精讲精练·专项突破 第六章《平面向量及其应用》单元能力提升（含详细解析） (28)

精讲精练·专项突破
2021-2022学年高一下学期人教版（2019）
第六章 《平面向量及其应用》 单元能力提升（含详细解析）
一、单选题
1．（2021·上饶模拟）点 是边长为2的正 的边 上一点，且 ，则 （　　）
A．2 B．4 C．6 D．8
2．（2021高一下·普宁期末）如图所示，正六边形 中， （　　）
A． B． C． D．
3．（2021高二上·榆林期末）如图，在平行六面体 中， 为 与 的交点.若 ， ， ，则下列向量中与 相等的向量是（　　）
A． B．
C． D．
4．（2021高三上·江西月考）如图，直角三角形的三个顶点分别在等边三角形的边、、上，且，则长度的最大值为（　　）
A． B．6 C． D．
5．（2021高二上·金华期末）在四棱锥 中， 分别为 的中点，则（　　）
A．
B．
C．
D．
6．（2022·淮北模拟）已知是椭圆的右焦点，点在上，直线与轴交于点，点为上的动点，则的最小值为（　　）
A． B． C． D．
7．（2021高二上·山东月考）如图，四棱锥 ，底面 是平行四边形， 为 的三等分点 ，若 ， ， ，则用基底 表示向量 为（　　）
A． B．
C． D．
8．（2021高一下·普宁期末）在 中，有正弦定理： 定值，这个定值就是 的外接圆的直径.如图2所示， 中，已知 ，点M在直线EF上从左到右运动 点M不与E、F重合 ，对于M的每一个位置，记 的外接圆面积与 的外接圆面积的比值为 ，那么 　　
A． 先变小再变大
B．仅当M为线段EF的中点时， 取得最大值
C． 先变大再变小
D． 是一个定值
二、多选题
9．（2021高三上·湖北月考）已知向量，，，若，则（　　）
A． B．
C． D．
10．（2021高一下·盐城期末）下列说法中正确的为（　　）
A．若 ， ，则
B．向量 ， 能作为平面内所有向量的一组基底
C．已知 ， ，且 与 的夹角为锐角，则实数 的取值范围是
D．非零向量 和 满足 ，则 与 的夹角为30°
11．（2021高一下·慈溪期中）在中，下列命题正确的是（　　）
A．若，则
B．若，则定为等腰三角形
C．若，则定为直角三角形
D．若三角形的三边的比是，则此三角形的最大角为钝角
12．（2021·厦门模拟）已知向量 ， ，下列说法正确的有（　　）
A．若 ，则
B．若 ，则 与 夹角的正弦值为
C．若 ，则
D．若 ，则 或16
三、填空题
13．（2021·北京） ， ， ，则 　 　； 　 　．
14．（2021高一下·赣州月考）已知边长为4的正方形 中， 与 交于点 ，且 、 分别是线段 和线段 的中点，则 　 　．
15．（2021·蚌埠模拟）有四个半径为1的小球，球 、球 、球 放置在水平桌面上，第四个小球 放在这三个小球的上方，且四个小球两两外切．在四个小球之间有一个小球O，与这四个小球均外切．则球心O到水平桌面的距离为　 　．
16．（2021·兰州模拟）在 中， ， ，则 的值为　 　．
四、解答题
17．（2021高二上·沈阳月考）已知 .
（1）求
（2）在 轴上求一点 使 ；
18．（2021高三上·汉中月考）已知椭圆的离心率为，左 右焦点分别为，O为坐标原点，点P在椭圆C上，且满足．
（1）求椭圆C的方程；
（2）已知过点且不与坐标轴垂直的直线l与椭圆C交于M，N两点，在x轴上是否存在定点Q，使得，若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由．
19．（2021高一下·开封期末）某学校的平面示意图为如下图五边形区域 ，其中三角形区域 为生活区，四边形区域 为教学区， 为学校的主要道路（不考虑宽度）. ， .
