精讲精练·专项突破 第六章《平面向量及其应用》单元能力提升（含详细解析） (41)

精讲精练·专项突破
2021-2022学年高一下学期人教版（2019）
第六章 《平面向量及其应用》 单元能力提升（含详细解析）
一、单选题
1．（2021高三上·灵丘开学考）在 中， ，P为BD上一点，若 ，则实数 的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【考点】向量的共线定理
【解析】【解答】由题知B，P，D三点共线，所以 ，所以 ， ，
故答案为：D．
【分析】由三点共线的性质结合向量共线定理，代入数值计算出结果即可。
2．（2020高一上·玉林期末）在 中， ，则 （　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【考点】向量加减混合运算及其几何意义
【解析】【解答】因为 ，
所以 ， ．
故答案为：A
【分析】由向量的加减运算性质，整理计算出结果即可。
3．（2021高二上·滕州期中）已知四面体ABCD，=，=，=，点M在棱DA上，=，N为BC中点，则＝（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【考点】平面向量的基本定理及其意义
【解析】【解答】在四面体ABCD中，连接DN，如图所示，
=，=，=，因=，N为BC中点，则，，
于是得。
故答案为：C
【分析】在四面体ABCD中，连接DN，再利用=，=，=结合=，N为BC中点，再结合中点的性质和共线定理、平行四边形法则以及三角形法则，从而利用平面向量基本定理得出。
4．（2021高一下·金湖月考）已知 ，且关于 的方程 有等根，则向量 与 的夹角是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【考点】数量积表示两个向量的夹角
【解析】【解答】由题意可得 ，
即 ，
又 ，所以向量 与 的夹角是 .
故答案为：B
【分析】 利用二次方程有实根的充要条件列出方程，利用向量的数量积公式及已知条件求出夹角．
5．（2021高一下·石家庄期末）已知函数 ， 图像上每一点的横坐标缩短到原来的 ，得到 的图像， 的部分图像如图所示，若 ，则 等于（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【考点】平面向量数量积的含义与物理意义；三角函数的周期性及其求法
【解析】【解答】根据
，
可得 ，故 ，
所以 ，故 的周期为24，所以 ， 。
故答案为：A．
【分析】利用数量积的定义结合诱导公式，从而求出角的值，从而求出AD的长，再利用正弦型函数的最小正周期公式结合正弦型函数的部分图象，从而求出 的值，再利用正弦型函数f(x)的部分图像求出其解析式，再结合正弦型函数的图象变换求出正弦型函数g(x)的解析式。
6．（2021·邵阳模拟）在平行四边形ABCD中，，则（　　）
A．-5 B．-4 C．-3 D．-2
【答案】A
【考点】平面向量的基本定理及其意义；数量积的坐标表达式；平面向量数量积的运算
【解析】【解答】，，
，，
，
。
故答案为：A
【分析】利用已知条件结合三角形法则和平行四边形法则，再结合数量积求向量的模的公式，再利用数量积的运算法则，进而求出数量积的值，即求出的值。
7．（2021高三上·郫都月考）如图所示，为测量某不可到达的竖直建筑物 的高度，在此建筑物的同一侧且与此建筑物底部在同一水平面上选择相距10米的 ， 两个观测点，并在 ， 两点处分别测得塔顶的仰角分别为 和 ，且 ，则此建筑物的高度为（　　）
A． 米 B． 米 C．10米 D．5米
【答案】B
【考点】余弦定理；解三角形的实际应用
【解析】【解答】设 ，则 ， ，
在 中，由余弦定理可得 ，
即 ，
整理得 ，解得 或 （舍），
故答案为：B.
【分析】设AB = x，由图利用直角三角形的性质可得: ， ，在△BCD中，由余弦定理即可得出答案.
8．（2021高二下·平顶山期中）在钝角中，分别是的内角所对的边，点是的重心，若，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【考点】解三角形；余弦定理的应用
【解析】【解答】延长交于，如下图所示：
为 的重心， 为 中点且 ，
， ， ；
在 中， ；
在 中， ；
， ，
即 ，整理可得： ， 为锐角；
设 为钝角，则 ， ， ，
， ，解得： ，
， ，
由余弦定理得： ，
又 为锐角， ，即 的取值范围为 .
故答案为：C.
