精讲精练·专项突破 第六章《平面向量及其应用》单元能力提升（含详细解析） (37)

精讲精练·专项突破
2021-2022学年高一下学期人教版（2019）
第六章 《平面向量及其应用》 单元能力提升（含详细解析）
一、单选题
1．（2022·郑州模拟）魏晋南北朝时期，中国数学的测量学取得了长足进展.刘徽提出重差术，应用中国传统的出入相补原理，因其第一题为测量海岛的高度和距离，故题为《海岛算经》.受此题启发，某同学依照此法测量郑州市二七纪念塔的高度.如图，点D，G，F在水平线DH上，CD和EF是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”测得以下数据（单位：米）：前表却行DG=1，表高CD=EF=2，后表却行FH=3，表距DF=61.则塔高AB=（　　）
A．60米 B．61米 C．62米 D．63米
【答案】D
【考点】解三角形的实际应用
【解析】【解答】解：根据题意，，，
所以，解得．
故答案为：D.
【分析】根据题意把实际问题转化为数学问题，结合三角形相似的性质，由对应边成比例，代入数值计算出结果即可。
2．（2021高一下·武清月考）下列四个结论，正确的个数是（　　）
①在 中，若 ，则 ；②若 ，则存在唯一实数 使得 ；③若 ， ，则 ；④在 中，若 ，且 ，则 为等边三角形；
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【考点】向量的共线定理；正弦定理；三角形的形状判断
【解析】【解答】①在 中，若 ，则 ，由正弦定理可得： ，所以正确.
②若 且 ，则存在唯一实数 使得 ，故当 时，②不正确.
③当 时，满足 ， ，但 与 不平行，故不正确.
④在 中， 为 方向的单位向量， 为 方向的单位向量，
设 中， 的角平分线交 于点 .
所以 在 的角平分线 上，由
所以 ， 所以
又 ，所以 ，又
所以 ，所以 为等边三角形，故④正确.
故答案为：B
【分析】 由角的大小即可得出边的大小再由正弦定理即可判断出①正确，由向量共线的性质即可得出由此即可判断出②错误，由特殊情况即可得出结论不成立由此判断出③错误，在三角形ABC中，由即可得出在 的角平分线 上，由此即可得出从而得到进而求出，即，从而即可判断④正确；由此即可得出答案。
3．（2021高三上·江西月考）在 中， ,则 是（　　）
A．等腰三角形 B．等边三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
【答案】C
【考点】正弦定理；余弦定理；三角形的形状判断
【解析】【解答】因为 ,所以 ，
整理为 ，
即 ，
所以 是直角三角形。
故答案为：C
【分析】利用已知条件结合正弦定理和余弦定理，从而结合勾股定理，进而判断出三角形 的形状。
4．（2021高一下·吴江期中）在 中，角A，B，C所以对的边分别为a，b，c，若 ， 的面积为 ， ，则 （　　）
A． B． C． 或 D． 或3
【答案】D
【考点】正弦定理；余弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【解答】由 ，由正弦定理得 ，又 ，
得 ，得 ，得 ，又 ，得 ，
则 ，则 ，由余弦定理 ，
得 ，得 或 。
故选：D
【分析】利用已知条件结合正弦定理，和三角形面积公式，得出a的值，再利用，进而求出b的值，再结合代入法求出角C的正弦值，再利用同角三角函数基本关系式，进而求出角C的余弦值，再结合余弦定理，进而求出c的值。
5．（2021高三上·高邮月考）已知向量 满足 = =1， = = ，若 =λ ( )， 则 （　　）
A．3 B．-2 C．3或-2 D．-3或2
【答案】C
【考点】平面向量数量积的运算
【解析】【解答】因为 =λ ，故可得 ，
两边平方可得： ，
代值可得： ，整理得： ，
解得 或 .
故答案为：C.
【分析】由已知条件，结合平面向量数量积的运算可得，求解可得 的值。
6．（2021高一下·河北期中）已知 的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若 ，则 的形状为（　　）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等边三角形 D．以上均不正确
【答案】A
【考点】余弦定理；三角形的形状判断
【解析】【解答】由 ，根据余弦定理，可得 ，
整理得 ，所以 ，
即 为等腰三角形。
故答案为：A.