（1）求道路 的长度；
（2）求生活区 面积的最大值.
20．（2021高一下·电白期中）在△ABC中，a＝3，b＝2，B＝2A．
（1）求cos A的值；
（2）求c的值．
21．（2021·青海模拟）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知3asin Bcos A+ 2bsin A=0．
（1）求cos A；
（2）若a= ，b2+c2=13，求△ABC的面积．
22．（2022高三下·浙江竞赛）如图所示， 是圆锥的一部分，O是底面圆的圆心， ，P是弧BC上一动点（不与B，C重合），满足 .M是AB的中点， .
（1）若 平面 ，求 的值；
（2）若四棱锥 的体积大于 ，求三棱锥 体积的取值范围.
答案解析部分
1．【答案】C
【考点】平面向量数量积的运算
【解析】【解答】 ，
∴
，
故答案为：C.
【分析】根据题意由向量以及数量积的运算性质整理即可得出答案。
2．【答案】C
【考点】向量的三角形法则
【解析】【解答】正六边形 中，
， ；
。
故答案为：C．
【分析】利用已知条件结合正六边形的结构特征，再结合向量相等的判断方法和三角形法则，从而化简向量，从而选出正确的选项。
3．【答案】B
【考点】向量加减混合运算及其几何意义
【解析】【解答】依题意可知 是平行四边形 对角线的交点，所以
.
故答案为：B
【分析】根据题意由四边形的性质以及向量加减法的运算性质整理即可得到结论。
4．【答案】C
【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦定理
【解析】【解答】设，则，，，
中，由正弦定理，得，
，同理，
＝，其中，，且为锐角，
所以当时，．
故答案为：C．
【分析】设，则，，， 利用正弦定理可得，，即可得，利用辅助角公式求解可得答案.
5．【答案】A
【考点】平面向量的基本定理及其意义
【解析】【解答】因为 分别为 的中点，则 , ,
。
故答案为：A.
【分析】利用已知条件结合中点的性质和平面向量基本定理，进而得出 。
6．【答案】C
【考点】平面向量数量积的运算；曲线与方程
【解析】【解答】由题可得，
∴，即椭圆，
∴，直线方程为，
∴，又，
设，则，，
∴
，又，
∴当时，有最小值为.
故答案为：C.
【分析】由题意可得椭圆，进而可得，利用向量数量积的坐标表示可得，再结合已知条件及二次函数的性质即可求出答案。
7．【答案】B
【考点】向量的共线定理；平面向量的基本定理及其意义
【解析】【解答】因为 ，所以
。
故答案为：B.
【分析】利用 结合三角形法则和向量共线定理，从而结合平面向量基本定理，进而用基底 表示向量 。
8．【答案】D
【考点】正弦定理
【解析】【解答】设 的外接圆半径为 ， 的外接圆半径为 ，
则由题意， ，
点M在直线EF上从左到右运动 点M不与E、F重合 ，
对于M的每一个位置，由正弦定理可得： ， ，
又 ， ，
可得： ，
可得： 。
故答案为：D．
【分析】设 的外接圆半径为 ， 的外接圆半径为 ，则由题意得出 ，利用点M在直线EF上从左到右运动 点M不与E、F重合 ，对于M的每一个位置，由正弦定理可得 ， ，再利用 ， ，可得三角形 的外接圆半径和三角形 的外接圆半径的关系，进而求出为定值，从而选出正确的选项。
9．【答案】B,C,D
【考点】平面向量的坐标运算；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；数量积的坐标表达式
【解析】【解答】因为向量，，，
所以，可得，A不符合题意；
所以，，
所以，，，
BCD符合题意；
故答案为：BCD.
