精讲精练·专项突破 第六章《平面向量及其应用》单元能力提升（含详细解析） (39)

精讲精练·专项突破
2021-2022学年高一下学期人教版（2019）
第六章 《平面向量及其应用》 单元能力提升（含详细解析）
一、单选题
1．（2021高二上·房山期中）已知向量 ， ，则平面 的一个法向量为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【考点】数量积的坐标表达式；平面的法向量
【解析】【解答】设平面 的法向量为 ，
则 ，令 ，可得 ，
即平面 的法向量为 .
故答案为：D.
【分析】首先设出平面的法向量，再由数量积的坐标公式计算出x与y的值，从而得出平面的法向量。
2．（2021高一下·延庆期末）在 中， ，那么等于 （　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【考点】正弦定理
【解析】【解答】由正弦定理得 .
故答案为：C
【分析】直接利用正弦定理可得答案。
3．（2020高二上·聊城期末）如图，在四棱锥 中，底面 为平行四边形，且 ， ， ， ， 分别为 ， 上的点，且 ， ， （　　）
A．1 B． C．2 D．
【答案】B
【考点】向量的线性运算性质及几何意义；平面向量的基本定理及其意义
【解析】【解答】∵ ， ，
∴
，
又 ， ，
∴ ．
故答案为：B．
【分析】 利用平面向量基本定理将向量用向量，，表示，然后求解，向量，，的模和夹角均已知，利用数量积的定义进行求解即可.
4．（2021高一下·济南期中）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a=2，c=1，则C的范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【考点】正弦函数的定义域和值域；正弦定理
【解析】【解答】解： ， 为锐角．
由正弦定理可得： ，即 ，因为
，
∴ ，
∴角C的取值范围是 ．
故答案为：D．
【分析】首先判断出角 为锐角．再由正弦定理得到 ，并由得到 ，从而有。
5．（2021高三上·河南月考）如图所示，为测量某不可到达的竖直建筑物 的高度，在此建筑物的同一侧且与此建筑物底部在同一水平面上选择相距10米的 ， 两个观测点，并在 ， 两点处分别测得塔顶的仰角分别为 和 ，且 ，则此建筑物的高度为（　　）
A． 米 B． 米 C．10米 D．5米
【答案】B
【考点】余弦定理
【解析】【解答】设 ，则 ， ，
在 中，由余弦定理可得 ，
即 ，
整理得 ，解得 或 （舍），
故答案为：B.
【分析】设 ，则 ， ，由余弦定理可得，求解可得x的值，可得答案。
6．（2021高一下·丽水期中）在 中角 的对边分别为 ，且 ，则 的形状为（　　）
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等 腰三角形
【答案】B
【考点】正弦定理的应用；余弦定理的应用；解三角形的实际应用；三角形的形状判断
【解析】【解答】解：根据题意，已知ac=b2-a2, 则b2=a2 +ac
由余弦定理得: b2=a2 +c2- 2accosB，则a2+ac=a2 +c2-2accosB,
得a=c-2acosB(c≠0)，
由正弦定理得: sinA=sinC-2sinAcosB，得sinA=sin(π-A-B)-2sin AcosB，得sinA=sin( A+B)-2sinAcosB，
得sinA=sinAcos В +cosAsin B-2sin AcosB得sinA=sin(B-A)
因0<∠B<π，则∠A=∠B-∠A,得
∠B=2∠A=，得∠C=π-∠A-∠B=
故△ABC的形状为直角三角形.
故答案为：B
【分析】根据正弦定理，余弦定理，以及两角和与差的正弦公式求解即可.
7．（2021高一下·安徽期中）已知是的重心，若，，则的最小值是（　　）
A．4 B．2 C． D．
【答案】D
【考点】基本不等式在最值问题中的应用；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；三角形五心
【解析】【解答】，，，
为三角形 的重心， ，
，
从而 的最小值是 。
故答案为：D
【分析】利用已知条件结合数量积的定义得出 的值，再利用点G为三角形的重心，再结合三角形重心的性质和数量积求向量的模的公式以及均值不等式求最值的方法，进而得出的最小值。
8．（2021高一下·绵阳期末）已知向量 ， ， 满足 ， 与 的夹角为 ， ，则 最大值为（　　）
A．6 B．4 C．2 D．1
【答案】B
【考点】平行向量与共线向量；平面向量数量积的含义与物理意义；平面向量数量积的运算
【解析】【解答】由 ， 与 的夹角为 ，则 .
