精讲精练·专项突破 第六章《平面向量及其应用》单元能力提升（含详细解析） (32)

精讲精练·专项突破
2021-2022学年高一下学期人教版（2019）
第六章 《平面向量及其应用》 单元能力提升（含详细解析）
一、单选题
1．（2021高一下·盐城期末）已知向量 ， ， ， ，若 ，则实数 的值为（　　）
A．0 B．2 C．8 D．
2．（2021高二下·天津月考）在 中，若满足 ，则A等于（　　）
A．30° B．60° C．120° D．150°
3．（2022·益阳模拟）如图，已知等腰中，，，点是边上的动点，则（　　）
A．为定值10 B．为定值6
C．最大值为18 D．与P的位置有关
4．（2021高一下·雅安期末）在 中，若 ，且 ，则该三角形的形状是（　　）
A．直角三角形 B．钝角三角形
C．等边三角形 D．等腰直角三角形
5．（2021高三上·扬州月考）已知△ 的内角 所对的边分别为 若 ，且△ 内切圆面积为 ，则△ 面积的最小值为（　　）
A． B． C． D．
6．（2021·肥城模拟）已知向量 ， 的夹角为 ，且 ， ，则 （　　）
A． B．21 C． D．
7．（2021·安庆模拟）向量 ， ， ，若 ，则实数 等于（　　）
A．1 B． C． D．2
8．（2022高三上·清远期末）已知P是边长为4的正三角形所在平面内一点，且，则的最小值为（　　）
A．16 B．12 C．5 D．4
二、多选题
9．（2021高三上·扬州月考）不解三角形，则下列对三角形解的个数的判断中正确的是（　　）
A． ，有一解 B． ，有两解
C． ，有两解 D． ，无解
10．（2021高二上·潍坊）在正方体中，，，且满足，，则下列说法正确的是（　　）
A． B．
C．平面 D．为与的公垂线
11．（2021高二上·河北期中）已知 是直线 的一个方向向量， 是直线 的一个方向向量，则下列说法不正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．直线 ， 夹角的余弦值为
12．（2021高一下·锦州期末）在 中，内角 ， ， 的对边分别是 ， ， ，下列结论正确的是（　　）
A．若 ，则 为等腰三角形
B．若 为锐角三角形，且 ，则
C．若 ， ， ，则符合条件的 有两个
D．若 ，则
三、填空题
13．（2021·梧州模拟）已知向量 ， ，且 ，则 　 　.
14．（2021高二上·河池期末）在中，若，则　 　．
15．（2021·甘肃模拟）平面内单位向量 ， ， 满足 ，则 =　 　.
16．（2021高二下·黄山期末）在平面内，余弦定理给出了三角形的三条边与其中的一个角之间的关系．应用余弦定理，可以从已知的两边和夹角出发，计算三角形的第三边．我们把四面体与三角形作类比，并使四面体的面对应三角形的边，四面体各面的面积对应三角形各边的边长．而三角形两边的夹角，对应四面体两个面所成的二面角，这样可以得到“四面体的余弦定理”．现已知一个四面体 ， ， ，二面角 ，二面角 ，二面角 为直二面角，则三角形 的面积为　 　．
四、解答题
17．（2021高二上·浙江开学考）已知向量 ， 满足 ， ， ．
（1）求向量 与 的夹角 ；
（2）求 ．
18．（2021高一下·东城期末）已知点O（0，0），A（2，1），B（1，2）．
（1）若 ，求点P的坐标；
（2）已知 ．
①若点Q在直线AB：y＝－x＋3上，试写出 应满足的数量关系，并说明你的理由；
②若△QAB为等边三角形，求 的值．
19．（2021高二下·慈溪期末）在 中，内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，已知向量 、 满足： ， ，且 .
（Ⅰ）求角 ；
（Ⅱ）若 是锐角三角形，且 ，求 的取值范围.
20．（2021高二下·安徽期末）在三角形 中，已知a，b，c分别为角A，B，C的对边， .
（1）若 ， ， 平分角A交 于D，求 的长；
（2）若b，c为函数 的两个不同的零点，求 边上的高.
