精讲精练·专项突破 第六章《平面向量及其应用》单元能力提升（含详细解析） (48)

精讲精练·专项突破
2021-2022学年高一下学期人教版（2019）
第六章 《平面向量及其应用》 单元能力提升（含详细解析）
一、单选题
1．（2021高二上·丰台期中）如图，已知正方体 的棱长为1，设 ， ， ，则 （　　）
A．1 B． C． D．2
【答案】A
【考点】向量加减混合运算及其几何意义；平面向量数量积的运算
【解析】【解答】解：根据向量的加法法则得 ，
因为正方体的边长为1， 为体对角线，所以 ，
所以在直角三角形 中，
所以
故答案为：A
【分析】根据题意由正方体的几何性质，结合斜率的加、减运算性质以及数量积的公式代入数值计算出结果即可。
2．（2021·武昌模拟）已知向量 ，则下列向量中与 垂直的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【考点】数量积的坐标表达式；数量积判断两个平面向量的垂直关系
【解析】【解答】对于A选项，零向量与任何非零向量平行， A选项不满足条件；
对于B选项， ，B选项不满足条件；
对于C选项， ，C选项不满足条件；
对于D选项， ，D选项满足条件.
故答案为：D.
【分析】利用两向量垂直数量积为0的等价关系，再结合数量积的坐标表示，从而找出与 垂直的向量。
3．（）已知D，E为所在平面内的点，且，，若，则（　　）
A．-3 B．3 C． D．
【答案】A
【考点】平面向量的基本定理及其意义
【解析】【解答】因为，
则 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ， ，
故 。
故答案为：A.
【分析】利用已知条件结合三角形法则、共线定理和平面向量基本定理，进而得出m,n的值，从而得出 的值。
4．（2021高一下·天津期中）在 中，角 所对的边分别为 ，下列条件使 有两解的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【考点】解三角形；正弦定理；余弦定理
【解析】【解答】A. 由余弦定理可得
的三边分别为 ，所以满足条件的三角形只有一个.
B. ，则 , 由正弦定理可得
所以 ， 的三边为定值，三个角为定值，所以满足条件的三角形只有一个.
C. 由 ，则由正弦定理可得
所以 , 由 则 ，所以角 为一确定的角，且 ，
则角角 为一确定的角，从而边 也为定值，所以满足条件的三角形只有一个.
D. 作 ,在 的一条边上取 ，过点 作 垂直于 的另一边，垂足为 .
则 ,以点 为圆心，4为半径画圆弧，
因为 ，所以圆弧与 的另一边有两个交点
所以 均满足条件，所以所以满足条件的三角形有两个.
故答案为：D
【分析】 根据题意由已知结合正弦定理及余弦定理分别检验各选项即可判断.
5．（2021·奉贤模拟）如图， 面 ， 为矩形，连接 ，下面各组向量中，数量积不一定为零的是（　　）
A． 与 B． 与
C． 与 D． 与
【答案】A
【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系
【解析】【解答】由 面 ， 为矩形，
A： 面 ，则 ，而 与 不一定垂直，不一定有 面 ，故 不一定与 垂直，所以 与 数量积不一定为0，符合题意；
B：由A知 ，又 且 ，则 面 ，又 面 ，所以 ，即 与 数量积为0，不合题意；
C：由上易知 ，又 且 ，则 面 ，又 面 ，所以 ，即 与 数量积为0，不合题意；
D：由上知 ，而 ，所以 ，即 与 数量积为0，不合题意；
故答案为：A.
【分析】利用线面垂直的定义推出线线垂直，再利用矩形的结构特征推出线线垂直，再结合已知条件和数量积为0两向量垂直的等价关系，进而选出各组向量中，数量积不一定为零的选项。
6．（2021高二上·河南月考）双曲线的左、右焦点分别为、，过点且斜率为的直线与双曲线的左右两支分别交于P、Q两点，若，则双曲线C的离心率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【考点】双曲线的定义；双曲线的简单性质；余弦定理
【解析】【解答】由题意，可得，
因为，所以，
又，所以，
在△中，，即，
由余弦定理，可得，
整理得，则，即，解得，
因为，所以.
故答案为：C.