设 ，则 ， ，
所以 ，
所以当 反向共线时， 最小为-1，此时 最大，为4。
故答案为：B.
【分析】利用已知条件结合数量积的定义，从而求出数量积的值，再利用数量积的运算法则结合数量积的定义，从而结合几何法求出当 反向共线时， 最小值为-1，此时 最大，进而求出 最大值 。
二、多选题
9．（2021高一下·宁波期中）已知向量，则（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A,B,C
【考点】向量的模；平面向量共线（平行）的坐标表示；数量积的坐标表达式
【解析】【解答】A：由知：，正确；
B： ，则 ，正确；
C： ， ，则 ，正确；
D： ，故 ，错误.
故答案为：ABC
【分析】利用已知条件结合向量共线的坐标表示，得出 ；再利用已知条件结合向量的坐标运算和数量积的坐标表示得出的值；利用已知条件结合数量积求向量的模的公式得出；再利用已知条件结合向量的坐标运算和数量积为0两向量垂直的等价关系，再结合数量积的坐标表示，进而找出正确的选项。
10．（2021高二上·大名开学考）下列说法错误的有（　　）
A．如果非零向量 与 的方向相同或相反，那么 的方向必与 或 的方向相同
B．在 中，必有
C．若 ，则A，B，C一定为一个三角形的三个顶点
D．向量 的夹角为 ， ，则
【答案】A,C
【考点】向量的线性运算性质及几何意义；数量积表示两个向量的夹角
【解析】【解答】解：对于A：非零向量 与 的方向相同或相反，
那么 的方向必与 或 的方向相同或为零向量，A错误，符合题意；
对于B：在 中，必有 ，B正确，不符合题意；
对于C：若 ，则A，B，C一定为一个三角形的三个顶点，
或A、B、C三点共线时，也成立，C错误，符合题意；
对于D： ，D正确，不符合题意.
故答案为：AC．
【分析】 直接利用向量的线性运算，向量的夹角运算，三角形法则,向量的模的应用判断A、B、C、D的结论.
11．（2021·辽宁模拟）若双曲线 ， 分别为左、右焦点，设点 在双曲线上且在第一象限的动点，点 为 的内心，点 为 的重心，则下列说法正确的是（　　）
A．双曲线 的离心率为
B．点 的运动轨迹为双曲线的一部分
C．若 ， ，则 .
D．存在点 ，使得
【答案】A,C,D
【考点】向量的共线定理；平面向量的基本定理及其意义；双曲线的简单性质；圆锥曲线的轨迹问题
【解析】【解答】由题意，双曲线 ，可得 ，
则离心率为 ，所以A符合题意；
设 ， 的内切圆与边 切于点 ，与边 切于点 ，
与边 切于点 ，可得 ，
由双曲线的定义可得 ，即 ，
又由 ，解得 ，则 的横坐标为 ，
由 与 的横坐标相同，可得 的横坐标为 ，可得 在定直线 上运动，
所以B不正确；
由 且 ，解得 ，
则 ，可得 ，
所以 ，同理可得 ，
设直线 ，直线 ，
联立方程组，求得 ，
设 的内切圆的半径为 ，则 ，
解得 ，即有 ，
可得 ，
由 ，可得 ，解得 ，
可得 ，所以C符合题意；
设 ，则 ，
设 的内切圆的半径为 ，则 ，
于是 ，可得 ，
若 ，可得 ，即 ，
又由 ，联立可得 ，
因此 ，解得 ，
即存在点 ，使得 ，所以D符合题意.
故答案为：ACD.