【分析】延长 交于，由重心性质和直角三角形特点可求得，由，利用余弦定理可构造等量关系得到，由此确定C为锐角，则可假设A为钝角，得到，，由此可构造不等式组求得的取值范围，在利用余弦定理可得，利用的范围，结合C为锐角可求得的取值范围.
二、多选题
9．（2020高一上·德州期末）下列说法中正确的是（　　）
A．两个非零向量 ， ，若 ，则
B．若 ，则有且只有一个实数 ，使得
C．若 ， 为单位向量，则
D．
【答案】A,D
【考点】向量的模；单位向量；相等向量与相反向量；向量的共线定理
【解析】【解答】A：由已知得： ，整理可得 ，故 . 正确；
B：由 ，则 ，而当 时， 可为任意实数或不存在. 错误；
C：由 ， 为单位向量，即 ，而 ， 不一定相等. 错误；
D：根据相反向量，知 . 正确.
故答案为：AD
【分析】由向量模的定义以及数量级的性质整理化简，即可判断出选项A正确；由共线向量的定理结合已知条件即可判断出选项B错误；由单位向量的定义以及性质即可判断出选项C错误；根据相反向量的定义以及性质即可判断出选项D正确，从而得出答案。
10．（2021高一下·杭州期末）已知平面向量 ， ，若 ， ， ，则（　　）
A．
B．向量 与向量 的夹角为
C．
D．向量 与向量 的夹角为
【答案】A,D
【考点】平面向量数量积的含义与物理意义；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
【解析】【解答】对A， ，
，
又 ， ，
即 ，
解得： ，A符合题意；
对B，D， ，
解得： ，
又 ，
故向量 与向量 的夹角为 ，B不符合题意，D符合题意；
对C， ，C不符合题意.
故答案为：AD.
【分析】利用已知条件结合数量积的定义，从而求出向量的模；利用已知条件结合数量积求向量夹角公式，从而求出向量 与向量 的夹角；利用已知条件结合数量积求向量的模的公式，从而求出向量的模，即 的值；从而找出正确的选项。
11．（2020高二上·沧县期末）如图，在长方体 中， ， ， 是侧面 的中心， 是底面 的中心，以 为坐标原点， ， ， 所在直线分别为 轴建立空间直角坐标系，则（　　）
A． 是单位向量
B． 是平面 的一个法向量
C．直线 与 所成角的余弦值为
D．点 到平面 的距离为
【答案】A,B,D
【考点】单位向量；数量积的坐标表达式；数量积判断两个平面向量的垂直关系；点、线、面间的距离计算；用空间向量求直线与平面的夹角
【解析】【解答】对于A， ， ， ，
， 为单位向量，A符合题意；
对于B， ， ， ，
， ，
，即 ， ， 平面 ，
是平面 的一个法向量，B符合题意；
对于C， ， ，
，
即异面直线 与 所成角的余弦值为 ，C不符合题意；
对于D， ， ， ，
由B知： 为平面 的一个法向量，
点 到平面 的距离 ，D符合题意.
故答案为：ABD.
【分析】（1）利用已知条件结合单位向量的定义，从而得出向量 是单位向量；再利用法向量的定义，从而得出 是平面 的一个法向量；利用已知条件结合数量积求向量夹角公式，从而求出异面直线 与 所成角的余弦值；利用已知条件求出点的坐标，再结合向量的坐标表示求出向量的坐标，再利用 为平面 的一个法向量，从而利用数量积求出点 到平面 的距离，进而找出正确的选项。
12．（2021高二上·温州期中）已知点 在平面 内，平面 法向量 ， 则下列点在 内的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A,C
【考点】平面向量数量积的运算；平面的法向量
【解析】【解答】对于A选项，记点 ， ， ，点 在平面 内；
对于B选项，记点 ， ， ，点 不在平面 内；
对于C选项，记点 ， ， ，点 在平面 内；
对于D选项，记点 ， ， ，点 不在平面 内.
故答案为：AC.
【分析】验证各选项中的点与点P连线的方向向量是否与 垂直，由此可得答案。
三、填空题
13．（2022高三上·重庆市月考）已知菱形ABCD的边长为1，，则　 　.
【答案】
【考点】平面向量数量积的运算
【解析】【解答】因为，所以，，
所以.
故答案为：.