【分析】利用双曲线的定义结合余弦定理，列出关系式得，求解可得双曲线的离心率。
7．（2022·广西模拟）已知双曲线的左 右焦点分别为，，点是双曲线渐近线上一点，且(其中为坐标原点)，交双曲线于点，且，则双曲线的离心率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【考点】双曲线的定义；双曲线的简单性质；余弦定理
【解析】【解答】根据双曲线的对称性，不妨设点在第二象限，设，因为，点到直线的距离，
所以 ，因为 ，所以 ，因为 ，所以 ，
由双曲线的定义可知 ，在 中，由余弦定理可得 ，整理得 ，
所以 ，即离心率 .
故答案为：C.
【分析】设 ，确定点到直线的距离，进而确定，结合双曲线的定义可得，进而在中由余弦定理即可求出a=b,即可求解。
8．（2021·南昌模拟）已知 是边长为 的正三角形， 为该三角形内切圆的一条弦，且 .若点P在 的三边上运动，则 的最大值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【考点】向量的三角形法则；平面向量数量积的运算
【解析】【解答】如图所示，在 中，内切圆的半径 ，
在 中， ，
， ，
取 的中点 ，连结 ，
，
当 ， 分别取最大值时， 取得最大值，
当点 运动到三角形的顶点，且顶点与 的连线垂直于 时， ， 分别取最大值时， 。
故答案为：B.
【分析】在 中，利用已知条件求出内切圆的半径，在 中， ，再利用余弦定理求出 的值，进而求出 的值 ，取 的中点 ，连结 ，再利用数量积的运算法则得出 ，当 ， 分别取最大值时， 取得最大值，所以当点 运动到三角形的顶点，且顶点与 的连线垂直于 时， ， 分别取最大值时，从而求出 的最大值 。
二、多选题
9．（2021·天河模拟）设向量 ， ，则（　　）
A． B．
C． D． 与 的夹角为
【答案】C,D
【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示；数量积表示两个向量的夹角；数量积判断两个平面向量的垂直关系
【解析】【解答】对于A， ， ， ， ，A不符合题意；
对于B， ， ， ，又 ，则 ， 与 不平行，B不符合题意；
对于C，又 ， ，C符合题意；
对于D，又 ，又 与 的夹角范围是 ， 与 的夹角为 ，D符合题意.
故答案为：CD.
【分析】利用已知条件结合向量的模的坐标表示；两向量共线的坐标表示；两向量垂直数量积为0的等价关系和数量积的坐标运算；两向量的数量积求向量夹角公式，进而找出正确的选项。
10．（2021·宁德模拟）已知向量 ， ， 满足 ， ， ，设 ， 的夹角为 ，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】B,C
【考点】数量积表示两个向量的夹角
【解析】【解答】解：∵ ， ，
∴ ， ，得 ， ，A不符合题意；
又 ，则 ，则 ，B符合题意；
，又 ，∴ ，C符合题意；
∵ ，∴ 与 不垂直，D不符合题意.
故答案为：BC．
【分析】 由已知求解方程组可得 ， ，求模判断A ;由 判断B；由数量积求夹角判断C；由数量积不为0判断D.
11．（2021高二上·河北月考）如图，在平行六面体 中， ， ， ， ，则（　　）
A．
B．
C．
D．
【答案】C,D
【考点】向量加减混合运算及其几何意义；平面向量数量积的运算
【解析】【解答】解：对于A：在平行六面体 中，有 ， ，A不符合题意；
对于B： ， ， ， ，又 ，∴ ，B不符合题意；
对于C： ，
，
由题知， ， ， ， ，所以， ，C符合题意；
对于D： ， ，
．所以 ．D符合题意，
故答案为：CD．
【分析】由平行六边形的几何性质结合向量的加减运算性质，即可得到线线平行由此判断出选项A错误；由向量的加减运算性质即可得到，由此得到角的大小然后由边之间关系即可判断出选项B错误；由三角形中的几何计算关系即可求出角的大小，然后由数量积的运算性质计算出结果由此判断出选项C正确；由向量以及数量积的运算性质代入数值计算出结果，由此判断出选项D正确，由此得出答案。
12．若 ， ， 是三个不共面的单位向量，且两两夹角均为 ，则（　　）
A． 的取值范围是
B． 能构成空间的一个基底
C．“ ”是“P，A，B，C四点共面”的充分不必要条件
D．
【答案】B,D
【考点】向量的线性运算性质及几何意义；平面向量的基本定理及其意义；余弦定理
【解析】【解答】因 ， ， 是三个不共面的单位向量，且两两夹角均为 ，则三棱锥 是侧棱长为1的正三棱锥，如图，
作 平面 于点 ，连接 ，则 ，
， ， 中，由余弦定理得 ，
于是得 ，A不正确；
因 ， ， 是不共面的，由空间向量基底的意义知，B符合题意；
假定P，A，B，C四点共面，依题意，存在唯一实数对 使得 ，即 ，
而 ，由空间向量基本定理知 ，此方程组无解，则有P，A，B，C四点不共面，
“ ”是“P，A，B，C四点共面”的不充分不必要条件，C不正确；
，D符合题意.
