精讲精练·专项突破 第六章《平面向量及其应用》单元能力提升（含详细解析） (34)

精讲精练·专项突破
2021-2022学年高一下学期人教版（2019）
第六章 《平面向量及其应用》 单元能力提升（含详细解析）
一、单选题
1．（2021高一下·大通期末）在 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，有下列关系式：
① ；② ；③ ．
其中一定成立的个数为（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
2．（2021高一下·丹东期末）在 中， ， ，则 的最小值是（　　）
A． B． C． D．
3．（2021高三上·运城期中）若向量 ， ， 与 共线，则实数k的值为（　　）
A．-1 B． C．1 D．2
4．（2021高一下·和平期末）已知正方形 的边长为2， 是 的中点， 是线段 上的点，则 的最小值为（　　）
A． B． C．1 D．
5．（2021高三上·浙江期末）如图是一个机器人手臂的示意图.该手臂分为三段，分别可用向量代表.若用向量代表整条手臂，则（　　）
A． B．
C． D．
6．（2021高一下·吉安期末）设 的内角 ， ， 所对的边为 ， ， ，则下列命题不正确的是（　　）
A． ，则
B．若 ，则
C．若 ， ， 成等差数列，则
D．若 ，则
7．（2020高二上·泰安期末）如图所示，在空间四边形 中， ，点 在 上，且 ， 为 中点，则 （　　）
A． B．
C． D．
8．（2021高二下·河池期末）已知 ， 分别为双曲线 的两个焦点，双曲线上的点 到原点的距离为 ，且 ，则该双曲线的离心率为（　　）
A． B． C．2 D．3
二、多选题
9．（2021高三上·河北月考）设 ，非零向量 ， ，则（　　）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．存在 ，使 D．若 ，则
10．（2021高二上·湖南期末）如图，平面平面ABEF，四边形ABCD是正方形，四边形ABEF是矩形，若G是EF的中点，，，则（　　）
A．
B．平面ABCD
C．
D．三棱锥外接球的表面积是
11．（2021高一下·泰州期末）在平面直角坐标系 中， 的三个顶点O，A，B的坐标分别为 ， ， ，设 ， ， ，则（　　）
A．
B．
C． (R为 外接圆的半径)
D．
12．（2021·光明模拟）已知 ， 是两个相互垂直的单位向量， ， ，则下列说法正确的是（　　）
A．若 ，则
B．当 时， ， 夹角的余弦值为
C．存在 使得 与 同时成立
D．不论 为何值，总有 成立
三、填空题
13．（2020高三上·芜湖期末）已知向量 ， ， ，则实数 的值为　 　.
14．（2021高一下·岑溪期末）已知向量 ， ，且 ，则 　 　.
15．（2021高三上·平顶山月考）已知 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ， ， ， ，则该三角形的面积等于　 　.
16．（2021高一下·常熟期中）中华人民共和国国歌有84个字，37小节，奏唱需要46秒，某校周一举行升旗仪式，旗杆正好处在坡度15°的看台的某一列的正前方，从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60°和30°，第一排和最后一排的距离为 米（如图所示），旗杆底部与第一排在同一个水平面上.要使国歌结束时国旗刚好升到旗杆顶部，升旗手升旗的速度应为　 　（米/秒）
四、解答题
17．（2021高三上·五华月考）在① ，② ，③ 三个条件中任选一个，补充到下面问题中，并解答．
已知锐角 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，满足______（填写序号即可）
注：若选择不同的条件分别解答，则按第一个解答计分．
（1）求 ；
（2）若 ，求 的取值范围．
18．（2021高一下·扬州期末）已知 的内角 、 、 的对边分别为 、 、 ， ， .
（1）求 ；
（2）在① ，② 这两个条件中任选一个作为条件，然后求 的面积.
19．（2021高一下·聊城期末）如图是古希腊数学家特埃特图斯（Theaetetus，约公元前417年—公元前369年）用来构造无理数 ， ， ，…的平面图形．根据图中数据解决下列问题．
（1）计算图中线段 的长度；
（2）求 的余弦值．
20．（2021高一下·深圳月考）已知 ，
（1） 时，求 的取值范围；
（2）若存在t，使得 ，求 的取值范围.