【分析】由已知条件即可得出角的大小，然后由数量积运算公式计算出结果即可。
14．（2021高一下·惠州期末）已知向量 ， ， 为向量 与 的夹角，则 　 　．
【答案】
【考点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
【解析】【解答】由题意得， 。
故答案为： 。
【分析】利用已知条件结合数量积求向量夹角公式，进而求出两向量夹角的余弦值。
15．（2021高三上·福田月考）已知非零向量 满足 ， ，且 ，则 　 　.
【答案】4
【考点】向量的模；向量的三角形法则
【解析】【解答】如图所示,设 ,则 ,
以 为邻边作平行四边形 ,则 ,
由于 ,故 ,
所以 是直角三角形, ,
从而 ,所以平行四边形 是矩形,
根据矩形的对角线相等得 ,即 。
故答案为:4。
【分析】设 ,再利用三角形法则，则 ,以 为邻边作平行四边形 ,再结合平行四边形法则，则 ,再利用勾股定理判断出三角形 是直角三角形, 所以 ,从而 ,所以平行四边形 是矩形,根据矩形的对角线相等得 ,从而求出 的值。
16．（2021高一下·金台期中）向量，，在正方形网格中的位置如图所示，若＝λ＋μ (λ，μ∈R)，则　 　.
【答案】4
【考点】向量的线性运算性质及几何意义；平面向量的基本定理及其意义；平面向量坐标表示的应用
【解析】【解答】以向量，的交点为原点，建立直角坐标系，
则 =(-1,1)， =(6,2)， = (-1,-3)，由 =λ ＋μ ，得 ，即 解得 ， .
【分析】根据向量的线性运算的坐标表示得 ，从而得并求之即可.
四、解答题
17．（2021高二上·重庆期中）已知 中内角 ， ， 的对边分别是 ， ， ，且 .
（1）求角 ；
（2）若 ， ，求 的面积.
【答案】（1）
或 （舍去），所以 ；
（2）由余弦定理可知： ，
因此 的面积为： .
【考点】两角和与差的余弦公式；二倍角的余弦公式；余弦定理
【解析】【分析】(1)根据题意由两角和的余弦公式以及同角三角函数的基本关系式整理化简由此计算出cosC的值，进而求出角C的大小。
(2)由余弦定理代入数值计算出ab的值，再把数值代入到三角形的面积公式，计算出结果即可。
18．（2021高一下·山西期末）已知向量 ， ， .
（1）求函数 的单调递增区间和最小正周期；
（2）若当 时，关于 的不等式 有解，求实数 的取值范围.
【答案】（1）因为
所以函数 的最小正周期 ；
因为函数 的单调增区间为 ， ，
所以 ， ，
解得 ， ，
所以函数 的单调增区间为 ， ；
（2）不等式 有解，即 ；
因为 ，所以 ，又 ，
故当 ，即 时， 取得最小值，且最小值为 ，
所以 .
【考点】平面向量数量积的运算；正弦函数的单调性；正弦函数的零点与最值
【解析】【分析】（1）直接根据向量的数量积的运算求出 整理得到f (x) 解析式，再结合正弦函数的单调区间即可求出函数 的单调递增区间和最小正周期；
（2）转化为 ，结合变量的范围，求出其最小值，即可得出实数 的取值范围.
19．（2021高三上·西青期末）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足.
（1）求的值；
（2）求的值.
【答案】（1）解：由已知结合余弦定理得，∴.
由正弦定理得
∴.