【分析】由已知条件结合向量的坐标公式即可得出m的取值，由此判断出选项A错误；结合向量的坐标公式以及向量模的定义代入数值计算出结果，由此判断出选项B、C正确；然后由数量积的坐标公式代入数值计算出结果，从而判断出选项D正确，从而即可得出答案。
10．【答案】B,D
【考点】平行向量与共线向量；数量积表示两个向量的夹角
【解析】【解答】解：对于 ：若 ， ， ，则 ，故 错误；
对于 ：向量 ， ，所以 不共线，
所以可以作为平面内的所有向量的一组基底，故 正确；
对于 ：已知 ， ，则 ，
所以： ，且 和 不共线．
即 ，且
解得 且 ，故 错误；
对于 ：非零向量 和 满足 ，
则以 为边长的三角形为等边三角形，
所以 与 的夹角为 ，故 正确．
故答案为：BD．
【分析】 直接利用向量的共线，向量的基底的定义，向量的夹角公式，向量的数量积的应用判断A、B、C、D的结论.
11．【答案】A,C,D
【考点】正弦函数的单调性；余弦定理；三角形的形状判断
【解析】【解答】在中，若，则，因此，A正确；
若 ，则 或 ，
即 或 ，
所以 为等腰三角形或直角三角形，B错误；
若 ，
则 ，
所以 ，即 ， ，
所以 定为直角三角形，C正确；
三角形的三边的比是 ，设最大边所对的角为 ，
则 ，因为 ，
所以 ，D正确.
故选:ACD.
【分析】利用已知条件结合正弦函数的图像的单调性，进而比较出 的大小；再利用已知条件得出角A,B的关系式，从而判断出三角形的形状；再利用已知条件结合正弦定理和三角形内角和为180度的性质以及诱导公式，进而得出角A的值，从而判断出三角形的形状；再利用已知条件结合余弦定理和三角形中角的取值范围，进而得出此三角形的最大角的值，从而找出正确命题的选项。
12．【答案】B,D
【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
【解析】【解答】对A，因为 ．所以 ．解得 ，A不符合题意；
对B，若 ，则 ， ， ，则 ，B符合题意；
对C，因为 ．所以 ，解得 ，C不符合题意；
对D，因为 ，所以 ，解得 或16，D符合题意．
故答案为：BD.
【分析】根据题意，逐项进行判断，可得答案。
13．【答案】0；3
【考点】平面向量的坐标运算；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
【解析】【解答】解：由题意得，则，
故答案为：0，3
【分析】根据向量的坐标运算，及向量的数量积运算求解即可.
14．【答案】-16
【考点】平面向量的坐标运算；平面向量数量积的运算
【解析】【解答】以A为坐标原点，AB所在直线为x轴建系，
则
【分析】根据题意建立直角坐标系求出各个点以及向量的坐标，再由数量积的坐标公式代入数值计算出结果即可。
15．【答案】
【考点】点、线、面间的距离计算；正弦定理
【解析】【解答】将四个球的球心两两连线，可得出棱长为2的正四面体 ，正四面体 的外接球球心即为球心O，如下图所示：
设点 在底面 的射影为点M，则球心O在线段 上，
设正四面体 的外接球半径为 ，
由正弦定理可知，正 的外接圆半径为 ，
，
由题意可得 ，即 ，解得 ，
，
因此，球心 到水平桌面的距离为 .
故答案为： .
【分析】将四个球的球心两两连线，可得出棱长为2的正四面体 ，计算出正四面体 的外接球半径，可计算出球心O到平面 的距离，进而可求得球心 到水平桌面的距离。
16．【答案】
【考点】正弦定理；余弦定理
【解析】【解答】在 中， ，
可得
即
由余弦定理可知 ，可得 ，
由正弦定理可知 ，
因为 ，
所以 .
故答案为： .
【分析】 先根据数量积得到，再结合余弦定理以及正弦定理即可求解结论．
17．【答案】（1）解：因为
则有
（2）解：设 ，则由 ，
得 ，
即 ，
解得
所以 点的坐标为 .
