精讲精练·专项突破 第六章《平面向量及其应用》单元能力提升（含详细解析） (46)

精讲精练·专项突破
2021-2022学年高一下学期人教版（2019）
第六章 《平面向量及其应用》 单元能力提升（含详细解析）
一、单选题
1．（2021高一下·通化期中）在△ABC中，A= ，a=1，则 （　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【考点】正弦定理
【解析】【解答】由正弦定理得，
故答案为：C
【分析】由正弦定理直接求解即可.
2．（2021·四川模拟）在 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若 ， ， ，则c的值等于（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【考点】余弦定理
【解析】【解答】 ，
∴ ，又 ，则 ，
∴ ， ，又 ，故 ，
∴ .
故答案为：A.
【分析】由已知利用余弦定理可得 ，又 ，解得a，b的值，进而根据余弦定理即可求解 c的值 。
3．（2022·甘肃模拟）如图，AB是的直径，点C，D是半圆弧上的两个三等分点，，，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【考点】向量加减混合运算及其几何意义
【解析】【解答】画出图象如下图所示，
由于 是半圆弧 上的两个三等分点，
所以 是等边三角形，
所以 ，
所以四边形 是菱形，四边形 是菱形，
所以 .
故答案为：C
【分析】根据题意由圆和菱形的几何性质，结合向量的加减运算性质整理化简计算出结果即可。
4．（2021高二上·湖南月考）已知抛物线 上两点A、B满足 （O为坐标原点），且A、B分处对称轴的两侧，则直线AB过定点（　　）
A．（5，0） B．（1，0） C．（3，0） D．（2，0）
【答案】A
【考点】数量积的坐标表达式；恒过定点的直线；抛物线的简单性质
【解析】【解答】解：设 ， ，
则 ： .即 ，
又因为 ，解得 （舍）或 ，
则直线过点 ，
故答案为：A.
【分析】由已知条件设出点的再把，然后由点斜式设出直线的方程，并把结果代入到数量积公式，由此整理化简计算出结果即可。
5．（2021·河南模拟）若 的外心为 ，且 ，则 等于（　　）
A．5 B．8 C．10 D．13
【答案】C
【考点】平面向量数量积的含义与物理意义；平面向量数量积的运算
【解析】【解答】
。
故答案为：C．
【分析】利用已知条件结合数量积的运算法则，再结合数量积的定义，进而求出 的值。
6．（2021高一下·浙江期中）已知两非零向量 与 的夹角为 ，且 ，则 （　　）
A．8 B．6 C．4 D．2
【答案】C
【考点】向量的模；平面向量数量积的运算
【解析】【解答】 ，
整理可得： ，解得： 或 （舍）.
故答案为：C.
【分析】由 平方可得：即可求出答案。
7．（2021高二下·信阳月考）已知 ， 且 ，则向量 与 夹角的大小为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【考点】数量积表示两个向量的夹角
【解析】【解答】因为 ，所以 ，
又因为 ， ，
，
因为 ，
所以向量 与 的夹角的大小为 .
故答案为：B
【分析】 利用向量的夹角公式即可得出．
8．（2021高三上·新都月考）等腰直角三角形 中， ，点 为斜边 上的三等分点，且 ，则 （　　）
A． B． 或 C． D．
【答案】C
【考点】平面向量的基本定理及其意义；平面向量数量积的运算
【解析】【解答】根据题意，不妨设点 为斜边 上靠近点 的三等分点，
因为 ，且 ，
所以 ，
因此 ， ，
故 。
故答案为：C.
【分析】利用已知条件，设点 为斜边 上靠近点 的三等分点，再利用三角形法则结合共线定理，再结合平面向量基本定理，从而得出 ，因此 ， ，再利用数量积的运算法则结合数量积的定义，从而求出的值。
二、多选题
9．（2021高一下·宁德期末）设向量 ，则（　　）
A．
B．
C．
D． 在 上的投影向量为（1，0）
【答案】A,C,D
【考点】平面向量数量积的运算；向量的投影
【解析】【解答】 ， ， ，A对.
，所以B不符合题意，C对.
向量 在向量 上的投影为： ，投影向量为 .所以D对.
故答案为：ACD.