【分析】利用已知条件结合余弦定理，可得 ，所以 ，再利用等腰三角形的定义，进而判断出三角形的形状。
7．（2021高一下·浙江期中）已知向量 ， ，若 ，则 （　　）
A．-1 B．0 C．1 D．3
【答案】C
【考点】平面向量的坐标运算；数量积判断两个平面向量的垂直关系
【解析】【解答】解：因为向量 ， ，所以 ，
因为 ，所以 ，解得 .
故答案为：C.
【分析】由向量的加法运算得到 ，进而由向量垂直的坐标表示列出方程，即可求出m.
8．（2020高二上·洛阳期末）在 中，若 ，则 的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【考点】函数单调性的性质；基本不等式在最值问题中的应用；正弦定理
【解析】【解答】因为 ，
所以 ，
因为 ，所以B=2A，
由正弦定理得：所求
，
因为 ，且 ，
所以 ，所以 ，
令 ，则 ，
所以 ， ，
设 ，
当且仅当 ，即 时等号成立，
根据对勾函数的性质可得，当 时， 为减函数，
当 时， 为增函数，且 ，
所以 。
故答案为：A
【分析】利用 结合三角形中角的取值范围和正弦定理，从而得出 ，再利用三角形内角和为180度的性质结合三角形中角的取值范围，从而求出角A的取值范围，再利用余弦函数的图像，从而求出余弦函数的值域，令 ，则 ，所以 ， ，再利用均值不等式求最值的方法和函数的单调性，从而求出 的取值范围 。
二、多选题
9．（2021高一下·青岛期中）已知平面向量 ，且 ，则（　　）
A． B． 或
C． 与 夹角的大小为 D．
【答案】A,C
【考点】向量的模；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
【解析】【解答】由题意得： ，
因为 ，
所以 ，
解得 ，A符合题意，B不符合题意；
所以 ，
所以 ，
因为 ，
所以 ，即 与 夹角的大小为 ，C符合题意；
，所以 ， ，
所以 ，D不符合题意.
故答案为：AC
【分析】A，先分别计算出 ,再由模相等，求出,故A正确；
对于B，由A的结果知B错；
对于C，由A的结果，计算，故C错；
对于D，通过计算，所以D错。
10．（2021高一下·东莞期末）已知 与 均为单位向量，其夹角为 ，则下列结论正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A,C
【考点】向量的模；平面向量数量积的运算
【解析】【解答】依题意， ， .
，等价于 ，即 ，即 ，即 ，而 ，故 ，即A符合题意，B不符合题意；
，等价于 ，即 ，即 ，即 ，而 ，故 ，即C符合题意，D不符合题意.
故答案为：AC.
【分析】 根据题意，由向量模的计算公式可得以及，变形可得cosθ的取值范围,进而可得 的取值范围，即可得答案.
11．（2021高一下·如皋开学考）已知向量 ， ，则（　　）
A． B．
C． D． 与 的夹角为
【答案】A,C,D
【考点】平面向量的坐标运算；平面向量共线（平行）的坐标表示；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；数量积判断两个平面向量的垂直关系
【解析】【解答】∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ，A符合题意；
∵ ，
∴ 与 不平行，B不符合题意；
又 ，C符合题意；
∵ ，又 ，
∴ 与 的夹角为 ， D符合题意.
故答案为：ACD
【分析】平面向量的模。两向量相加减即两向量的横纵坐标分别相加减，若两向量=(a,b)与=(c,d)平行，则ad=bc；若垂直，则ac+bd=0。=ac+bd=。
12．（2021·光明模拟）在棱长均为1的正三棱柱 中，点E在棱 上运动，则下列说法正确的是（　　）
A． 的最小值为
B．存在点E使得直线 与直线 所成的角为45°
C．三棱锥 的体积为定值
D．当点E为棱 的中点时，四棱锥 的外接球的表面积为
【答案】A,C
【考点】棱柱的结构特征；棱柱、棱锥、棱台的体积；球的体积和表面积；余弦定理
【解析】【解答】A选项，如下图所示，两点间直线距离最短，所以 的最小值为 ,A符合题意.
B选项，如下图所示，过 作 ，交 于 ，则直线 与直线 所成的角为 ，设 ，则 ，所以三角形 是等腰三角形. ，所以 ，所以 ，B不符合题意.
