精讲精练·专项突破 第六章《平面向量及其应用》单元能力提升（含详细解析） (52)

精讲精练·专项突破
2021-2022学年高一下学期人教版（2019）
第六章 《平面向量及其应用》 单元能力提升（含详细解析）
一、单选题
1．（2021高一下·雅安期末）已知向量 ， ，且 ，则m的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】【解答】因为 且 ，
，解得 。
故答案为：A．
【分析】利用已知条件结合向量的坐标运算，从而求出向量的坐标，再利用向量共线的坐标表示，从而求出m的值。
2．（2021高一下·连云港期末）已知轮船A和轮船B同时离开C岛，A船沿北偏东30°的方向航行，B船沿着正北方向航行．若A船的航行速度为40nmile/h，1h后，B船测得A船位于B船的北偏东45°的方向上，则此时A，B两船的距离是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【考点】正弦定理的应用
【解析】【解答】由图所示：由题意可知： ， ，
由正弦定理可知： 。
故答案为：A
【分析】利用实际问题的已知条件结合正弦定理，从而求出此时A，B两船的距离。
3．（2021高一下·宁波期中）设是的重心，且满足等式，则（　　）
A．45° B．60° C．90° D．120°
【答案】B
【考点】类比推理；正弦定理；余弦定理
【解析】【解答】∵，又因为是的重心，
∴，观察类比得： ，
由正弦定理知： ，则 ， ，
即得 ，∴。
故答案为：B．
【分析】利用 结合点是的重心，再利用三角形的重心的性质得出，再结合类比推理得出的值，再由正弦定理得出a,c的关系式以及b,c的关系式，再利用余弦定理得出角B的余弦值，进而得出角B的值。
4．（2021·湖北模拟）在 中， ， ， ，点 为 的外心，若 ，则 （　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【考点】平面向量的基本定理及其意义
【解析】【解答】由题得 ,
由余弦定理得 ，
所以 ，
因为点 为 的外心，
所以 ,
所以 ,（1）
同理 ,（2）
解（1）（2）得 .
故答案为：C
【分析】 由已知结合三角形外心性质及向量数量积的性质，利用平面向量基本定理即可求解.
5．（2021高一下·厦门期末）已知向量 ， 满足 ， ， 与 的夹角为 ，向量 是与 同向的单位向量，则向量 在向量 上的投影向量为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【考点】平面向量数量积的含义与物理意义；平面向量数量积的运算；向量的投影
【解析】【解答】 ，
向量 在向量 上的投影向量为 。
故答案为：B.
【分析】利用已知条件结合数量积的运算法则和数量积的定义，得出的值，再利用数量积的定义求出向量 在向量 上的投影向量。
6．（2021高二上·湖南月考）设向量 ， ， 满足 ， ， ， 的夹角为60°，则 的最大值等于（　　）
A．2 B． C． D．1
【答案】A
【考点】平面向量数量积的运算；余弦定理
【解析】【解答】 ， ，故
设 ， 的夹角为60°，故 ，又 ，故 四点共圆，
设圆的半径为R,故当 =2R时， 取最大，易得
故答案为：A
【分析】 利用向量的数量积求出 ， 的夹角;利用向量的运算法则作出图，结合图判断出四点共圆，利用正弦定理求出外接圆的直径，求出最大值.
7．（2022·福建模拟）某学生在“捡起树叶树枝，净化校园环境”的志愿活动中拾到了三支小树枝（视为三条线段），想要用它们作为三角形的三条高线制作一个三角形，经测量，其长度分别为、、，则（　　）
A．能作出一个锐角三角形 B．能作出一个直角三角形
C．能作出一个钝角三角形 D．不能作出这样的三角形
【答案】C
【考点】余弦定理；三角形的形状判断
【解析】【解答】设高分别为、、对应的底边长分别为、、（单位：），
则 ，设 ，则 ， ，
由三角形三边关系可知 ，这样的三角形存在，
设该三角形的最大内角为 ，则 ，则 为钝角，
故能作出一个钝角三角形.
故答案为：C.