【分析】 根据平面向量数量积的运算性质逐一进行判断即可。
10．（2021高一下·辽宁期末）在 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，若 ，且 的面积为 ，则角 不可能是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A,C,D
【考点】两角和与差的余弦公式；二倍角的余弦公式；正弦定理
【解析】【解答】 ，
即 ，
所以 ， ，
利用正弦定理得： ，
将 代入可得： ，
因为 ，所以 或 ，
因为 ，且 ，所以 ，
所以 ，
角 不可能是 , ,
故答案为：ACD
【分析】 由已知利用二倍角公式，两角和与差的余弦函数公式化简可得.利用三角形的面积公式，正弦定理整理化简即可求出sinB的值，结合范围角B的取值范围即可求出角B的大小，再由已知条件整理，由此得出从而求出答案。
11．下列命题中是假命题的为（　　）
A．若向量 ，则 与 ， 共面
B．若 与 ， 共面，则
C．若 ，则 ， ， ， 四点共面
D．若 ， ， ， 四点共面，则
【答案】B,D
【考点】平面向量的基本定理及其意义；共线向量与共面向量
【解析】【解答】对于A：由平面向量基本定理得 与 ， 共面，A是真命题；
对于B：若 ， 共线， 不一定能用 ， 表示出来，B是假命题；
对于C：若 ，则 三个向量在同一个平面内， ， ， ， 四点共面，C是真命题；
对于D：若 ， ， 共线，点P不在此直线上，则 不成立，D是假命题；
故答案为：BD
【分析】利用已知条件和向量共面的判断方法，再结合平面向量基本定理和三点共线的判断方法，进而得出假命题的选项。
12．（2021高二上·常熟月考）已知向量 ， 满足 ， ， ，下列说法中正确的有（　　）
A． B．
C． 与 的夹角为 D．
【答案】A,C,D
【考点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；数量积判断两个平面向量的垂直关系
【解析】【解答】对于A，由 ，得 ，因为 ， ，所以 ，得 ，所以A符合题意，
对于B，因为 ，所以 不成立，所以B不符合题意，
对于C，因为 ，所以 ，因为 ， ，所以 ，因为 ，所以 ，所以C符合题意，
对于D，因为 ， ， ，所以 ，所以D符合题意，
故答案为：ACD
【分析】 利用向量数量积公式、向量垂直、向量的模、向量夹角公式直接求解.
三、填空题
13．若 与 平行，则实数m=　 　.
【答案】4
【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】【解答】因为 ，所以 ，解得 .
故答案为：4
【分析】利用向量平行的性质直接求解即可。
14．（2021高一下·南充期末）在 中， ， ， ，则 　 　.
【答案】
【考点】二倍角的余弦公式；余弦定理
【解析】【解答】由二倍角的余弦公式得 ，
由余弦定理得 ，
因此， 。
故答案为： 。
【分析】利用已知条件结合二倍角的余弦公式，从而求出角C的余弦值，再利用余弦定理求出AB的长。
15．（2021·浙江）已知平面向量 满足 .记向量 在 方向上的投影分别为x，y， 在 方向上的投影为z，则 的最小值为　 　.
【答案】
【考点】向量的模；平面向量数量积的性质及其运算律
【解析】【解答】由题意，设 ，
则 ，即 ，所以
依题意 ，所以 在 方向上的投影 ，
所以 ,则表示空间中坐标原点到平面的距离,
所以 ，
所以 的最小值为 .
故答案为： .
【分析】根据已知条件，先取特殊值并设，再由投影公式和点到平面的距离公式求解.
16．（2021高一下·湖州期中）法国数学家费马被称为业余数学之王，很多数学定理以他的名字命名．对而言，若其内部的点P满足，则称P为的费马点．如图所示，在中，已知，设P为的费马点，且满足．则的外接圆直径长为　 　．
【答案】
【考点】正弦定理；余弦定理
【解析】【解答】由已知，所以.
在 中， ，故 .
在 中，由正弦定理 （*）
而 ，
代入（*）式得 .
在 中，利用余弦定理 ，
在 中，利用正弦定理 ，
则 的外接圆直径长为 。
故答案为： 。
【分析】由已知条件结合三角形内角和为180度的性质，得出 的值，在中结合三角形内角和为180度的性质得出的值，在中，由正弦定理结合两角差的正弦公式得出PB的长，在中，利用余弦定理得出bc的长，在中，利用正弦定理的性质得出三角形的外接圆直径长。
四、解答题
17．（2021高二上·深圳期中）如图，在平行六面体 中， ， ， ， ， 为 与 的交点.若 ， ， .
（1）求 的长；
（2）求 与 所成角的余弦值.
【答案】（1）由题意得 ，
因为 ，所以 ，
， ，
所以
（2） ，所以 ，
所以
，
所以 与 所成角的余弦值为 .