21．（2021·张家口模拟）在 中， ．
（1）求B；
（2）若 ， 的面积为 ，求 的周长．
22．（2021高一下·普宁期中）如图所示，是的一条中线，点O满足，过点O的直线分别与射线、射线交于M、N两点，
（1）求证：；
（2）设，，，，求的值；
（3）如果是边长为2的等边三角形，求的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】C
【考点】正弦定理；余弦定理
【解析】【解答】由正弦定理可知， ，故 正确，即①正确；
由余弦定理可知， ，即②正确；
当 中， 时， ，故③不正确.所以一定成立的个数为2.
故答案为：C.
【分析】由正弦定理整理化简即可判断出①正确；由余弦定理可知结合已知条件即可判断出②正确；由三角形内的几何计算关系代入数值计算出结果由此判断出③不正确，由此得出答案。
2．【答案】D
【考点】两向量的和或差的模的最值；平面向量的坐标运算
【解析】【解答】如图建立平面直角坐标系，
设 ，∴ ， ，
∴ ，∴ ，
∴ 时， 的最小值为： .
故答案为：D.
【分析】根据题意建立直角坐标系，求出各个点以及向量的坐标，结合向量的坐标公式以及向量模的公式整理得到关于x的方程，由二次函数的性质即可求出最小值。
3．【答案】B
【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】【解答】∵向量 ， ，
∴ ， ，
又因为 与 共线，∴ ，解得 。
故答案为：B
【分析】利用已知条件结合向量的坐标运算，进而求出向量 与 的坐标，再结合向量共线的坐标表示，进而求出实数k的值。
4．【答案】B
【考点】平面向量数量积的运算
【解析】【解答】如图所示，建立平面直角坐标系，
由题意知， ， ， ，
由 是线段 上的点，设 ，且 ，
因此 ， ，
故 ，
因 ，所以当 时， 取最小值 .
故答案为：B.
【分析】 先建立坐标系，求出各点坐标，把所求转化为二次函数求最值问题即可求解结论.
5．【答案】C
【考点】向量的模；向量的三角形法则
【解析】【解答】解：根据题意得，所以，
所以由于各向量间的夹角未知，故，均不一定成立，
故C选项正确，A，B，D选项错误；
所以C
【分析】根据题意得，进而逐项进行分析可得答案。
6．【答案】B
【考点】等差数列的性质；正弦定理
【解析】【解答】解：对于A，在 ，因为 ，所以由正弦定理可得 ，又因在三角形中大边对大角，所以 ，所以A符合题意；
对于B，在 中，若 ，则 或 ，即 或 ，所以B不符合题意；
对于C，因为 ， ， 成等差数列，所以 ，因为 ，所以 ，所以C符合题意；
对于D，由 ，设 ，因为 ，所以 ，所以D符合题意，
故答案为：B．
【分析】对于由正弦定理可判断；对于B，由 得 或 ，即 或 ；对于C由等差中项的性质和三角形内角和可得结果；对于D,利用勾股定理的逆定理可得结果。
7．【答案】B
【考点】平面向量的基本定理及其意义
【解析】【解答】 。
故答案为：B
【分析】利用已知条件结合三角形法则和中点的性质，再利用平行四边形法则和共线定理，从而利用平面向量基本定理，进而求出 。
8．【答案】D
【考点】双曲线的简单性质；余弦定理
【解析】【解答】设 为双曲线的下焦点， 为双曲线的上焦点，如图，
因为 ，
所以 ，
因为 ，所以 ， ，
由题易知| ， ，，
因为 ，
所以 ，
则 ，
化简整理得 ，
又 ， ，即 ，
所以双曲线的离心率为 。
故答案为：D
【分析】设 为双曲线的下焦点， 为双曲线的上焦点，因为 ，
所以 ，再利用双曲线的定义得出 ， ，由题易知 ， ，，因为 ，再结合诱导公式得出 ，再结合余弦定理化简整理得 ，再利用双曲线中a,b,c三者的关系式，从而求出a,c的关系式，再结合双曲线离心率公式变形，从而求出双曲线的离心率。
9．【答案】A,B,D
【考点】平面向量的坐标运算；平面向量共线（平行）的坐标表示；数量积的坐标表达式
【解析】【解答】对于A， ，而 ，因为 ，
所以得 ， （舍去）， ，所以 ，
，所以 ， ，A符合题意；
对于B，当 时， ， ，所以 ；B符合题意；
对于C，若 ，则 ，且 ，
因此 ，显然 ，
C不正确；
对于D，若 ，则 ，则 解得 （舍）或 ，则 ，即 ，D符合题意.
