精讲精练·专项突破 第六章《平面向量及其应用》单元能力提升（含详细解析） (27)

精讲精练·专项突破
2021-2022学年高一下学期人教版（2019）
第六章 《平面向量及其应用》 单元能力提升（含详细解析）
一、单选题
1．（2021高三上·湖南期中）已知向量 ，则 在 方向上的投影是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【考点】平面向量的坐标运算；向量的投影
【解析】【解答】由题得 ，
在 方向上的投影是 .
故答案为：C
【分析】根据题意由投影公式，代入数值计算出结果即可。
2．（2021高二上·贵州月考）已知向量，，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【考点】平面向量的坐标运算
【解析】【解答】因为，，故.
故答案为：B
【分析】由向量的坐标公式，代入数值计算出结果即可。
3．（2021高二上·齐齐哈尔期末）如图所示，在平行六面体中，，，则（　　）
A．2 B． C． D．1
【答案】A
【考点】平面向量数量积的含义与物理意义；平面向量数量积的运算
【解析】【解答】由题意，，两边平方可得
，所以。
故答案为：A.
【分析】利用已知条件结合平面向量基本定理，得出，再利用数量积求向量的模的公式和数量积的运算法则，再利用数量积的定义，从而求出向量的模。
4．（2022·贵州模拟）已知，，则（　　）
A．2 B．4 C． D．
【答案】B
【考点】向量的模；平面向量数量积的运算
【解析】【解答】∵，
∴，则 .
∴，故 .
故答案为：B.
【分析】由 平方即可求，在通过计算即可求解。
5．（2021高一下·芜湖期中）已知在中，，，动点位于线段上，当取得最小值时，向量与的夹角的余弦值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【考点】二次函数在闭区间上的最值；平面向量数量积的运算；余弦定理
【解析】【解答】因为在中，，，所以，所以
，当且仅当 时取等号，因此在 中，
所以向量 与 的夹角的余弦值为 。
故答案为：C.
【分析】利用已知条件结合数量积的运算法则和数量积的定义，再结合二次函数的图像求最值的方法得出 的最小值，再利用余弦定理得出的值，再结合数量积求向量夹角公式得出向量与的夹角的余弦值。
6．（2021高三上·安徽月考）已知 ， ， ，则 的最大值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【考点】向量的模；平面向量数量积的运算
【解析】【解答】由题可知， ， 为单位圆 上的两个动点，
且满足 ，故 为等边三角形，
则 ，
所以， ，则 .
由 ， ，
得 ，
又 ，则 ，因此当 与 同向时，等号成立，
此时 的最大值为 .
故答案为：B.
【分析】首先由已知条件即可得出三角形的形状，结合数量积的运算公式代入数值计算出的值，然后由数量积的运算性质以及向量模的定义即可得到，由已知条件即可得到，从而得到当 与 同向时，等号成立由此取得最大值。
7．（2021高一下·宿州期中）下列说法中错误的个数是（　　）
（1）已知 ，，则与不能作为平面内所有向量的一组基底（2）若与共线，则在方向上的投影数量为（3）若两非零向量，满足，则与的夹角是（4）已知，且与夹角为锐角，则
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【考点】平面向量的基本定理及其意义；平面向量共线（平行）的坐标表示；数量积表示两个向量的夹角；向量的投影
【解析】【解答】对（1），因为，即两个向量平行，故正确；
对（2），根据投影的定义，若 与 同向，则 在 方向上的投影数量为 ，反向为 ，故错误；
对（3），设 ，则 ，
所以 ，设 与 的夹角为 ，则 ，即 ，错误；
对（4），由题意， ，因为 与 夹角为锐角，
所以 且 与 不平行，所以 且 ，错误.
故答案为：C.
【分析】利用已知条件结合平面向量基本定理、向量共线定理、投影向量求解方法、数量积求向量夹角公式和数量积的坐标表示，再结合数量积求向量的模的公式，从而找出说法错误的个数。
8．（2021·南昌模拟）已知 ， ， 是球 的球面上的三点， ， ， ，且球 表面积为 ，则点 到平面 的距离为（　　）
A．2 B． C． D．
【答案】B
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；球的体积和表面积；点、线、面间的距离计算；正弦定理
【解析】【解答】因为 ， ， ，结合正弦定理得 ， ，
因为 是球 的球面上的三点，则截面圆的圆心是 的中点 ，半径为 ，
因为球 表面积为 ，所以球半径 ，由于 平面 ，
所以 ，设点 到平面 的距离为 ，
则 ，则 ，
即 ，
解得 ，故点 到平面 的距离为 。
故答案为：B.