【考点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；空间两点间的距离公式
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合向量的坐标表示求出向量的坐标，再结合向量的坐标运算求出向量 的坐标，再利用向量的模的坐标表示求出向量的模。
（2) 在 轴上求一点 设 ，再利用已知条件结合空间两点距离公式，从而求出a的值，进而求出点P的坐标。
18．【答案】（1）解：在中，，
所以，由余弦定理，解得.
所以，椭圆方程为.
（2）解：假设存在点满足条件，设直线的方程为，
设联立
，
又因为，所以即：
即：，
将代入化简得，
即，
计算得，所以存在点使得.
【考点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题；余弦定理
【解析】【分析】（1）由题意利用余弦定理即可求出a,b的值，进而求出椭圆C的方程；
（2）假设存在点满足条件，设直线的方程为， 联立直线和椭圆方程，再利用韦达定理化简 ，求解可得Q点的坐标，进而得出结论。
19．【答案】（1）如图，连接 ，
在 中， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
又 ，∴ ，
∴在 中， ，
故道路 的长度为 .
（2）设 ，∵ ，
∴ ，
在 中，易得
∴ ， ，
∴
∵ ,
∴
∴当 ，即 时， 取得最大值，最大值为
【考点】正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】 (1)连接BD， 在 中 ，由余弦定理得:BD， 在 中 ，求解BE即可；
(2)设∠ABE=a,在△ABE中，由正弦定理，求解AB, AE,表示S△ABE，然后求解最大值.
20．【答案】（1）解：因为a＝3，b＝2，∠B＝2∠A，
所以在△ABC中，由正弦定理得＝.
所以＝.故cos A＝.
（2）解：由(1)知cos A＝，所以sin A＝＝.
又因为∠B＝2∠A，所以cos B＝2cos2A－1＝.
所以sin B＝＝.
在△ABC中，sin C＝sin(A＋B)＝sin Acos B＋
cos Asin B＝.
所以c＝＝5.
【考点】两角和与差的正弦公式；二倍角的正弦公式；正弦定理
【解析】【分析】（1）由正弦定理可得＝. 代入数据，由二倍角公式即可求出cosA.
(2)由（1）可确定A,B,进而求出sinC,再结合正弦定理即可求出c.
21．【答案】（1）解： ∵3asin Bcos A+ 2bsin A=0，
∴ 3abcos A+ 2ab=0，
则cos A=-
（2）∵a2=b2+c2- 2bccos A，
又a= ，b2+c2=13，∴21=13+ bc
∴bc= 6
由(1)可知sin A=
从而△ABC的面积S= bcsin A= -
【考点】正弦定理；余弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合正弦定理，从而求出角A的余弦值。
（2）利用已知条件结合余弦定理得出bc的值，再利用三角形的面积公式求出三角形△ABC的面积。
22．【答案】（1）解：取OB的中点N，则MN是 的一条中位线，所以 .
又因为 平面 ，平面 ,所以 平面 .
由题设，当 平面 时，由于 ，故平面 平面 .
因为NP 平面MNP,所以 平面 ，
因为NP 平面OBPC,平面OBPC∩平面AOC=OC,
所以NP//OC
所以∠ONP=π-∠BOC=，∠OPN=∠COP=θ,
在△OPN中，由正弦定理可得，
从而 .
（2）解：四棱锥 的体积 ，其中S表示四边形OCPB的面积，则 .
由题设条件有 ，解得 .
设三棱锥 的体积为 ，由于M是AB的中点，所以三棱锥 的体积
【考点】余弦函数的定义域和值域；棱柱、棱锥、棱台的体积；正弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）取OB的中点N，连接MN，证明出NP//OC，可得出∠ONP=，∠OPN=θ, ，然后在△OPN中利用正弦定理可求得sinθ的值；
（2）计算得出四边形 OCPB 的面积 ，结合 ,可求得θ的取值范围，设三棱锥A-MPC的体积为V2，三棱锥A-BPC的体积为V3，计算得出 ，结合余弦函数的基本性质可求得结果.
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