故答案为：BD
【分析】利用向量的夹角的定义判断A；利用空间向量的基底的性质判断B；利用共面向量定理判断C；利用向量数量积公式判断D.
三、填空题
13．（2021·海淀模拟）已知向量 ，且 ，则 　 　
【答案】6
【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】【解答】由向量 ，若 ，可得 ．
故答案为：6．
【分析】由 可得 ，计算可求出t的值。
14．（2021高一下·丹东期末）中国古代的数学具有很高水平，宋代数学家秦九韶在1247年独立提出了“三斜求积术”，是据三角形三边长度计算三角形面积的算法：以少广求之，以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积．也就是说：若 的三边长度分别为 ， ， ，则 的面积 ．那么“三斜求积术”的这个公式中的①处应该填写的式子是　 　．（用关于 ， ， 的式子表示）
【答案】
【考点】同角三角函数间的基本关系；余弦定理
【解析】【解答】解：因为
，
所以这个公式中的①处应该填写的式子是 ，
故答案为：
【分析】根据题意由同角三角函数的基本关系式结合余弦定理整理得到，由已知条件即可得出答案。
15．（2021·江西模拟）设 ， 为非零向量，且 ，则 ， 的夹角为　 　.
【答案】
【考点】数量积表示两个向量的夹角
【解析】【解答】由 ，平方得到 ，所以 夹角为 ，
故答案为： .
【分析】 根据题意， 平方得到 ，由向量垂直的性质分析可得答案.
16．（2020高二上·怀仁期末）如图， 为椭圆 上一个动点，过点 作圆 ： 的两条切线，切点分别为 ， ，则当四边形 面积最大时， 的值为　 　．
【答案】
【考点】数量积的坐标表达式
【解析】【解答】连接 ，设 ，则 ，由切线的性质知 ，所以 ，故四边形 面积最大时，即 最大，且 .易知当点 为椭圆的左顶点时， 最大，所以 ，如图所示，
此时 ， ， ，所以 ，
.
【分析】 由已知条件作出辅助线，连接PC，设，由此得出当四边形PACB面积最大时，就是IPAI最大，结合椭圆性质可得当点P在椭圆左顶点时|PC|最大，利用向量数量积公式代入数值计算出结果即可。
四、解答题
17．（2021·永州模拟）已知函数 .
（1）求函数 的最小正周期；
（2）在 中，角 所对边分别为 ，若 ， ， 的面积为 ，求 外接圆的面积.
【答案】（1）解：
，
所以函数 的最小正周期为
（2）解：因为 ，所以 ，
由 得 ，因为 ，所以 ，
由余弦定理得 ，
得 .
设 外接圆半径为 ，则 ，∴ ，
所以 外接圆的面积为
【考点】两角和与差的正弦公式；二倍角的余弦公式；余弦定理；正弦函数的周期性
【解析】【分析】(1)根据题意由二倍角的余弦公式以及诱导公式整理化简再由正弦函数的周期公式计算出答案即可。
(2)根据题意由点的坐标代入到函数的解析式求出A的值，再由三角形的面积公式计算出c的值然后由余弦定理代入数值计算出结果即可。
18．（2021高三上·深圳月考）在 中，角 、 ， 所对的边分别为 ， ， ， ．
（1）求 ；
（2）点 在 外， ， ，若四边形 的面积为 ，证明：四边形 为梯形．
【答案】（1）解：由 及正弦定理得 ，
所以 ，
所以 ，
在 中， ，所以 ，
所以 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，
因为 ，所以
（2）解：证明：设 ， ．
因为 ， ， ，
所以 ，
因为四边形 的面积为 ，所以 ，即 ，①
在 中，由余弦定理得 ，
在 中，由余弦定理得 ．
所以 ，化简得 ，②
由①②得 ， ，
所以 ， ， ，
所以 ，与 互补，
所以 ，
因为 ，所以四边形 是梯形．
【考点】两角和与差的正弦公式；正弦定理；余弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合正弦定理，再结合两角和的正弦公式和三角形中内角和为180度的性质，再结合诱导公式，从而结合三角形中角A和角B的取值范围，进而求出角B的值。
（2） 设 ， ，利用 ， ， ，再结合三角形的面积公式得出 ， ，再利用四边形 的面积为 ，从而结合求和法得出 ，①，在 中，由余弦定理得 ，在 中，由余弦定理得 ，所以 ，②，由①②得出m,n的值，所以 ， ， ，所以 与 互补，所以 ，再利用 结合梯形的定义，从而证出四边形 是梯形。
19．（2021高二上·安徽月考）已知向量 ， ， .