C选项，由于 ， 平面 ， 平面 ，所以 平面 .所以 到平面 的距离为定值，而三角形 的面积也为定值，所以 为定值.C符合题意.
D选项，当 是 中点时， ，四边形 是正方形，所以四棱锥 是正四棱锥.设其外接球球心为 ，如下图所示，其中 等于等边三角形 的高，即 ， ，设外接球的半径为 ，则 ，所以外接球的表面积为 ，D不符合题意.
故答案为：AC
【分析】A选项通过两点间直线距离最短来判断；B选项利用余弦定理来判断;C选项利用体积公式来判断;D选项求得外接球的表面积来判断。
三、填空题
13．（2021高三上·泰安期中）在相距1000米的A，B两点处测量目标点C，若 ， ，则B，C两点之间的距离为　 　米.
【答案】
【考点】两点间的距离公式；正弦定理的应用
【解析】【解答】由题可得 ，
由正弦定理可得 ，
即 米.
故答案为： .
【分析】根据题意由正弦定理代入数值计算出边的大小，由此即可得出答案。
14．（2021·上海模拟）非零向量 ， 满足 ， 且 ， 与 夹角为 ，则 　 　.
【答案】
【考点】平面向量数量积的运算；数量积表示两个向量的夹角
【解析】【解答】解： 且 ， ，所以 ，
，即 ， ，
， ．
故答案为：
【分析】由已知条件由向量模的运算性质，结合数量积的运算公式代入数值计算出，由角的取值范围即可求出夹角的大小。
15．（2022·上海）在△ABC中， ， ， ，则△ABC的外接圆半径为　 　
【答案】
【考点】正弦定理的应用；余弦定理的应用
【解析】【解答】解：设AB=c,AC=b,BC=a，则c=2,b=3,
则由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA得
∴
则由正弦定理得,
则R=
故答案为：
【分析】根据余弦定理与正弦定理求解即可.
16．（2021高三上·汉中月考）已知 是边长为2的等边三角形，D为 的中点，点P在线段 （包括端点）上运动，则 的取值范围是　 　.
【答案】
【考点】两向量的和或差的模的最值；平面向量的坐标运算；平面向量数量积的运算
【解析】【解答】以 为坐标原点， 为 轴， 为 轴建立直角坐标系，
则 ，设 ，
所以 ，
因此 ，
所以 ，
因此当 或 时， ，当 时， ，所以 的取值范围是 ，
故答案为： .
【分析】根据题意建立直角坐标系，求出各个点以及向量的坐标，由此得出关于的x的二次函数，结合二次函数的性质即可求出以及，由此即可得出的取值范围。
四、解答题
17．（2020高一上·如皋期末）在直角坐标系中，O为坐标原点， ， ， .
（1）若A，B，C三点共线，求a，b的关系；
（2）若 ，求点C的坐标.
【答案】（1）解：由题意知， ，
.
因为A，B，C三点共线，所以 ，
所以 ，
所以 .
（2）解：因为 ，
所以 ，
所以 解得
所以点C的坐标为 .
【考点】向量的三角形法则；平面向量的坐标运算；平面向量共线（平行）的坐标表示；三点共线
【解析】【分析】（1）利用向量的三角形法则结合已知条件求出向量 和的坐标，再利用A，B，C三点共线，推出向量共线，即 ， 再利用向量共线的坐标表示，从而求出a,b的关系。
（2）利用已知条件结合共线向量的坐标表示，从而求出a,b的值，进而求出点C的坐标。
18．（2021高二上·山西月考）在 中，内角的对边分别为，且，.
（1）若的周长为20，求；
（2）求周长的取值范围.
【答案】（1）因为的周长为20，，所以①
因为，所以，即②
联立①②可得：，或，
（2）由正弦定理，可得，，
则的周长为
因为，所以
则
因为，所以，则周长的取值范围为.
【考点】函数的值域；正弦定理；余弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合三角形的周长公式，从而得出b+c的值，再利用余弦定理得出bc的值，进而联立方程组求出b,c的值，从而利用三角形的周长公式，进而求出三角形的周长。
（2） 由正弦定理变形可得，，再利用三角形的周长公式得出三角形的周长为，再利用角A的值结合三角形内角和为180度的性质，进而求出，再结合代入法和两角和的正弦公式以及辅助角公式，进而得出 ，再利用角C的取值范围结合正弦型函数的图像求值域的方法，进而求出三角形周长的取值范围。
19．（2020高二上·晋中期末）已知 为坐标原点，椭圆 ： 上一点 在第一象限，若 .