【分析】设高分别为 、、对应的底边长分别为、、（单位：），则，设，则，，由三角形三边关系得出这样的三角形存在，设该三角形的最大内角为，再结合余弦定理得出角为钝角，从而判断出三角形的形状。
8．（2021高二下·昆明期末）已知 为坐标原点，点 ，动点 满足 ， 是直线 上的点，给出下列四个结论：
①点 的轨迹是圆；
② 的最大值为3；
③ 的最小值为1；
④ .
其中正确结论的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【考点】数量积的坐标表达式；两点间距离公式的应用；点到直线的距离公式；轨迹方程；直线与圆的位置关系
【解析】【解答】设 ，则 ，即 ，所以 点轨迹是圆，此圆圆心为 ，半径为 ． 是圆的一条直径，
点到直线 的距离为 ，直线与圆相离，
无最大值，最小值为2－1＝1，
由于已知直线与以 为直径的圆相离， ，因此①③④正确．
故答案为：C．
【分析】利用已知条件结合数量积的坐标表示得出点的轨迹是圆，此圆圆心为 ，半径为 ， 是圆的一条直径，再利用点到直线的距离公式求出圆心C到直线 的距离与半径的关系，再结合直线与圆位置关系判断方法，从而推出直线与圆的位置关系，从而推出P,Q两点的距离无最大值，有最小值，并求出其最小值，再利用直线与以 为直径的圆相离，得出 ，从而找出正确结论的个数。
二、多选题
9．（2020高三上·德州期末）已知向量 ，则（　　）
A．
B．
C．向量 在向量 上的投影是
D．向量 的单位向量是
【答案】A,B
【考点】单位向量；数量积的坐标表达式；数量积判断两个平面向量的垂直关系；向量的投影
【解析】【解答】 ，
对于A: ，A符合题意；
对于B: ，B符合题意；
对于C: 向量 在向量 上的投影是 ，C不符合题意；
对于D: 向量 的单位向量是 和 ，D不符合题意．
故答案为：AB．
【分析】利用已知条件结合两向量垂直数量积为0，再结合数量积的坐标表示，进而证出两向量垂直；再利用数量积求向量的模的公式，进而求出向量的模；再利用向量投影的定义结合数量积的定义，进而求出向量 在向量 上的投影，再利用单位向量的定义，进而求出向量的单位向量，进而找出正确的选项。
10．（2020高二上·荔湾期末）已知三棱锥 ， ， 分别是 ， 的中点， 为线段 上一点，且 ，设 ， ， ，则下列等式成立的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A,B,D
【考点】平面向量的基本定理及其意义
【解析】【解答】因为 为 的中点，所以 ，A符合题意；
，B符合题意；
， C不符合题意；
，D符合题意.
故答案为：ABD.
【分析】根据空间向量基本定理逐项进行分析，可得答案。
11．（2020高二上·番禺期末）（多选题）a，b为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC的直角边AC所在直线与a，b都垂直，斜边AB以直线AC为旋转轴旋转，有下列结论正确的是（　　）
A．当直线AB与a成60°角时，AB与b成30°角；
B．当直线AB与a成60°角时，AB与b成60°角；
C．直线AB与a所成角的最小值为45°；
D．直线AB与a所成角的最大值为60°.
【答案】B,C
【考点】数量积表示两个向量的夹角；用空间向量求直线间的夹角、距离
【解析】【解答】由题意知，a、b、AC三条直线两两相互垂直，画出图形如图，
不妨设图中所示正方体边长为1，故|AC|＝1，|AB| ，
斜边AB以直线AC为旋转轴，则A点保持不变，B点的运动轨迹是以C为圆心，1为半径的圆，
以C坐标原点，以CD为x轴，CB为y轴，CA为z轴，建立空间直角坐标系，
则D（1，0，0），A（0，0，1），
直线a的方向单位向量 （0，1，0），| |＝1，
直线b的方向单位向量 （1，0，0），| |＝1，
设B点在运动过程中的坐标中的坐标B′（cosθ，sinθ，0），
其中θ为B′C与CD的夹角，θ∈[0，2π），
∴AB′在运动过程中的向量， （cosθ，sinθ，﹣1），| | ，
设 与 所成夹角为α∈[0， ]，
则cosα |sinθ|∈[0， ]，
∴α∈[ ， ]，∴C符合题意，D不符合题意．
设 与 所成夹角为β∈[0， ]，
cosβ |cosθ|，
当 与 夹角为60°时，即α ，|sinθ| ，
∵cos2θ+sin2θ＝1，∴cosβ |cosθ| ，∵β∈[0， ]，∴β ，
此时 与 的夹角为60°，∴B符合题意，A不符合题意．
故答案为：BC．
【分析】 由题意知，a、b、AC三条直线两两相互垂直，构建如图所示的边长为1的正方体，IAC|=1，|AB|，斜边AB以直线AC为旋转轴，则A点保持不变，B点的运动轨迹是以C为圆心，1为半径的圆，以C坐标原点，以CD为x轴，CB为y轴，CA为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出结果.