【分析】由题意，结合双曲线标准方程确定焦点的位置，进而求出a,b的值，再结合双曲线中三者的关系式，从而求出c的值，再利用双曲线的离心率公式，从而求出双曲线的离心率；设 ， 的内切圆与边 切于点 ，与边 切于点 ，与边 切于点 ，可得 ，由双曲线的定义可得 ，又由 ，解得点 的横坐标为 ，由 与 的横坐标相同，可得 的横坐标为 ，可得 在定直线 上运动；
由 且 ，解得 ，再利用余弦定理求出的值 ，再利用同角三角函数基本关系式，可得 的值 ，进而求出 的值 ，同理可得 的值 ，设直线 ，直线 ，联立方程组，从而求出交点的坐标 ，设三角形 的内切圆的半径为 ，再利用三角形面积公式结合已知条件，从而求出三角形 的内切圆的半径，从而求出点I的坐标， 再利用向量的坐标表示求出向量的坐标，再结合平面向量基本定理解得x,y的值，可得 的值 ；设 ，再利用重心的性质，得出 ，设 的内切圆的半径为 ，再利用三角形面积公式结合已知条件，可得三角形 的内切圆的半径 ，若 ，再利用两直线平行对应边成比例，可得 ，又由 ，联立可得 的值 ，因此 ，从而得出 的值 ，即存在点 ，使得 ，从而选出说法正确的选项。
12．（2021高一下·湖北期末）已知平面四边形 ， 是 所在平面内任意一点，则下列命题正确的是（　　）
A．若 ，则 是平行四边形
B．若 ，则 是矩形
C．若 ，则 为直角三角形
D．若动点 满足 ，则动点 的轨迹一定通过 的重心
【答案】A,C,D
【考点】相等向量与相反向量；平面向量数量积的运算
【解析】【解答】由 ，可得 ，且 ，故 是平行四边形，所以A符合题意；
由 ，平方可得 ，即 ，但 不一定是矩形，所以B不符合题意；
由 ，可得 ，即 ，因此 ，所以 为直角三角形，所以C符合题意；
作 于 ，由于 ，所以 ，即 ，故 的轨迹一定通过 的重心，所以D符合题意.
故答案为：ACD.
【分析】由 ，可得 ，且 ，故 是平行四边形，可判断A；由 ，平方可得 ，即 ，但 不一定是矩形，可判断B；由 ，可得 ，所以 为直角三角形，可判断C；由于 ，即，可判断D。
三、填空题
13．（2021·广东模拟）已知 ， ，且 ，则 　 　．
【答案】7
【考点】平面向量数量积的运算
【解析】【解答】解：根据题意， ， ，且 ，
则有 ，变形可得 ，
则 ，
故 ，
故答案为：7．
【分析】根据题意，对 变形可得 的值，又由，计算可得答案.
14．（2021·肇庆模拟）写出一个与向量 共线的向量：　 　.
【答案】 （答案不唯一，满足 即可）
【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】【解答】与向量 共线的向量为 （写出其中一个即可）.
取 ，可得出一个与向量 共线的向量为 .
故答案为： （答案不唯一，满足 即可）.
【分析】由向量共线的坐标公式代入数值计算出的值由此得出结果即可。
15．（2022·辽宁模拟）已知向量、、，且，，，，则的最小值为　 　．
【答案】
【考点】两向量的和或差的模的最值；平面向量数量积的性质及其运算律
【解析】【解答】不妨设，，，
，则 起点在原点，终点轨迹为单位圆 ，
∴当 与 同向时， 最小，为 .
故答案为： .
【分析】如图，不妨设 ，，，由图像可得当与同向时，最小，即可求解。
16．（2022·黄山模拟）已知向量，，，则实数k的值为　 　．
【答案】-4
【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系
【解析】【解答】因为，所以，即，
又因为，，所以，，
所以，解得
故答案为：-4
【分析】由已知结合向量数量积性质的坐标表示即可求解出实数k的值 .
四、解答题
17．（2021高二上·重庆开学考）请从下面三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并作答.① ；② ；③ 的面积为 .已知 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且 .
（1）求 ；
（2）若 为 中点，且 ， ，求 ， .
【答案】（1）方案一：选条件①
∵ ，由正弦定理可得， ，
即 ，
∴ ，
∴由余弦定理可得： .
∴ .
方案二：选条件②
∵ ，
∴根据正弦定理可得， ，
∴ ，
∴ .
∴ ，
∴ .
方案三：选条件③
由题意知， ，
∴由正弦定理可得， ，
∴ ，
∴由余弦定理可得， ，
∴ .
（2）由题意知， ， ，
在 中， ，
即 .
在 中， ，
即 ，
∵ ，
∴ ，
∴ .
由（1）知， ，
∴ ，
∴ ，
由 ，解得 .
【考点】解三角形；正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】 若选①，(1)由已知利用正弦定理可得，利用余弦定理可得cosC的值，结合C的范围，即可求解C的值.
(2)由题意利用三角形的中线定理可得：b2+a2=8，又由余弦定理可得4=a2+b2-ab，联立方程可求a，b的值.
若选②，(1)由正弦定理化简已知等式可得：2sinCcoC=sinC，结合sinC0，可求cosC=.结合范围Ce (0.m)，可求C的值.