21．（2021高二下·慈溪期末）如图，在三棱锥 中， 和 均为正三角形.
（Ⅰ）求证： ；
（Ⅱ）若 ，
（ⅰ）求证：平面 平面 ；
（ⅱ）求二面角 的平面角的余弦值.
22．（2021高三上·潍坊月考）如图，在中，点在边上，且.记，.
（1）求证：；
（2）若，，，求的长.
答案解析部分
1．【答案】B
【考点】平面向量的坐标运算；平面向量数量积的运算
【解析】【解答】因为 ， ， ，
所以 ， ；
因为 ，所以 ，解得 .
故答案为：B.
【分析】根据 ， ，由 ，能求出实数t的值。
2．【答案】D
【考点】正弦定理
【解析】【解答】由正弦定理得 ，
，
由于 ，所以 .
故答案为：D
【分析】首先由正弦定理代入数值即可得出cosA的值，再由角的取值范围即可求出角A的大小。
3．【答案】A
【考点】平面向量数量积的运算
【解析】【解答】设.
，
因为 ，
，
所以 .
故答案为：A
【分析】根据题意由已知条件结合向量的运算性质以及数量积的运算性质，代入数值计算出结果即可。
4．【答案】C
【考点】正弦定理；三角形的形状判断
【解析】【解答】在 中，
，
由正弦定理得 ，即
，
又因为 ，
；①
又 ，即 ，
整理得： ，即 ，又 ，
，②
由①②知，该三角形的形状是等边三角形。
故答案为：C．
【分析】利用已知条件结合正弦定理结合两角和与差的正弦公式，从而求出，再利用三角形中角B,C的取值范围，从而推出B=C，再利用已知条件结合余弦定理和三角形中角A的取值范围，从而求出角A的值，再结合等边三角形的定义，从而判断出该三角形的形状。
5．【答案】D
【考点】基本不等式；余弦定理
【解析】【解答】由题设， ，而 且 ，
∴ ， ，则 ，
∴ ，由题设△ 内切圆半径 ，又 ，
∴ ，而 ，即 ，
∴ ，可得 ，当且仅当 时等号成立.
∴ .
故答案为：D
【分析】 由 ，利用三角形内角和定理、诱导公式、倍角公式即可得出A，设△ABC内切圆的半径为r，由△ABC内切圆，面积为9π，可得r，利用三角形面积计算公式、基本不等式、余弦定理即可得出答案.
6．【答案】C
【考点】平面向量数量积的运算
【解析】【解答】因为 ，所以 ，
故答案为：C.
【分析】先利用两个向量的数量积的定义求出的值，从而求出 的值。
7．【答案】B
【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系
【解析】【解答】由已知可得 ，
，所以， ，解得 .
故答案为：B.
【分析】 根据题意，求出 的坐标，由向量垂直的判断方法可得，解可得m的值，即可得答案．
8．【答案】C
【考点】平面向量的基本定理及其意义；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量数量积的运算
【解析】【解答】如图，延长到D，使得，
因为，所以点P在直线上，
取线段的中点O，连接，
则，
显然当时，取得最小值，
因为，则，所以，
所以的最小值为。
故答案为：C.
【分析】延长到D，使得，再利用，所以点P在直线上，取线段的中点O，连接，再利用数量积的运算法则结合数量积求向量的模的公式，得出，显然当时，取得最小值，再利用，得出，进而求出的值，从而求出的最小值。
9．【答案】A,D
【考点】正弦定理
【解析】【解答】A：由正弦定理 ，又 ，故 只有一个解，正确；
B：由正弦定理 ，又 ，显然 只有一个解，错误；
C：由正弦定理 ，显然 无解，错误；
D：由正弦定理 ，显然 无解，正确；
故答案为：AD
【分析】由正弦定理，大边对大角，逐项进行判断可得答案。
10．【答案】A,B,D
【考点】向量的共线定理；空间中直线与直线之间的位置关系；直线与平面平行的判定
【解析】【解答】设正方体的棱长为1，分别以为轴，建立空间直角坐标系，
则,,, ，
由，则，
由，则，
所以, ,
则,所以，A符合题意.
又，则，所以，
又不在同一直线上，所以，故答案为：项B符合题意.