（1）求点 的坐标；
（2）椭圆 两个顶点分别为 ， ，过点 的直线 交椭圆 于点 ，交 轴于点 ，若直线 与直线 相交于点 ，求证： 为定值.
【答案】（1）解：设 ，因为 ，所以 ①，
又因为点 在椭圆上，所以 ②，
由①②解得： ，所以 的坐标为 ；
（2）解：设点 ，则直线 的方程为 ①，
直线 的方程为 ②，
由①②解得 ，又直线 的方程为 ，
令 ，解得 ，所以 ，
又 ，所以 .
【考点】数量积的坐标表达式；椭圆的简单性质
【解析】【分析】(1)根据题意设出点的坐标，然后由两点间的距离公式代入整理得到关于点的坐标的方程，然后再把点的坐标代入到椭圆的方程计算出点的坐标的代数式，联立计算出结果即可。
(2)已知条件设出点的坐标，结合点斜式由此得出直线的方程，然后求出直线的截距再把点的坐标代入数量积的坐标公式整理计算出结果即可。
20．（2021高一下·沈阳期末）已知函数 ．
（Ⅰ）求函数 在区间 上的值域．
（Ⅱ）在 中，角A，B，C，所对的边分别是a，b，c，若角C为锐角， ，且 ，求 面积的最大值．
【答案】解：（Ⅰ）
，
由 ，有 ，所以
函数 的值域为 ．
（Ⅱ）由 ，有 ，
为锐角， ， ．
， 由余弦定理得： ，
， ．
，
当 ，即 为正三角形时， 的面积有最大值 ．
【考点】基本不等式；三角函数中的恒等变换应用；余弦定理
【解析】【分析】 (1)利用差角的正弦公式、辅助角公式化简函数，结合正弦函数的性质，可得函数f (x)在区间 上的值域；
(2)先求出C，再利用余弦定理，结合基本不等式，即可求得△ABC面积的最大值.
21．（2021高二上·抚松开学考）在直角坐标系 中，过点 作直线 交 轴于A点、交 轴于B点，且P位于AB两点之间.
（1）若 ，求直线 的方程；
（2）求当 取得最小值时直线 的方程；
（3）当 面积最小值时的直线方程.
【答案】（1）由题意知，直线 的斜率 存在且 ，
设 ，得令 ，得 ，所以 ，
再令 ，得 ，所以 ，
∵点 位于 两点之间，∴ 且 ，解得 ．
∴ ， ，
∵ ，∴ ，解得 ．
∴直线 的方程为 ，整理得 ．
（2）∵ ，∴ ，
当 ，即 时，等号成立．
∴当 取得最小值时直线 的方程为 ，
化为一般式： ．
（3）∵ ， ， ，
∴ ，
当 时，即 时，取等号，
∴当 面积最小值时的直线方程为 ，即 ．
【考点】基本不等式；平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】【分析】 设 ，可求出 ， ，结合P位于A、B之间，建立不关于k的不等式，可得k<0；
(1)由A、B、P的坐标，得出向量 坐标，从而将 化为关于k的方程，解出k值即得 直线 的方程；
(2)由向量数量积的坐标运算公式，得出 关于k的表达式，再用基本不等式得到 取得最小值时的斜率k,从而得到直线的方程；
(3) ， 当 时，即 时，取等号，由此能求出当 面积最小值时的直线方程。
22．（2021高二下·安达期末） 的内角 的对边分别为 ，已知 .
（1）求B；
（2）若 ， 的面积为 ，求 的周长.
【答案】（1）解： ，
由正弦定理得： ，
整理得： ，
∵在 中， ，∴ ，
即 ，∴ ，即
（2）解：由余弦定理得： ，∴ ，
∵ ，
∴ ，∴ ，∴ ，
∴ 的周长为
【考点】两角和与差的正弦公式；正弦定理的应用；余弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）根据正弦定理，结合两角和的正弦公式求解即可；
（2）根据余弦定理，结合三角形的面积与周长公式求解即可.
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