(2)解法同上；
若选③，(1)由已知利用三角形的面积公式，正资定理可得cosC=，结合C的范围，可求C的值.(2)解法同上；
18．（2022·南昌模拟）已知圆心在坐标原点的两个同心圆的半径分别为1和2，点和点分别从初始位置和处，按逆时针方向以相同速率同时作圆周运动.
（1）当点运动的路程为时，求线段的长度；
（2）记，，求的最大值.
【答案】（1）解：因为点运动的路程为，，所以，又，所以，，
由余弦定理，所以
（2）解：设则，所以，，则
，所以当时，取得最大值
【考点】二次函数在闭区间上的最值；二倍角的余弦公式；余弦定理的应用
【解析】【分析】（1）利用点运动的路程为，结合已知条件得出的值，再利用结合已知条件得出，的值，再由余弦定理得出A,B两点的距离。
（2） 设 则，进而得出点A,B的坐标，再结合二倍角的余弦公式和二次函数的图像求最值的方法，得出的最大值。
19．（2021高一下·吉林期中）已知向量， .
（1）若，求；
（2）若，求向量与的夹角.
【答案】（1）解：，，则，
，所以，
；
（2）解：设所求夹角为，由，得，
∴，
∵，∴.
所以向量与的夹角为.
【考点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；数量积的坐标表达式；数量积表示两个向量的夹角；数量积判断两个平面向量的垂直关系
【解析】【分析】（1）由向量垂直求出m，即可得坐标，代入模长公式即可。
（2）由向量夹角公式可直接求出答案。
20．（2021高三上·黑龙江期中）设 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知 ，且 ．
（1）求角 的大小；
（2）若向量 与 共线，求 的面积．
【答案】（1）解：因为 ，所以 ，
所以 ，所以 ，
所以 ， ，所以 ， ，
因为 ，所
（2）解：因为向量 与 共线，
所以 ，即 ，
由余弦定理可得 ，即 ，
解得 ， ，所以 的面积为
【考点】两角和与差的正弦公式；余弦定理
【解析】【分析】 (1)由已知式化简可得 ，进而得到 ， ，由此即可求得角C的大小；
(2)由向量 与 共线结合正弦定理可得b=2a，再利用余弦定理建立关于a的方程，解出a,b，根据三角形的面积公式，即可求出 的面积．
21．（2022·衡阳模拟）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知．
（1）求中的最大值；
（2）求边上的中线长．
【答案】（1）解：，故有，
由余弦定理可得，
又，，故
（2）解：设边上的中线为，则，
，
，即边上的中线长为．
【考点】余弦定理
【解析】【分析】(1)由题意先判断sinB最大，再根据余弦定理可求其余弦值，从而可求其正弦值；
(2)由 ，平方后即可求解出边上的中线长．
22．（2022高三下·浙江竞赛）在 中，D是边AC上一点，满足 ， .
（1）证明： ；
（2）若 外接圆面积是 外接圆面积的3倍，请在① ；② 中任选一个条件作为补充，求 的面积
注：如果选择两个条件分别求解，则按第一个条件的解答计分.
【答案】（1）证明：在 中，由正弦定理有 .
在 中，由正弦定理有 .
因为 和 互为补角，故其正弦值相等；又因为 ，结合题设条件知
（2） 解：因为外接圆面积是外接圆面积的3倍 ，
故外接圆的半径是外接圆的倍.
所以 ，故 ，故 ，
若选条件①：因为, 故sin2A+9cos2A=3，
结合in2A+cos2A=1解得故，
因为，故A,C均为锐角，故，
所以，故，
所以，故 的 面积为.
若选择条件②，则两式相乘可得 ，从而 或 和 互为补角.但是 ，所以 ，因此A和C互为余角，即 .
又因为A和C互为余角，则 ，结合 知 .
而 ，所以 ， ，进一步可得 ， ， .
若选择条件③，则由（1）知 .结合 可知 ， .
由勾股定理知 ，解得 ， ，
【考点】二倍角的正弦公式；同角三角函数基本关系的运用；正弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）在不同的三角形利用正弦定理可得 ，再利用二倍角公式可得不等式.
（2）选①，利用正弦定理和同角三角函数的关系式可求，求出边长后可得三角形面积，若选②，利用（1）的结论可得 ，从而可得B为直角，求出边长后可求面积.
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