平面的一个法向量为，而，
所以与平面不平行，故答案为：项C不正确.
由，有,
所以，又，且与均相交,
所以为与的公垂线，故答案为：项D符合题意.
故答案为：ABD
【分析】设正方体的棱长为1，分别以为轴，建立空间直角坐标系，从而求出点的坐标，由结合向量共线的坐标表示得出点M的坐标，再由结合向量共线的坐标表示得出点N的坐标，再结合向量的坐标表示求出和 的坐标，再利用数量积的坐标表示结合数量积为0两向量垂直的等价关系，从而证出；再利用
结合，从而利用向量共线定理，所以，再利用不在同一直线上，所以；再利用平面的法向量求解方法得出平面的一个法向量为，再利用数量积的坐标表示结合数量积为0两向量垂直的等价关系，由，所以与平面不平行；由结合数量积的坐标表示得出,再结合数量积为0两向量垂直的等价关系，所以，再利用，且与均相交,所以为与的公垂线，进而找出说法正确的选项。
11．【答案】A,B,C
【考点】数量积的坐标表达式；空间向量的数量积运算
【解析】【解答】因为向量 是直线 的一个方向向量， 是直线 的一个方向向量，
由 ，所以A不符合题意；
设 ，可得 ，此时 ，此时方程组无解，所以B不符合题意；
由 ，所以 与 不垂直，所以C不符合题意；
由 ，可得 ，所以D符合题意.
故答案为：ABC．
【分析】根据题意由空间数量积的坐标公式代入计算出结果，由此判断出选项A错误；由数乘向量的坐标公式即可判断出选项B错误；根据空间数量积的坐标公式计算出垂直关系，从而即可判断出选项C错误；由数量积的夹角公式代入数值计算出结果，由此判断出选项D正确；从而得出答案。
12．【答案】B,D
【考点】余弦函数的单调性；正弦定理；余弦定理；三角形的形状判断
【解析】【解答】对于A，根据正弦定理，可知 ，
即 或 ,所以 是等腰三角形或是直角三角形，A不正确；
对于B，若 为锐角三角形，有 ，
则 ，∴ ,B符合题意；
对于C， ，此时满足条件的 只有一个，C不符合题意；
对于D，根据正弦定理可知 ，则 ，所以 ，
则 ，即 ，D符合题意.
故答案为：BD．
【分析】由正弦定理整理得出结合三角形内角和的性质，即可得出三角形的形状，由此判断出选项A错误；由三角形的内角和的性质结合正弦函数的性质即可判断出选项B正确；由三角形的几何性质即可判断出选项C错误；由正弦定理结合同角三角函数的基本关系式即可判断出选项D，由此判断出选项D正确，从而得出答案。
13．【答案】
【考点】平面向量的坐标运算；平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】【解答】因为 ， ，所以 ，又 ，
所以 ，解得 .
故答案为：
【分析】结合向量坐标的运算法则以及向量共线的坐标公式代入数值计算出答案即可。
14．【答案】
【考点】正弦定理
【解析】【解答】由正弦定理可得，故，故，
故答案为：.
【分析】根据题意由正弦定理整理化简已知条件，由此求出sinB的值即可。
15．【答案】
【考点】单位向量
【解析】【解答】因为 为单位向量，
所以 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，
所以 ，得 .
故答案为：
【分析】 本题根据题意将已知条件进行转化可得 ，然后两边平方，并结合单位向量的定义进行计算即可得到 的值.
16．【答案】2
【考点】余弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【解答】三角形的余弦定理为 ，
猜想“四面体的余弦定理”为：
，其中 分别是 与 ， 与 ， 与 所成的二面角，
所以
。
故答案为：2。
【分析】利用三角形的余弦定理猜想出“四面体的余弦定理“，再利用“四面体的余弦定理“求出三角形ABC的面积。
17．【答案】（1）∵ ，∴
∵ ，∴ ，
（2）
【考点】向量的线性运算性质及几何意义；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
【解析】【分析】（1）根据向量的线性运算，结合向量的夹角公式求解即可；
（2）根据向量的求模公式求解即可.
18．【答案】（1） ，设 ，则 ，
∴ ，∴ .