（1）求 ；
（2）若 ， ，求 .
【答案】（1）
.
（2）因为 ，所以 ，
又 ，所以 ，
所以 ，
故 .
【考点】平面向量数量积的运算；三角函数中的恒等变换应用；二倍角的正弦公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【分析】 (1)由平面向量数量积的运算化简可得 ；
(2)由已知条件可得 ，再利用同角三角函数基本关系式即可求出 ，再利用两角和的正弦公式，即可求出 .
20．（2021高一下·安达期末）某农场有一块如图所示的空地，其中半圆O的直径为300米，A为直径延长线上的点 米，B为半圆上任意一点，以 为一边作等腰直角 ，其中 为斜边．
（1）若 ，求四边形 的面积；
（2）现决定对四边形 区域地块进行开发，将 区域开发成垂钓中心，预计每平方米获利10元，将 区域开发成亲子采摘中心，预计每平方米获利20元，则当 为多大时，垂钓中心和亲子采摘中心获利之和最大？
【答案】（1）解：当 时，
平方米 ；
在 中，由余弦定理得，
；
平方米 ，
四边形 的面积为
平方米
（2）解：设 ，则 ，
所以 ，
在 中，由余弦定理得，
；
，
不妨设垂钓中心和亲子中心获利之和为y元，
则有 ；
化简得 ；
因为 ，
所以当 时，垂钓中心和亲子采摘中心获利之和最大．
【考点】正弦函数的定义域和值域；余弦定理的应用；三角形中的几何计算；正弦函数的零点与最值
【解析】【分析】（1）根据三角形的面积公式，结合余弦定理求解即可；
（2）根据根据三角形的面积公式，结合余弦定理，运用正弦函数的性质求解即可.
21．（2021·永州模拟）如图，在平面四边形ABCD中， ， ， ．
（1）若 ，求 的面积；
（2）若 ， ，求角 的大小．
【答案】（1）解：在 中，由余弦定理可知：
或 （舍）
（2）解：由已知 ，
即
又
在三角形△BDC中，由正弦定理知：
代入数据得：
在 中， .
【考点】同角三角函数间的基本关系；正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】（1） 由已知利用余弦定理可得 ，进而根据三角形的面积公式可求 的面积 ；
（2）由题意利用诱导公式可求 ， 利用同角三角函数基本关系式可求 ， 利用两角和的正弦公式可求 ， 在 △BDC 中，由正弦定理BD，利用同角三角函数基本关系式可求 结合A为锐角，可得A的值.
22．（2021高一下·中山期末）已知 中， 的对边分别为 且 .
（1）判断 的形状，并求 的取值范围；
（2）如图，三角形 的顶点 分别在 上运动， ， ，若直线 直线 ，且相交于点 ，求 ， 间距离的取值范围.
【答案】（1）由 可得 ，
则 ，所以 ，则 ，所以 ，
因此 ，即 ，则 为直角三角形， ；
所以 ，所以 ，则 ，
因此 ，
因为 ，所以 ，则 ；
（2）不妨记 ，其中 ，则 ，
由余弦定理可得， ，
因为 ，所以 ，则 ，所以 ，
则 .
【考点】平面向量数量积的运算；三角函数中的恒等变换应用；余弦定理
【解析】【分析】 (1)利用向量的数量积公式，结合余弦定理，判断三角形为直角三角形，再利用辅助角公式，可求sinA+sinB的取值范围；
(2) 不妨记 ，其中 则 ， 由余弦定理可得， ，利用辅助角公式，即可得出结论.
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