所以 ，因为
所以 与 的夹角是 .B选项正确
，即 ，则 ，推导不出 ，C不符合题意
，取 边 中点M，则由向量的加法法则： ，故 ，所以A、G、M三点共线，取 中点N， 中点Q，同理可得：B、G、N三点共线，C、G、Q三点共线，所以点G是 三条中线的交点，点G是 的重心，D符合题意
故答案为：BD
【分析】根据题意由数量积的坐标公式结合夹角的取值范围，由此即可求出m的取值范围，从而判断出选项A错误；结合夹角的数量积运算公式整理化简，由此判断出选项B正确；由数量积的运算性质即可判断出选项C错误；由已知条件结合向量的运算法则即可得出A、G、M三点共线，然后由三角形的几何性质以及重心的定义，即可判断出选项D正确；由此即可得出答案。
13．【答案】
【考点】数量积的坐标表达式；数量积判断两个平面向量的垂直关系
【解析】【解答】 ,
，解得 。
故答案为： 。
【分析】利用已知条件结合向量的坐标运算，进而求出向量的坐标，再结合数量积为0两向量垂直的等价关系，再结合数量积的坐标运算，从而求出k的值。
14．【答案】3；
【考点】数量积表示两个向量的夹角；复数的代数表示法及其几何意义；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】由已知可得，
由复数的几何意义可得、、，则，，
所以，。
故答案为：3；。
【分析】由已知结合复数的乘法运算法则得出复数，由复数的几何意义可得三点O,A,B三点的坐标，再结合向量的坐标表示得出向量的坐标，再利用数量积求向量夹角公式得出的值。
15．【答案】
【考点】向量的模；向量的投影
【解析】【解答】，，，则.
故答案为： .
【分析】根据已知计算 ，，最后计算即可.
16．【答案】
【考点】平面向量数量积的运算；向量的投影
【解析】【解答】为与在上的投影的乘积，
所以当在处时，投影最小为0，
在C处时，投影最大为，
所以的取值范围为.
故答案为：
【分析】为与在上的投影的乘积，利用向量数量积的坐标运算即可求出 的取值范围 。
17．【答案】（1）由正弦定理，，
（2）由（1）知，
由余弦定理，
解得c=16或（舍去），则
的面积是
【考点】解三角形；正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】(1)根据题意由正弦定理代入数值，计算出a的取值。
(2)由(1)的结论，把数值代入到余弦定理计算出c的取值，并把数值代入到三角形的面积公式计算出结果即可。
18．【答案】（1）解：由 知 ，
在△ 中， ，
，
解得 ，
所以椭圆
（2）解：假设存在点 满足条件，设直线 方程为 ，
设 ，
消去 有 ，
，
.
因为 ，
所以 ，即 ，
解得 .
所以存在 ，使得
【考点】平面向量数量积的运算；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】(1)由数量积公式代入数值计算出，然后由三角形的几何计算性质以及椭圆的 a、b 、c 三者的关系，计算出a、b、c的值，由此得出椭圆的方程。
(2)根据题意由斜截式设出直线的方程再联立直线与椭圆的方程，消去x等到关于y的一元二次方程结合韦达定理即可得到关于t的两根之和与两根之积的代数式，再由斜率的坐标公式解已知条件整理得出，由此得出关于m的方程，求解出m的值即可。
19．【答案】（1）方案一：选条件①
∵ ，∴ ，即 ，
∴ ，即 ．
方案二：选条件②
∵ ，∴ ，
即 ，∴ ，
即 ，∴ ，即 ．
方案三：选条件③
∵ ，∴ ，
∴ ，∴ ，即 ．
（2）∵ ，
∴
∵ ，∴ ，∴ ．
【考点】正弦函数的图象；正弦函数的单调性；解三角形；正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】 (1)选择条件①：结合三角形的面积公式和有正弦定理，可得，从而求得A的大小；
选择条件②：利用正弦定理化边为角，再结合两角和的余弦公式和诱导公式，求得，，从而求得A的大小；
选择条件③：根据三角形的内角和定理与两角和的正弦公式，推出cosA的值，从而求得A的大小；
(2)由正弦定理，推出，结合三角恒等变换的相关公式与正弦函数的图象、性质，得解.
20．【答案】（Ⅰ） ，
设 边上的高为 ，
，
.
（Ⅱ） ，
，
，
，
，
，
，
.
（Ⅲ） ， ，
，
，
，
，
， ，
，当且仅当 时，等号成立.
，
，
，
当且仅当 时， ，
此时周长 的最大值等于 .
【考点】基本不等式；余弦定理
【解析】【分析】 （Ⅰ） 根据三角形的面积公式即可求出 边上的高；
（Ⅱ） 根据余弦定理可求出 ，根据三角形的面积公式即可求出 的面积；
（Ⅲ） 根据余弦定理及基本不等式可求出 周长的最大值.
21．【答案】（1）解：因为，
所以.
又所以，
所以，所以.
又，所以.
（2）解：
，
所以.
（3）解：因为的夹角，
所以，
又，
所以.
【考点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量数量积的运算；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合数量积的运算法则和数量积求向量的模的公式，得出角的余弦值，再结合两向量的夹角的取值范围，进而得出角的值。
（2）利用已知条件结合两角互补的关系得出 的值，再利用，=结合三角形的面积公式得出三角形△ABC的面积。
22．【答案】（1）解：因为，
由正弦定理得，即，
所以.
（2）解：因为，点满足，
所以，
两边平方得，
所以.
即，所以线段的长度为.
【考点】向量的模；向量的线性运算性质及几何意义；平面向量数量积的运算；正弦定理的应用；余弦定理的应用
【解析】【分析】（1）由正弦定理和题设条件，得到，结合余弦定理，即可求解；
（2）根据向量的线性运算，得到 ，结合向量的模和数量积的运算公式，求得， 即可得到线段AD的长度.
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