∵，∴，
∵，∴
（2）解：因为，所以，则，
则，
所以
【考点】两角和与差的余弦公式；二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式；正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】（1） 由已知条件结合余弦定理得出，由正弦定理结合两角和的正弦公式和三角形内角和为180的度的性质以及诱导公式，再利用三角形中角B的取值范围，进而求出角A的余弦值。
（2）利用 结合同角三角函数基本关系式，得出角A的正弦值，再利用二倍角的正弦公式和余弦公式，进而求出角2A的正弦值和余弦值，再利用两角和的余弦公式得出 的值 。
20．（2021·嵊州模拟）已知抛物线 ，过点 的直线 交抛物线 于 两点，交 轴于点 ，分别过点 作直线 的垂线，垂足分别为 ，如图．
（1）若 （ 为坐标原点），求 的值；
（2）过 作直线 的垂线交 于点 ．记 ， 的面积分别为 ．若 ，求直线 的方程．
【答案】（1）设直线 为 ，设 ，则 ，
由 ，得 ，则 ，
因为 ，
所以 （舍）或4．
．
（2）由（1） （*）
．
，令
．①
由几何关系知． ． 不妨设 ．
又
将（*）代入
．②
由①②：
又 过点
．代入．
仅有一个解 ．
．
【考点】数量积的坐标表达式；点到直线的距离公式；抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】(1)根据题意由斜截式设出直线的方程以及点的坐标，再联立直线与抛物线的方程，消去y等到关于x的一元二次方程结合韦达定理即可得到关于k的两根之和与两根之积的代数式，再结合数量积的坐标公式整理得出关于t的方程，求解出t的值即可。
(2)由(1)的结论即可得出，设出直线的方程再点到直线的距离公式以及三角形的面积公式整理得出，再由几何关系解已知条件整理得出，联立两式得出，然后由点在直线上代入点的坐标整理得，求解出k的值由此得出直线的方程。
21．（2021·海淀期中）在如图所示的多面体中， ，四边形 为矩形， ， .
（1）求证：平面 平面 ；
（2）设平面 平面 ，再从条件① 条件② 条件③这三个条件中选择若干个作为已知，使二面角 的大小确定，并求此二面角的余弦值.
条件①： ；条件②： 平面 ；条件③：平面 平面 .
【答案】（1）证明：因为四边形 为矩形，所以 ，
又 平面 ； 平面 ；
所以 平面 ；
又 ， 平面 ； 平面 ；
所以 平面 ；
又 ，
所以平面 平面 ；
（2）解：选条件①： ；条件②： 平面 ；
以A为原点，以AB，AD，AE分别为x，y，z轴建立如图所示空间直角坐标系；
则 ，
所以 ，
设平面CDF的一个法向量为 ，即 ，
设平面EBF的一个法向量为 ，
则 ，即 ，
令 ，则 ，则 ，
设二面角 为 ，
所以
选条件①： ；条件③：平面 平面 .
因为 ，平面 平面 .
所以 平面
因为 ，
所以 平面 ，
所以
因为 ，
所以 ，即 ，
所以 ，
因为平面 平面 .
所以 平面 ，
以A为原点，以AB，AD，AE分别为x，y，z轴建立如图所示空间直角坐标系；
则 ，
所以 ，
设平面CDF的一个法向量为 ，即 ，
设平面EBF的一个法向量为 ，
则 ，即 ，
令 ，则 ，则 ，
设二面角 为 ，
所以
【考点】平面向量数量积的运算；直线与平面平行的判定；直线与平面平行的性质
【解析】【分析】(1)根据题意首先由矩形的性质即可得出线线平行，再由线面平行以及面面平行的判定定理即可得证出结论。
(2)根据题意 选条件①： ；条件②： 平面 ，建立空间直角坐标系求出各个点的坐标以及向量和平面CDF法向量的坐标，再由数量积的坐标公式即可求出平面CDF的法向量的坐标，同理即可求出平面EBF的法向量；结合空间数量积的运算公式代入数值即可求出夹角的余弦值，由此得到二面角 的余弦值。
选条件①： ；条件③：平面 平面 ，由线面垂直的性质定理即可得出线线垂直，再由勾股定理计算出边的大小，由此建立空间直角坐标系求出各个点的坐标以及向量和平面CDF法向量的坐标，再由数量积的坐标公式即可求出平面CDF的法向量的坐标，同理即可求出平面AEBF的法向量；结合空间数量积的运算公式代入数值即可求出夹角的余弦值，由此得到二面角 的余弦值即可。
22．（2021高一下·宣城期末）在 中， 所对的边分别为 ，向量 ，且 .
（1）求角 的大小；
（2）若 外接圆的半径为2，求 面积的取值范围.
【答案】（1）依题意得 ，由正弦定理得 ，
即 ，又 ，所以 ， ，故 .
（2）由正弦定理得 ， ，所以 的面积
由 得 ，则 ，所以 ，
故 .
【考点】正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】 (1 )由题意利用两个向量垂直的性质，两个向量的数量积公式，求得A的值；
(2)由题意利用正弦定理和余弦定理、基本不等式，求得bc的范围，可得△ABC面积的取值范围.
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