【分析】因为 ， ， ，结合正弦定理得 ， ，因为 是球 的球面上的三点，则截面圆的圆心是 的中点 ，半径为 ，因为球 表面积为 ，再利用球的表面积公式求出球的半径，由于 平面 ，所以 ，设点 到平面 的距离为 ，再利用等体积法结合三棱锥的体积公式，从而求出点 到平面 的距离。
二、多选题
9．（2021高一下·昆山月考）在水流速度为10 的自西向东的河中，如果要使船以 的速度与河的南岸垂直到达北岸，则船出发时行驶速度的大小与方向为（　　）
A．北偏西30° B．北偏西60° C．20 D．30
【答案】A,C
【考点】解三角形的实际应用；三角形中的几何计算
【解析】【解答】如图所示，设 ， ，
所以 ，而 ，所以 ，即船出发时行驶速度的大小为20 ，方向为北偏西30°．
故答案为：AC．
【分析】根据题意由三角形的几何计算关系解已知条件即可得出答案。
10．（2022·福建模拟）已知向量，，则（　　）
A．若与垂直，则
B．若，则的值为-2
C．若，则
D．若，则与的夹角为45°
【答案】A,B,D
【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
【解析】【解答】解：因为，，对于A：若与垂直，则，解得，A符合题意；
对于B：若 ，则 ，解得 ，B符合题意；
对于C：若 ，则 ，解得 ，C不符合题意；
对于D：若 ，则 ，设 与 的夹角为 ，则 ，因为 ，所以 ，D符合题意；
故答案为：ABD
【分析】根据向量共线与垂直的坐标表示得到方程，计算即可判断A、B，再根据向量模及夹角的坐标表示计算判断C、D；
11．（2021高一下·联合期中）已知是三个平面向量，则下列叙述错误的是（　　）
A．若，则
B．若，且，则
C．若∥，∥，则∥
D．若，则
【答案】A,B,C
【考点】平行向量与共线向量；相等向量与相反向量；平面向量数量积的含义与物理意义
【解析】【解答】对A，不一定共线，故A错误；
对B，平面向量的数量积没有消去律，故B错误；
对C，若，则的方向是任意的，故C错误；
对D，，故D正确.
故答案为：ABC.
【分析】利用相等向量，相反向量的概念可判断A,利用向量数量积的定义即可判断B，由特殊向量，即可判断C,由 ，可得，即可判断D.
12．（2022·海南模拟）在菱形ABCD中，E是AB边的中点，F是AD边的中点，则（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A,C
【考点】平行向量与共线向量；数量积判断两个平面向量的垂直关系
【解析】【解答】在菱形中，即，所以，
又，所以与不共线，A符合题意，B不符合题意；
因为E、F分别是AB、AD的中点，所以，
又，所以，所以，C符合题意，D不符合题意.
故答案为：AC
【分析】根据题意和菱形的性质可得，，，依次判断各个选项，可得答案。
三、填空题
13．（2021高二上·诸暨期末）已知空间向量，，若，则　 　.
【答案】2
【考点】数量积的坐标表达式；数量积判断两个平面向量的垂直关系
【解析】【解答】空间向量，，
由，可知，即，解之得。
故答案为：2。
【分析】利用已知条件结合两向量垂直数量积为0的等价关系，再结合数量积的坐标表示，进而求出x的值。
14．（2021高一下·南安期中）在 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若 ，且 ，则 的值为　 　.
【答案】
【考点】正弦定理；余弦定理
【解析】【解答】∵ ，∴ ，
∴ ，由 可得 ，又 ，∴ ，
∴ .故答案为： .
【分析】先由余弦定理求出角，再由正弦定理求解。
15．（2021高二上·子洲开学考）已知 三点共线 (O在该直线外)，数列 是等差数列， 是数列 的前 项和．若 ，则 　 　．
【答案】1006
【考点】等差数列的前n项和；向量的共线定理
【解析】【解答】因为 三点共线 (O在该直线外)，所以 ，
所以 ，所以 ，所以 ，
所以 ，所以 ，
故答案为：1006.
【分析】 由三点共线的向量表示可得a1+a2012=1,再由等差数列的求和公式计算可得所求和.