【考点】向量加减混合运算及其几何意义；向量的线性运算性质及几何意义；平面向量数量积的运算；异面直线及其所成的角
【解析】【分析】(1)由向量的加减运算公式，结合数量积和向量模的运算公式，代入数值计算出结果即可。
(2)由已知条件结合向量模的运算性质计算出的值，然后把数值代入到数量积的夹角公式，计算出 与 所成角的余弦值。
18．（2021·龙岩模拟）在① ，② ，③ .三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题.
在 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足， .
（1）求角C;
（2）求 周长的取值范围．
【答案】（1）选①， ，
由正弦定理得， ，
因为 ，
所以 ，即 ，
由 为三角形内角得， ，
选②， ，
，
整理得， ，
由 为三角形内角得， ，
选③， ，
由三角形面积公式得， ，
故 ，
由 为三角形内角得， ，
（2）因为 ，
由余弦定理得， ，
故 ，
所以 ，当且仅当 时取等号，
解得， ，
因为 ，
故 ．
周长 的取值范围 ， ．
【考点】基本不等式；平面向量数量积的运算；正弦定理
【解析】【分析】（1）对条件 ① 运用正弦定理的 ，可得C值。对条件 ② 化简可得 ，得C值；对条件 ③ 运用向量内积计算可得C值。
（2） 因为 ，结合余弦定理得 ，得 ，所以 ，得出a+b的范围，进而求解周长范围。
19．（2021高一下·白城期末）已知向量 ， 满足 ， ， ．
（1）求 与 的夹角 ；
（2）求 ．
【答案】（1）设 与 的夹角 ，
因为 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
因为 ，
所以 ．
（2） ，
因为 ， ，
，
所以 ，
所以 ．
【考点】向量的模；平面向量数量积的运算；数量积表示两个向量的夹角
【解析】【分析】（1）根据向量的运算，结合向量的数量积求解即可；
（2）根据向量的运算，结合向量的模求解即可.
20．（2021高一下·滨海期末）在 中，已知内角 所对的边分别为 ，向量 ，向量 ，且 ∥ .
（1）求角 的大小；
（2）若 求 的取值范围；
（3）若 的内切圆的周长为 ，当 的值最小时，求 的面积.
【答案】（1） ∥ ， ，
，即
，
（2） 为钝角，从而
由正弦定理，得 ，
，
（3）由余弦定理得： ，
由题意可知： 的内切圆周长 ，
所以内切圆半径
如图，设圆 为 的内切圆圆心， ， 为切点，
可知 ≌ ，又 ，可得：
， ，
由切线长定理可知从圆外一点引圆的两条切线长相等，
，
化简得 (当且仅当 时取等号)
即
，或
又 ， ，即 ，
当且仅当 时， 的值最小为24，
此时 的面积：
【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示；正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】（1）由 ∥ 得 求出 ，即得角 的大小；
（2）由 得 为钝角，从而 ，再由正弦定理得 的取值范围；
（3） 由切线长定理可知从圆外一点引圆的两条切线长相等，再由余弦定理得 (当且仅当 时取等号) ，再由 ， 根据基本不等式求出 的面积 。
21．（2021高三上·大同）已知的内角的对边分别为，且.
（1）求；
（2）若角的平分线与交于点，且，求的值.
【答案】（1）方法一：由及余弦定理得，
整理得，所以.
方法二：由及正弦定理得，
又，
所以.
（2）由（1）可知，且，所以，
同理可得，
设的面积分别为，
则，
，，
由得，所以.
【考点】正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】(1)方法一:由已知利用余弦定理可求cosB的值；方法二:由已知及正弦定理，两角和的正弦函数公式，三角形内角和定理化简可求cosB的值；
(2)由已知利用二倍角公式可求 ，，设的面积分别为，利用三角形的面积公式，根据 ， 得 ，化简可求得 的值.
22．（2021高一下·河北期中）已知 的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 ， .
（1）若 ，求 的值及 的外接圆半径；
（2）若 的面积为4，求b和c的值.
【答案】（1）解：因为 ， 为三角形内角，所以 ；
又 ， ，所以由正弦定理可得： （其中 为 的外接圆半径），
因此 ，
（2）解：因为 的面积为4， ， ，
所以 ，因此 ；
由余弦定理可得 ，
所以
【考点】正弦定理；余弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合同角三角函数基本关系式和三角形中角B的取值范围，进而求出角B的正弦值，再利用正弦定理的性质，进而求出角A的正弦值和三角形 的外接圆半径。
（2）利用三角形面积公式结合已知条件，进而求出c的值，再利用余弦定理，进而求出b的值。
1 / 1