精讲精练·专项突破 第六章《平面向量及其应用》单元能力提升（含详细解析） (38)

精讲精练·专项突破
2021-2022学年高一下学期人教版（2019）
第六章 《平面向量及其应用》 单元能力提升（含详细解析）
一、单选题
1．已知向量 ， ，则平面 的一个法向量为（　　）
A． B． C． D．
2．在 中， ，那么等于 （　　）
A． B． C． D．
3．如图，在四棱锥 中，底面 为平行四边形，且 ， ， ， ， 分别为 ， 上的点，且 ， ， （　　）
A．1 B． C．2 D．
4．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a=2，c=1，则C的范围是（　　）
A． B． C． D．
5．如图所示，为测量某不可到达的竖直建筑物 的高度，在此建筑物的同一侧且与此建筑物底部在同一水平面上选择相距10米的 ， 两个观测点，并在 ， 两点处分别测得塔顶的仰角分别为 和 ，且 ，则此建筑物的高度为（　　）
A． 米 B． 米 C．10米 D．5米
6．在 中角 的对边分别为 ，且 ，则 的形状为（　　）
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等 腰三角形
7．已知是的重心，若，，则的最小值是（　　）
A．4 B．2 C． D．
8．已知向量 ， ， 满足 ， 与 的夹角为 ， ，则 最大值为（　　）
A．6 B．4 C．2 D．1
二、多选题
9．已知向量，则（　　）
A． B．
C． D．
10．下列说法错误的有（　　）
A．如果非零向量 与 的方向相同或相反，那么 的方向必与 或 的方向相同
B．在 中，必有
C．若 ，则A，B，C一定为一个三角形的三个顶点
D．向量 的夹角为 ， ，则
11．若双曲线 ， 分别为左、右焦点，设点 在双曲线上且在第一象限的动点，点 为 的内心，点 为 的重心，则下列说法正确的是（　　）
A．双曲线 的离心率为
B．点 的运动轨迹为双曲线的一部分
C．若 ， ，则 .
D．存在点 ，使得
12．已知平面四边形 ， 是 所在平面内任意一点，则下列命题正确的是（　　）
A．若 ，则 是平行四边形
B．若 ，则 是矩形
C．若 ，则 为直角三角形
D．若动点 满足 ，则动点 的轨迹一定通过 的重心
三、填空题
13．已知 ， ，且 ，则 　 　．
14．写出一个与向量 共线的向量：　 　.
15．已知向量、、，且，，，，则的最小值为　 　．
16．已知向量，，，则实数k的值为　 　．
四、解答题
17．请从下面三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并作答.① ；② ；③ 的面积为 .已知 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且 .
（1）求 ；
（2）若 为 中点，且 ， ，求 ， .
18．已知圆心在坐标原点的两个同心圆的半径分别为1和2，点和点分别从初始位置和处，按逆时针方向以相同速率同时作圆周运动.
（1）当点运动的路程为时，求线段的长度；
（2）记，，求的最大值.
19．已知向量， .
（1）若，求；
（2）若，求向量与的夹角.
20．设 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知 ，且 ．
（1）求角 的大小；
（2）若向量 与 共线，求 的面积．
21．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知．
（1）求中的最大值；
（2）求边上的中线长．
22．在 中，D是边AC上一点，满足 ， .
（1）证明： ；
（2）若 外接圆面积是 外接圆面积的3倍，请在① ；② 中任选一个条件作为补充，求 的面积
注：如果选择两个条件分别求解，则按第一个条件的解答计分.
答案解析部分
1．【答案】D
2．【答案】C
3．【答案】B
4．【答案】D
5．【答案】B
6．【答案】B
7．【答案】D
8．【答案】B
9．【答案】A,B,C
10．【答案】A,C
11．【答案】A,C,D
12．【答案】A,C,D
13．【答案】7
14．【答案】 （答案不唯一，满足 即可）
15．【答案】
16．【答案】-4
17．【答案】（1）方案一：选条件①
∵ ，由正弦定理可得， ，
即 ，
∴ ，
∴由余弦定理可得： .
∴ .
方案二：选条件②
∵ ，
∴根据正弦定理可得， ，
∴ ，
∴ .
∴ ，
∴ .
方案三：选条件③
由题意知， ，
∴由正弦定理可得， ，
∴ ，
∴由余弦定理可得， ，
∴ .
（2）由题意知， ， ，
在 中， ，
即 .
在 中， ，
即 ，
∵ ，
∴ ，
∴ .
由（1）知， ，
∴ ，
∴ ，
由 ，解得 .
18．【答案】（1）解：因为点运动的路程为，，所以，又，所以，，
由余弦定理，所以
（2）解：设则，所以，，则
，所以当时，取得最大值
19．【答案】（1）解：，，则，
，所以，
；
（2）解：设所求夹角为，由，得，
∴，
∵，∴.
所以向量与的夹角为.
20．【答案】（1）解：因为 ，所以 ，
所以 ，所以 ，
所以 ， ，所以 ， ，
因为 ，所
（2）解：因为向量 与 共线，
所以 ，即 ，
由余弦定理可得 ，即 ，
解得 ， ，所以 的面积为
21．【答案】（1）解：，故有，
由余弦定理可得，
又，，故
（2）解：设边上的中线为，则，
，
，即边上的中线长为．
22．【答案】（1）证明：在 中，由正弦定理有 .
在 中，由正弦定理有 .
因为 和 互为补角，故其正弦值相等；又因为 ，结合题设条件知
（2） 解：因为外接圆面积是外接圆面积的3倍 ，
故外接圆的半径是外接圆的倍.
所以 ，故 ，故 ，
若选条件①：因为, 故sin2A+9cos2A=3，
结合in2A+cos2A=1解得故，
因为，故A,C均为锐角，故，
所以，故，
所以，故 的 面积为.
若选择条件②，则两式相乘可得 ，从而 或 和 互为补角.但是 ，所以 ，因此A和C互为余角，即 .
又因为A和C互为余角，则 ，结合 知 .
而 ，所以 ， ，进一步可得 ， ， .
若选择条件③，则由（1）知 .结合 可知 ， .
由勾股定理知 ，解得 ， ，
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