16．（2021高二上·重庆市月考）在正四面体中，，若，则　 　．
【答案】6
【考点】平面向量的基本定理及其意义；平面向量数量积的含义与物理意义
【解析】【解答】。
故答案为：6。
【分析】利用已知条件结合平面向量基本定理和数量积的定义，从而利用数量积的运算法则，进而求出的值。
四、解答题
17．（2021·包头模拟） 的内角 的对边分别为 ．已知 ．
（1）求 ；
（2）若 ，当 的周长最大时，求它的面积．
【答案】（1）解：由正弦定理得： ， ，
，
（2）解：由余弦定理得： ，
（当且仅当 时取等号）， ，
当 时， 周长取得最大值，此时
【考点】基本不等式在最值问题中的应用；正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】(1)根据题意由正弦定理得到再由正弦定理计算出cosB的值，结合角的取值范围即可求出角B的大小。
(2)根据题意由余弦定理结合基本不等式即可求出最大值，由此求出取得最大值时a与c的值，结合三角形的面积公式计算出结果即可。
18．（2021高一下·德州期末）在 中，角 所对的边分别为 ，且 ．
（1）求角 ；
（2）若向量 ，求 的取值范围．
【答案】（1）解：在 中，
由正弦定理： ，
，
，因为 ，故 ，
从而 ，又 ，所以 ．
（2）
因为 ， ，
所以
所以
所以 ．
【考点】平面向量的坐标运算；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；三角函数的恒等变换及化简求值；两角和与差的正弦公式；三角函数的最值；正弦定理
【解析】【分析】（1） 在 中，由 结合正弦定理和两角和的正弦公式和三角形内角和为180度的性质，再利用诱导公式结合三角形中角C的取值范围，从而推出，进而求出角A的余弦值，再利用三角形中角A的取值范围，从而求出角A的值。
（2）利用结合向量的坐标运算，从而求出向量的坐标，再利用数量积求向量的模的公式结合二倍角的余弦公式进而三角形内角和为180度的性质，再结合两角差的余弦公式和辅助角公式，从而推出，由 ，再利用正弦型函数的图像，从而求出正弦型函数的值域，进而求出 的取值范围。
19．（2021高二下·泗县期末）已知 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ， .
（1）求角A；
（2）若 ， ，求 的面积.
【答案】（1）由 应用正弦定理，得
，
由余弦定理，可得 ，代入上式，得
．
∵ ，∴ ，
又 ，所以， ．
（2） ， ，由余弦定理，得
，
即 ，则 ．
于是 ．
【考点】正弦定理的应用；余弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）根据正弦定理、余弦定理求解即可；
（2）根据余弦定理，结合三角形的面积公式直接求解即可.
20．（2021高一下·台州期中）已知函数，点，点，和函数图象上的点．过B作直线的垂线，垂足为Q．
（Ⅰ）若，求（最后结果用a表示）；
（Ⅱ）若恒成立，求a的取值范围．
【答案】解：（Ⅰ）若，则，
，
所以，
（Ⅱ）点在上，记，
，
记，
由题意可知恒成立，
令，则，解得，
下面证明当时，恒成立，即，
是开口向上的二次函数，
①
，
②
，
令，则，
所以当时，恒成立，
故a的取值范围为.
【考点】一元二次不等式；一元二次不等式与二次函数；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
【解析】【分析】（1）确定P点坐标，由向量数量积的坐标运算即可求出结果；
（2）由条件先转换 再由向量数量积的坐标表示得到：，然后构造 ， 由题意 可知恒成立 进而求的最大值，即可求出a的范围。
21．（2021高二上·黑龙江期中）已知向量 ， ， ．
（1）当 时，若向量 与 垂直，求实数 和 的值；
（2）若向量 与向量 ， 共面，求实数 的值．
【答案】（1）因为 ，所以 ，解得： ，所以
且 ，
因为向量 与 垂直，
所以 ．可得 ，
即 ，解得：
所以实数 和 的值分别为0和 ．
（2）因为向量 与向量 ， 共面，所以设 ，
所以 ，
所以 ，所以 ，所以实数 的值为 ．
【考点】数量积的坐标表达式；数量积判断两个平面向量的垂直关系；共线向量与共面向量
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合向量的模的坐标表示，从而求出x的值，再利用向量的坐标运算结合数量积为0两向量垂直的等价关系，再结合数量积的坐标表示，从而求出实数x和实数k的值。
（2）利用向量共面的判断方法，从而由向量 与向量 ， 共面，设出 ，再利用向量的坐标运算，从而结合向量相等的判断方法，进而解方程组求出实数的值。
22．（2021高一下·湖州期末）如图，在直角梯形OABC中， ， ， . 为 上靠近 的三等分点，OF交AC于D，E为线段BC上的一个动点（包含端点）.
（1）若 ，求实数 的值；
（2）设 ，求 的取值范围.
【答案】（1）由题意得 ，
则
故 ，由共起点的三向量终点共线的充要条件知，
，则 ；
（2）由已知 ，
因P是线段BC上动点，则令 ，
，
又 ， 不共线，则有 ，
，
在 上递增，
所以 ， ， ，
故 的取值范围是 .
【考点】二次函数的性质；二次函数在闭区间上的最值；向量的共线定理；平面向量的基本定理及其意义
【解析】【分析】（1） 由题意得 ，再利用平面向量基本定理结合已知条件 ，得出 ，由同起点的三向量终点共线的充要条件求出t的值。
（2） 由已知条件结合三角形法则和中点的性质，从而得出 ，利用P是线段BC上动点，则令 ，再结合平面向量基本定理得出 ，再利用 ， 不共线，从而得出 ，再利用x的取值范围求出的取值范围，再利用求积的方法结合二次函数的单调性，从而求出二次函数的最值，进而求出 的取值范围。
1 / 1