精讲精练·专项突破 第六章《平面向量及其应用》单元能力提升(含详细解析) (50)

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名称 精讲精练·专项突破 第六章《平面向量及其应用》单元能力提升(含详细解析) (50)
格式 docx
文件大小 238.7KB
资源类型 试卷
版本资源 人教A版(2019)
科目 数学
更新时间 2022-04-18 16:27:35

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文档简介

精讲精练·专项突破
2021-2022学年高一下学期人教版(2019)
第六章 《平面向量及其应用》 单元能力提升(含详细解析)
一、单选题
1.(2021·湖北模拟)已知向量 , 满足 , , ,则 (  )
A. B. C. D.
【答案】B
【考点】向量的模;平面向量数量积的运算
【解析】【解答】由已知,得 ,结合 , 得 ,
解得 ,
所以 ,即 .
故答案为:B.
【分析】首先由向量的运算性质整理化简即可求出,然后由向量模的性质计算出结果即可。
2.(2022高三上·朝阳期末)在直角坐标平面内,为坐标原点,已知点,将向量绕原点按逆时针方向旋转得到,则的坐标为(  )
A. B. C. D.
【答案】B
【考点】平面向量的坐标运算
【解析】【解答】设,且,则,
所以,解得,
则,
故答案为:B.
【分析】根据题意设出点的坐标,由向量的坐标公式结合已知条件计算出x与y的取值,由此即可得出向量的坐标。
3.(2021高一下·武清月考)在 中,若 ,则 的值为(  )
A.30° B.60° C.30°或150° D.60°或120°
【答案】A
【考点】正弦定理;三角形中的几何计算
【解析】【解答】解:因为在 中, ,
所以由正弦定理得 ,即 ,
解得 ,
因为 ,所以 ,
所以 ,
故答案为:A
【分析】根据题意由正弦定理代入数值求出sinA的值,由三角形的性质结合角的取值范围即可求出角A的大小。
4.(2021高一下·杭州期中)已知O为的外心,,则的值为(  )
A. B. C. D.
【答案】A
【考点】平面向量数量积的性质及其运算律;二倍角的余弦公式
【解析】【解答】设的外接圆的半径为R,
∵,
∴,且圆心在三角形内部,

∴,

根据圆心角等于同弧对应的圆周角的两倍得:

解得=
故答案为:A
【分析】由 可得,同时平方可求出,由圆的性质可知,再由二倍角公式即可求出结果。
5.(2021·义乌模拟) 的三内角 所对的边分别是 ,下列条件中能构成 且形状唯一确定的是(  )
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【考点】两角和与差的余弦公式;正弦定理;三角形的形状判断
【解析】【解答】对于A选项:
,则 或
时, , 是 , 的直角三角形, 时,
由正弦定理得 , , 是正三角形,不唯一,A不正确;
对于B选项:由正弦定理得 ,则 或 ,不唯一,B不正确;
对于C选项:由正弦定理得: ,
由余弦定理得 ,则 ,而 ,矛盾,不能构成三角形,C不正确;
对于D选项:由三角形边的关系知1故答案为:D
【分析】由两角和的余弦公式整理化简原式,由此得出三角形的形状,再由正弦定理即可得出三角形的形状,由此判断出选项A错误;由正弦定理即可求出角B的大小,由此得出选项B错误;由正弦定理即可判断出选项C错误;由三角形的几何性质即可判断出选项D正确,从而得出答案。
6.(2021高三上·月考)已知平面向量 与 的夹角为60°, , ,则 的值为(  )
A. B.2 C.4 D.
【答案】B
【考点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
【解析】【解答】因为 ,所以 ,又因为平面向量 与 的夹角为60°, ,
= = 。
故答案为:B
【分析】利用已知条件结合数量积求向量的模的公式和数量积的定义,从而求出 的值 。
7.(2021高三上·河南月考)在中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知,,则=
A. B. C.或 D.
【答案】B
【考点】同角三角函数间的基本关系;正弦定理
【解析】【解答】利用正弦定理,同角三角函数关系,原式可化为:,
去分母移项得:,
所以:,所以.
由同角三角函数得:,
由正弦定理,解得所以或(舍).
故答案为:B.
【分析】已知等式左边通分并利用同角三角函数间的基本关系化简,右边利用两角和的正弦公式化简,整理后求出cosA的值,由同角三角函数间的基本关系求出sinA的值,由a与c的值,利用正弦定理求出sinC的值,即可求出C的度数.
8.(2021高三上·辽宁月考)在 中,内角所 对的边分别为 ,若 则 的形状是(  )
A.等腰三角形 B.等边三角形
C.等腰直角三角形 D.钝角三角形
【答案】B
【考点】向量的三角形法则;向量加减混合运算及其几何意义;三角形的形状判断
【解析】【解答】因为 ,
所以
所以 ,
所以
故 为等边三角形.
故答案为:B.
【分析】根据向量运算的三角形法则,非共线向量之和为零向量,则其系数为零,得到三角形三边关系,即可确定三角形形状。
二、多选题
9.(2020高一上·辽阳期末)若向量 与 共线,则(  )
A. B.
C. D.
【答案】A,D
【考点】向量的模;向量的共线定理
【解析】【解答】因为 ,所以 ,即 .
因为 ,所以 .
故答案为:AD.
【分析】由向量共线可得,求解出,进而得的坐标,再根据模长公式可得。
10.(2022·重庆模拟)在正方体 中, 分别为 的中点,若过点 且与直线 垂直的平面 截正方体所得截面图形为三角形,则直线 可以是(  )
A. B.CE C. D.
【答案】B,D
【考点】数量积的坐标表达式;直线与平面垂直的判定;空间向量运算的坐标表示
【解析】【解答】设正方体的边长为2,设 分别是 的中点,
建立如图所示空间直角坐标系,


对于A选项, , ,
设平面 的法向量为 ,
则 故可设 , ,
即 是平面 的法向量,即 平面 ,
所以直线 不可以是 ,A选项错误.
对于B选项, ,
,所以 ,
由于 ,所以 平面 ,
所以直线 可以是 ,B选项正确.
对于C选项, ,
,所以 ,
由于 ,所以 平面 .
所以直线 不可以是 ,C选项错误.
对于D选项, ,
所以 ,
由于 ,
所以 平面 ,
所以直线 可以是 ,D选项正确.
故答案为:BD
【分析】根据题意建立空间直角坐标系,由此求出各个点以及向量的坐标,结合数量积的坐标公式计算出平面的法向量,由线面垂直的判定定理结合正方体的几何性质,由此对选项逐一判断即可得出答案。
11.(2021高一下·宿迁期末)已知 是△ 所在平面内一点,则下列说法正确的是(  )
A.若 ,则 是△ 的重心
B.若向量 ,且 ,则△ 是正三角形
C.若 是△ 的外心, , ,则 的值为-8
D.若 ,则
【答案】B,C,D
【考点】平面向量数量积的运算
【解析】【解答】对于选项 ,因为 ,所以 ,即 , ,同理 , ,则 是△ 的垂心,故 错误;
对于选项 ,设 的中点为 , ,即 , , , 为△ 的重心,
又 , 为 的外心.故△ 的形状是等边三角形,故 正确;
对于选项 ,如图,过 作 , 垂足分别为 , ,
则 , 分别是 , 的中点,
则 ;故 正确;
对于选项 ,延长 至 ,使 ;延长 至 ,使 ,则 , 为△ 的重心,