（2）① .
理由如下：∵点Q在直线AB：y＝－x＋3上，设 ，∴ ，
∵ ，∴ ，
∴ ，得证.
②线段AB的中点为 ， ，∴线段AB的中垂线为： ，
∵△QAB为等边三角形，∴点Q在线段AB的中垂线上，由①， ，
∴ .
【考点】平面向量的基本定理及其意义；平面向量的坐标运算
【解析】【分析】(1)利用已知条件结合平面向量的坐标运算，从而求出点P的坐标。
（2） ① 应满足的数量关系为 ，理由如下：利用点Q在直线AB：y＝－x＋3上，设点 ，再利用向量的坐标表示求出向量的坐标，再结合平面向量基本定理结合向量的坐标表示，进而解方程组证出 应满足的数量关系为 。
②利用已知条件结合中点坐标公式求出线段AB的中点为 ，再利用两点求斜率公式，进而求出直线AB的斜率，再利用两直线垂直斜率相等求出线段AB的中垂线的斜率，再结合线段中垂线的求解方法，结合直线的点斜式方程求出线段AB的中垂线，再利用三角形△QAB为等边三角形，所以点Q在线段AB的中垂线上，由①求出a的值 ，再由① 再解方程组求出 的值 。
19．【答案】解：（Ⅰ）因为 ，所以 ， ，
由正弦定理得：
因为 ，所以 ， 或 .
（Ⅱ）因为 ，所以由正弦定理得 ，得：
,
所以
因为 是锐角三角形,
所以 ,且 ,
所以 ,
所以 .
注：对（Ⅱ）由余弦定理及基本不等式求得 或 给4分（本段共8分）
【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示；两角和与差的正弦公式；正弦函数的定义域和值域；正弦定理的应用
【解析】【分析】（1）根据向量平行的充要条件，结合正弦定理求解即可；
（2）根据正弦定理，结合三角恒等变换以及正弦函数的性质求解即可
20．【答案】（1）因为
在三角形 中，由正弦定理得， ，
因为 ， ，
所以 ；
（2）因为b，c为函数 的两个不同的零点，
所以 ， ，
在三角形 中，由余弦定理得，
，
设BC边上的高为h，
因为 ， ，所以 ，
所以 .
【考点】正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】（1）先求得 的值，然后在三角形中利用正弦定理求得结果；
（2）利用韦达定理求得 ， ，然后利用余弦定理求得a的值，根据等面积法求得结果。
21．【答案】解：（Ⅰ）取 中点 ，连接 ， ，
因为 与 是正三角形，
所以 ， ，且 ，
所以 平面 ，
又 在平面 内，
所以 即 ；
（Ⅱ）（ⅰ）设 ，因为 与 是正三角形，
则 ， ，
又 ，由余弦定理可得
所以在 中，有 ，
所以 为直角三角形，得 ，
显然 ，又 ，所以 平面 ，
因为 平面 ，所以平面 平面 ；
（ⅱ）由（ⅰ）可以 ， ， 分别为 轴， 轴， 轴建立空间直角坐标系，
则 ， ， ，
设平面 的一个法向量为 ，则
可取 ，
又平面 的一个法向量为 ，
所以二面角 的平面角 的余弦值为
【考点】直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质；平面与平面垂直的判定；用空间向量求平面间的夹角；二面角的平面角及求法；余弦定理的应用
【解析】【分析】（Ⅰ）根据直线与平面垂直的判定定理与性质定理求解即可；
（Ⅱ）(ⅰ)根据余弦定理，结合直线与平面垂直的判定定理以及平面与平面垂直的判定定理即可得证；
(ⅱ)利用向量法直接求解即可.
22．【答案】（1）证明：在中，由正弦定理得，
所以，
在中，由正弦定理得，
所以，
因为，所以，
则，
又因为，则，
所以，即.
（2）解：因为，，所以，
由（1）得，设，，，
在中，由余弦定理得，
即，解得：，所以.
【考点】正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】（1）分别在 和 中利用正弦定理可得 ， ， 根据 和 得出 ；
（2） 由（1）得 ， 设，，，在中，由余弦定理求得BC。
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