故答案为：ABD.
【分析】利用同角三角函数的基本关系式整理即可得出和，再由共线向量的坐标公式，即可求出向量的坐标由此即可判断出选项A正确；再由数量积的坐标公式代入计算出结果由此判断出选项B正确；由向量的坐标公式整理即可判断出选项C错误；由共线向量的坐标公式代入计算出结果由此判断出选项D正确，从而得出答案。
10．【答案】B,C,D
【考点】平面向量数量积的运算；球的体积和表面积；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质
【解析】【解答】解：，，
，
又、、两两相互垂直，
，A不符合题意，
四边形ABEF是矩形，
平面ABCD, 平面ABCD,
平面ABCD, B符合题意，
平面平面ABEF，四边形ABCD是正方形，,平面平面ABEF，
平面ABEF, 平面ABEF ,,C符合题意，
，，
，为直角三角形，
又为直角三角形，为三棱锥的外接球的直径，
则三棱锥的外接球的表面积．
故答案为：BCD．
【分析】由已知条件结合数量积公式，计算出结果由此判断出选项A错误； 由矩形的几何性质即可得出线线平行，然后由线面平行的判定定理即可得证出结果由此判断出选项B正确；结合面面垂直的性质定理即可得出线线垂直，再由线面垂直的判定定理以及性质定理即可得出结论，从而判断出选项C正确；结合线面垂直的性质定理即可得出线线垂直，再由结合勾股定理代入数值计算出线线垂直由此即可得出平面的距离，由三角形中的几何计算关系代入数值计算出结果，由此判断出选项D正确；从而即可得出答案。
11．【答案】B,D
【考点】正弦定理
【解析】【解答】解：对A，由正弦定理知： ，
，A不符合题意；
对B，
，B符合题意；
对C，由正弦定理知： ，
，C不符合题意；
对D，由题意知： ，
则点 到直线 的距离 ，
，
即 ，D符合题意.
故答案为：BD.
【分析】 利用正弦定理,三角形的面积公式及模长公式逐一判断即可求解结论.
12．【答案】A,C,D
【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
【解析】【解答】由于 ， 是两个相互垂直的单位向量，
故可设 .
对于A选项， ，则 ，A符合题意.
对于B选项， ，B不符合题意.
对于C选项， .当 时， ，C符合题意.
对于D选项， ，D选项正确.
故答案为：ACD
【分析】求得的坐标，根据向量共线，向量夹角，向量垂直，向量的模等知识对选项逐一分析即可得出答案。
13．【答案】3
【考点】数量积的坐标表达式；数量积判断两个平面向量的垂直关系
【解析】【解答】 ， ， ，
，则 ，
故 。
故答案为：3。
【分析】利用已知条件结合向量的坐标表示求出向量的坐标表示，再结合两向量垂直数量积为0的等价关系，进而利用数量积的坐标表示，从而求出m的值。
14．【答案】
【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系
【解析】【解答】解：∵
∴x×4+3×5=0
解得
故答案为：
【分析】根据向量垂直的充要条件求解即可.
15．【答案】 或
【考点】余弦定理
【解析】【解答】由余弦定理得 ，即 ， ，解得 或 ，
则 或 ．
故答案为： 或 ．
【分析】 首先利用余弦定理求出c的值，进一步利用面积公式求出结果.