, , ,
,故 正确.
故答案为:BCD.
【分析】 由平面向量数量积的性质及运算,逐一检验可得解.
12.(2021·青岛模拟)已知曲线 分别为曲线C的左右焦点,则下列说法正确的是(  )
A.若 ,则曲线C的两条渐近线所成的锐角为
B.若曲线C的离心率 ,则
C.若 ,则曲线C上不存在点P,使得
D.若 为C上一个动点,则 面积的最大值为
【答案】A,B,D
【考点】椭圆的标准方程;椭圆的简单性质;双曲线的简单性质;余弦定理
【解析】【解答】对于A选项,当 时,曲线 表示焦点在 轴上的双曲线,渐近线方程为 ,故渐近线的倾斜角分别为 ,所以曲线C的两条渐近线所成的锐角为 ,A选项正确;
对于B选项,离心率 ,则曲线C为焦点在 轴上的双曲线, ,故 ,所以 ,所以 ,B选项正确;
对于C选项,若 ,则曲线 表示焦点在 轴上的椭圆,此时 ,设椭圆C的短轴的一个顶点坐标为 ,则 ,故 为钝角,所以线 上存在点 ,使得 ,C选项错误;
对于D选项,若 ,则曲线 表示焦点在 轴上的椭圆,此时 , 为 上一个动点,则 面积的最大值为 ,D选项正确.
故答案为:ABD
【分析】A根据双曲线渐近线方程可渐近线的倾斜角分别为 ,所以曲线C的两条渐近线所成的锐角为 ,A选项正确。
B根据椭圆离心率和椭圆中a,b,c的关系可求出m=-27,故B正确。
C根据椭圆标准方程可判断C表示焦点在 轴上的椭圆,再结合余弦定理即可判断C错误。
D根据椭圆标准方程和椭圆性质可判出P在短轴顶点时 面积的最大,根据三角形面积公式即可求出为 ,故D正确。
三、填空题
13.(2021·乌鲁木齐模拟)如图是2002年在北京召开的第24届国际数学家大会的会标,会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的.所谓弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成一个大正方形.若 ,设 ,则 的值为   .
【答案】
【考点】平行向量与共线向量
【解析】【解答】解:设 , ,
在三角形 中, ,

如图过 作 的延长线的垂线,垂足为 ,连接 .


, ,

故答案为: .
【分析】利用三角形ABC找到边长之间的关系,利用向量的共线可以直接解出。
14.(2021高一下·隆阳期中)在中,已知,则BC的长为   .
【答案】
【考点】余弦定理
【解析】【解答】在中,已知,
则由余弦定理可得

故答案为:
【分析】由余弦定理即可求解。
15.(2021高二上·河南期末)在平行六面体中,底面ABCD为正方形,,,,若,则   .
【答案】
【考点】平面向量数量积的含义与物理意义;平面向量数量积的运算
【解析】【解答】