12．（2021高二上·沈阳期中）如图，一个结晶体的形状为平行六面体 ，其中，以顶点A为端点的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是60°，下列说法中正确的是（　　）
A．
B．
C．向量 与 的夹角是60°
D． 与AC所成角的余弦值为
【答案】A,B
【考点】向量的模；数量积表示两个向量的夹角
【解析】【解答】以顶点A为端点的三条棱长都相等, 它们彼此的夹角都是60°，
可设棱长为1,则
而
， 所以A正确.
=0,所以B正确.
向量 ,
显然 为等边三角形，则 .
所以向量 与 的夹角是 ,向量 与 的夹角是 ,则C不正确
又 ，
则 ，
所以 ，所以D不正确.
故答案为：AB
【分析】利用空间向量基本定理，向量的运算，逐项进行分析，可得答案。
三、填空题
13．（2021·全国乙卷）已知向量=（1，3），b=（3，4），若（-λ）⊥，则λ=　 　。
【答案】
【考点】平面向量的坐标运算；平面向量数量积的运算；数量积判断两个平面向量的垂直关系
【解析】【解答】因为，所以，
所以，
故答案为：
【分析】先计算出的坐标式，再根据两向量垂直，列式求解。
14．（2021高二上·楚雄月考）已知向量 ， 满足 ， ， ，则 与 的夹角为　 　.
【答案】
【考点】向量的线性运算性质及几何意义；数量积表示两个向量的夹角
【解析】【解答】解：∵ ， ，
∴
即
解得
则
又
所以.
故答案为：
【分析】根据向量的运算，结合向量的夹角公式求解即可.
15．（2021高二上·西青期末）如图，在三棱锥中，，，，点在上，且，为中点，构成空间的一个基底，将用基底表示，=　 　.
【答案】
【考点】平面向量的基本定理及其意义
【解析】【解答】由题意，，，，
连接，根据向量的线性运算法则，可得，
因为为中点，，
又由点在上，且，可得，
所以。
【分析】利用已知条件结合三棱锥的结构特征，再结合中点的性质，从而利用平面向量基本定理，进而将用基底表示出来。
16．（2021高二上·邢台月考）球O为正四面体 的内切球， ， 是球O的直径，点P在正四面体 的表面运动，则 的最小值为　 　，最大值为　 　
【答案】0；
【考点】函数的最值及其几何意义；平面向量数量积的运算
【解析】【解答】 ，
如图所示：
设球O的半径为r，由题可知正四面体 的高为 ，
所以 ，解得 .
因为点P在正四面体 的表面运动，
所以 的最大值为 ，最小值为 ，
又 ，所以 的最小值为0，最大值为 .
故答案为：0， .
【分析】首先由数量积的坐标公式整理化简得到，然后由球的内接多面体的几何性质，由三角形的几何计算关系计算出球的半径，结合题意即可得到点P在正四面体 的表面运动，由此得到 的最大值为 ，最小值为r，从而得到的最值。
四、解答题
17．（2022·大连模拟）已知向量, .
（1）求；
（2）当时，求y的值.
【答案】（1）
（2）若，则，解得：
【考点】向量的模；数量积的坐标表达式
【解析】【分析】(1)由向量的模坐标公式，代入数值计算出结果即可。
(2)利用数量积的坐标公式，代入数值计算出结果即可。
18．（2021高三上·南溪月考）在 中， 为角 的对边， .
（1）求 的大小；
（2）若 ,求 的范围.