16．【答案】
【考点】正弦定理的应用
【解析】【解答】如图所示，
依题意知∠AEC＝45°，∠ACE＝180°﹣60°﹣15°＝105°，∴∠EAC＝180°﹣45°﹣105°＝30°，
由正弦定理知 ＝ ，∴AC＝ ×sin45°＝20（米），
∴在Rt△ABC中，AB＝AC sin∠ACB＝20× ＝10 （米），∵国歌长度约为46秒，
∴升旗手升旗的速度应为 ＝ （米/秒）。
故答案为： 。
【分析】利用已知条件结合正弦定理，从而求出升旗手升旗的速度。
17．【答案】（1）解：若选①，由正弦定理得 ，
因为 ，所以 ，
又因为 ，所以 ；
若选②，由正弦定理得 ，即 ，
由余弦定理得 ，
又因为 ，所以 ；
若选③， ，
从而得 ，
又因为 ，所以
（2）解：由正弦定理 得
，
由 是锐角三角形可得 ，得 ，
因为 在 上单调递增，所以 ，
从而 ，所以
【考点】两角和与差的余弦公式；同角三角函数间的基本关系；正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】(1) 若选①，结合正弦定理和两角和的正弦公式整理化简即可得出sinB的值，由此求出角B的值； 若选②，由正弦定理整理即可得到然后结合余弦定理整理计算出cosB的值，由此得出角B的值； 若选③，首先由两角和的余弦公式以及同角三角函数的基本关系式整理化简即可求出zanB的值，由此得出角B的值。
(2)根据题意由正弦定理和两角和的正弦公式整理化简即可得出，由角A的取值范围结合正切函数的单调性即可得出tanA的取值范围，由此求出c的取值范围。
18．【答案】（1）因为 ，所以 ，所以 .
因为 ，所以 ，所以 ，所以 ；
（2）若选择①： ，则 ，
因为 ，所以 ，则 ，
又因为 ，所以 ，
由正弦定理 得 ，且 ，
所以 ，
所以 ；
若选择②： ，由余弦定理 ，
因为 ，所以 .
由正弦定理 得 ，且 ，
所以 ，
所以 .
【考点】两角和与差的正弦公式；正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】 (1 )根据已知条件，运用三角函数的两角公式，可得 ，再结合A角的范围，
即可求解；
(2)选①,运用正弦定理，可得 ，即可得 ，再结合正弦定理和正弦函数的两角和公式，即可求解,选②,根据已知条件，运用正弦定理，可得 ，再结合正弦定理和正弦函数的两角和公式，即可求解.
19．【答案】（1）解：在 ， ，
由余弦定理得
，
∴ ．
（2）在 中， ， ， ，
由余弦定理得
，
∴ ．
【考点】余弦定理
【解析】【分析】（10利用已知条件结合余弦定理求出BD的长。
（2）利用已知条件结合余弦定理，从而求出 的余弦值 。
20．【答案】（1） 时，
令 ，则
（2）由题意得，存在t，使得
当 时， ，此时不存在t使得方程有解
当 时，
时， ，
时，
【考点】函数的最值及其几何意义；数量积的坐标表达式；同角三角函数基本关系的运用
【解析】【分析】（1）由向量的数量积，同时结合换元法易得，将问题转化为求二次函数的值域即可；
（2）由向量的数量积易得，根据分类讨论即可求解。
21．【答案】（1）解：由 ，得 ，
∴ ，即 ，
∴ ．
由正弦定理，得 ，又 ，
∴ ，即 ， ，
∴
（2）解：由 的面积为 ，得 ，解得 ，即 ．
由余弦定理 ，可得 ，解得 ．
∴ 的周长为
【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】 （1）由三角函数恒等变换的应用，正弦定理化简已知等式，结合sinA≠0，可得tanB的值，结合0＜B＜π，可得B的值．
（2）由题意利用三角形的面积公式可求a的值，进而可求c的值，由余弦定理可求b的值，即可求解△ABC的周长的值．
22．【答案】（1）证明：因为D是中点，
；
（2）解：因为M、O、N三点共线，故存在实数，使得，
即，整理得，
由（1）知，
根据平面向量基本定理，，；
（3）解：因为是边长为2的等边三角形，故，，
在中，由余弦定理，
在中，同法可得，
故
由（2）知，得，
故，
由基本不等式，，，
当且仅当，即，时，取最小值，
故的取值范围是．
【考点】基本不等式；向量的加法及其几何意义；向量的减法及其几何意义；向量的共线定理；余弦定理
【解析】【分析】（1），结合及，即可求证；
（2）由三点共线可得 ，化简可得 ， 由（1）可知 ，由平面向量基本定理列方程即可求解；
（3）在 中，及中，分别用余弦定理可求得，于是可得， 结合（2），由基本不等式即可求解。
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