故答案为:。
【分析】利用已知条件结合平面向量基本定理结合数量积的运算法则和数量积的定义,进而求出角的余弦值。
16.(2021高三上·花都月考)在 中,a,b,c分别为内角A,B,C的对边, ,且满足 .若点D为 中点,则 长度的取值范围为   .
【答案】(1,+∞)
【考点】余弦定理
【解析】【解答】如图所示,因为 ,可得 ,
整理得 ,因为 ,所以 ,
在 中,可得 ,
在 中,可得 ,
代入可得 ,
因为 ,解得 ,所以 ,所以 ,
即 长度的取值范围为(1,+∞).
故答案为:(1,+∞).
【分析】首先由余弦定理整理化简得到,从而得到,在三角形中的几何计算关系结合余弦定理代入数值计算出,从而得出b的取值范围,由此即可得出。
四、解答题
17.(2021·肇庆模拟)在 中,内角 , , 的对边分别为 , , ,且 .
(1)求角 ;
(2)若 , ,求 的面积.
【答案】(1)解:由正弦定理,得 , , ,
又 ,所以 .
由余弦定理,得 ,
故 .
又 ,所以
(2)解:由余弦定理,得 .
联立方程组,得 ,
化简,得 ,
解得 ,
所以 的面积
【考点】正弦定理;余弦定理
【解析】【分析】(1)结合正弦定理整理化简已知的代数式即可得到,再由余弦定理代入数值计算出cosC的值,结合角的取值范围即可求出角C的值。
(2)由余弦定理整理得到关于a与b的方程组求解出其值,再把数值代入到三角形的面积公式计算出结果即可。
18.(2021高一下·青岛期中)已知向量 ,在复平面坐标系中,i为虚数单位,复数 对应的点为 .
(1)求 ﹔
(2) 为曲线 为 的共扼复数)上的动点,求 与 之间的最小距离;
(3)若 ,求 在 上的投影向量 .
【答案】(1)
所以 .
所以 .
所以
(2)由(1)可得 , ,
曲线 ,即 ,
因此曲线是复平面内以 圆心,半径为 的圆,
故 与 之间的距离为
所以 与 之间的最小距离为 .
(3)因为 ,
所以
此时 与 的夹角余弦为
与 方向相同的单位向量为
所以 在 上的投影向量
【考点】平面向量的坐标运算;复数的代数表示法及其几何意义;复数求模;三角函数的恒等变换及化简求值
【解析】【分析】(1)首先化简 =3,再计算 所以 .从而再计
(2)先计算出 1 ,再由 的表示的几何意义,即可求得结果。
19.(2021高二上·广州期中)已知圆C经过 , , 三点.
(1)求图C的方程:
(2)设点A在圆C上运动,点 ,且点M满足 ,求点M的轨迹方程.
【答案】(1)解:设圆 的方程为 ,将三点 , , 分别代入得:
,即 ,解得 ,
所以圆 的方程为:
(2)解:设 , ,由 则有, 得 又点A在圆C上运动,则 ,即 ,整理得:
所以点 的轨迹方程为 ,
是圆心为 ,半径为 的圆.
【考点】相等向量与相反向量;平面向量的正交分解及坐标表示;圆的标准方程;轨迹方程
【解析】【分析】(1)根据圆的标准方程求解即可;
(2)根据向量的坐标表示,结合相等向量的定义,利用相关点法求解即可.
20.(2021高一下·雅安期末)已知 的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.向量 , 且 .
(1)求角A;
(2)若 ,求 周长的最大值.
【答案】(1) , ,
, ,
, , , , .
(2)由正弦定理 得 , ,
所以周长

又 ,则 , ,
所以当 时,周长最大值是9.
【考点】函数的值域;数量积的坐标表达式;数量积判断两个平面向量的垂直关系;正弦定理;三角形中的几何计算
【解析】【分析】(1)利用已知条件结合数量积为0两向量垂直的等价关系,再利用数量积的坐标表示,从而结合三角形中角B的取值范围,进而结合同角三角函数基本关系式,从而求出角A的正切值,再利用三角形中角A的取值范围,进而求出角A的值。
(2)利用已知条件结合正弦定理,从而得出 , , 再利用三角形的周长公式结合两角差的余弦公式和辅助角公式,从而求出三角形的周长为正弦型函数,再利用三角形内角和为180度的性质结合(1)中角A的值,从而求出角B的取值范围,再利用正弦型函数图象求最值的方法,从而求出三角形 周长的最大值 。
21.(2020高三上·泰州期末)在 中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知 , , 成等差数列.
(1)求角B的大小;
(2)若 ,求 的值.
【答案】(1)解: , , 成等差数列,

由正弦定理, ,
中, , ,

又 , ,
, .
(2)解: , ,

.
【考点】等差数列的性质;两角和与差的正弦公式;正弦定理
【解析】【分析】(1)先由等差数列的性质建立方程,再由可得出B的余弦值,从而求出角B的值;
(2)根据同角三角函数基本关系式可得 ,再利用两角和的正弦公式即可求出 的值。
22.(2021高三上·深圳月考)已知 的面积为 , .
(1)求 的大小;
(2)若 ,求三角形内切圆半径 .
【答案】(1)解: ,
由正弦定理得: ,又 , ,

又 ,
(2)解: , ,解得: ;
由余弦定理得: ,
, ,

【考点】正弦定理;余弦定理
【解析】【分析】 (1)由已知利用三角形的面积公式,正弦定理可求 ,进而根据两角和的正弦
公式可求cosB的值,结合B的范围可求B的值;
(2)由三角形的面积公式可求 ,进而根据余弦定理可求a+c的值,设三角形内切圆半径为r,则= 即可求解三角形内切圆半径r.
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