【答案】（1）解：由题意和余弦定理可知， ,
（2） …
∴f（B）的取值范围是
【考点】两角和与差的正弦公式；二倍角的余弦公式；正弦函数的定义域和值域；余弦定理的应用
【解析】【分析】（1）根据余弦定理直接求解即可；
（2）根据三角恒等变换，结合正弦函数的性质求解即可.
19．（2021高一下·杭州期中）如图，在平面直角坐标系中，以x轴的非负半轴为始边的锐角和钝角的终边与单位圆分别交于点A，B，单位圆与x轴的正半轴交于点M，且．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求的取值范围．
【答案】解：（Ⅰ）由题设知，，即，又为钝角，
∴，
∴.
（Ⅱ），由，，
∴，
∵，即，
∴.
【考点】向量的线性运算性质及几何意义；平面向量数量积的运算；二倍角的正弦公式；正弦函数的定义域和值域；运用诱导公式化简求值
【解析】【分析】(1)根据三角形面积公式，结合诱导公式与二倍角公式求解即可；
(2)根据向量的线性运算与数量积运算，结合正弦函数的性质求解即可.
20．（2021·柳州模拟）在 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且 .
（1）求角 的大小.
（2）若 ， 为 外一点， ， ，四边形 的面积是 ，求 的大小.
【答案】（1）∵ ，
∴ ，
由余弦定理可得 ，
由正弦定理可得 ，
，
∴ ，
∵ ，∴
由 ，则 .
（2）如图，在 中， ， ，
由余弦定理得：
，
∵ ，∴ ， 为等边三角形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，即 .
【考点】正弦定理的应用；余弦定理的应用
【解析】【分析】（1）运用余弦定理将已知条件化简 ，再由正弦定理可得 ，整理可知 .
（2）根据已知条件利用面积公式将 和 的面积用含有 的式子表示出来，代入 ，化简整理 ，根据 的范围可知其大小。
21．（2022高三上·福建月考）的内角的对边分别为，且.
（1）求；
（2）若为的中点，，求内切圆的半径.
【答案】（1）∵，∴，
∴，∴，
∴，即.
∵，∴，即，
∴，
∵，∴，
又，∴.
（2）∵，∴，
∵，∴，解得，
由余弦定理，得，则.
从而的周长为，.
设内切圆的半径为，则，
故.
【考点】正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】(1)利用同角三角函数基本关系式化简已知等式可得 ，由正弦定理，两角和的正弦公式，结合 ，结合范围 ，可得A的值；
(2)由 得 即 ，求出b，c，再利用余弦定理可求出a ， 设内切圆的半径为，利用三角形的面积公式即可求出 内切圆的半径.
22．（2021高三上·桂林月考）已知 ，动点 满足 ，设 的轨迹为曲线 ．
（1）求曲线 的方程；
（2）过 的直线 与曲线 交于 、 两点，过 与 平行的直线 与曲线 交于 、 两点，求四边形 的面积的最大值．
【答案】（1）解：设 ，在 中，
由余弦定理得 ，
即
又 ，所以 ．
由于 ，
因此点 的轨迹是以 为焦点的椭圆，同时该椭圆的长半轴 ，焦距 ，
所以，曲线 的方程为
（2）解：由题意可知四边形 为平行四边形，结合对称性，则
设直线 的方程为 且
由 ，得 ，
，且 成立，
，
令 ，则 ， ，
又 在 上单调递增，
， 的最大值为 ，
的最大值为 6，此时
【考点】函数的最值及其几何意义；双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题；余弦定理
【解析】【分析】(1)根据题意设出点的坐标，再由三角形中的几何计算关系以及余弦定理代入数值整理即可得到由已知条件，从而得到点 的轨迹是以 为焦点的椭圆，结合题意即可求出a与c的值，再由椭圆的 a、b 、c 三者的关系计算出b的值，从而得出椭圆的方程。
(2)根据题意由斜截式设出直线的方程再联立直线与椭圆的方程，消去x等到关于y的一元二次方程结合韦达定理即可得到关于m的两根之和与两根之积的代数式，然后由三角形的面积公式整理即可得出，然后由对勾函数的单调性即可得出函数的最值，从而即可求出三角形的面积的最大值，由此即可求出m的值。
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