精讲精练·专项突破 第六章《平面向量及其应用》单元能力提升（含详细解析）教师版 (1)

精讲精练·专项突破
2021-2022学年高一下学期人教版（2019）
第六章 《平面向量及其应用》 单元能力提升（含详细解析）教师版
一、单选题
1．（2022高一下·深圳月考）已知向量，，则“”是“与的夹角为钝角”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；数量积的坐标表达式
【解析】【解答】当与的夹角为钝角时，，且与不共线，即所以且.故“”是“与的夹角为钝角”的必要不充分条件.
故答案为：B.
【分析】首先由向量共线的坐标公式，代入计算出k的求解出k的取值范围，再结合充分和必要条件的定义即可得出答案。
2．（2022高一下·深圳月考）已知，，是平面向量，与是单位向量，且，向量满足，则的最大值与最小值之和是（　　）
A． B． C．4 D．
【答案】A
【考点】两向量的和或差的模的最值；平面向量的坐标运算
【解析】【解答】解：不妨设，设，向量满足，
， ，
所以 ，所以 的终点在以 为圆心，以 为半径的圆上.
，设 ， ，则 ， ．
又 是单位向量，所以 ，
所以 ，所以 或
，所以 ，
如图所示， 的最小值为 ，最大值为 ，
所以 的最大值与最小值之和是 .
故答案为：A
【分析】根据题意设出向量的坐标，再由向量的坐标公式整理化简已知条件，由此即可得出x与y的关系式，由此即可得出圆的方程，然后由向量的坐标以及向量模的公式结合圆的几何性质计算出最值即可。
3．（2022高一下·深圳月考）在△ABC中，已知D是AB边上的一点，若，则λ等于（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【考点】向量的共线定理
【解析】【解答】因为D是AB边上的一点，
所以A，B，D三点共线，所以 ，则 ，
因为 ，所以 ，
因为A，B，C不共线，
所以 ，解得 ，
故答案为：B
【分析】首先由向量共线的性质，把点的坐标代入整理化简计算出 的取值即可。
4．（2022高一下·深圳月考）已知向量，，则（　　）
A． B． C．2 D．4
【答案】B
【考点】向量的模；平面向量的坐标运算
【解析】【解答】因为，，
所以 ，
所以 ，
故答案为：B
【分析】根据题意由向量的坐标公式以及向量模的公式，代入数值计算出结果即可。
5．（2022高一下·深圳月考）如图，A处为长江南岸某渡口码头，北岸B码头与A码头相距，江水向正东流.已知一渡船从A码头按方向以的速度航行，且，若航行到达北岸的B码头，则江水速度是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【考点】余弦定理的应用
【解析】【解答】如图，
以 方向为邻边， 为对角线作平行四边形 ，渡船经过 小时航行 ，即 ，由题意， ， ，由余弦定理得 .所以 ，渡船在按 方向航行时，江水向 方向流，形成合位移使渡船沿 到达北岸B码头，此时水流动距离为 ，则水流速度为 ，
故答案为：C.
【分析】根据题意把实际问题转化为数学问题，再由已知条件结合余弦定理代入数值计算出边的大小，由此即可得出答案。
6．（2021高一下·长春期末）已知向量 ，则 与 的夹角大小为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系
【解析】【解答】解：由题意得，∵
∴ 与 的夹角大小为 90°
故答案为：D
【分析】根据向量数量积的坐标表示，结合向量垂直的判定求解即可.
7．（2021高一下·温州期末）已知 ， ， ，则下列各组向量中，不可以作为平面内所有向量的一组基底的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【考点】向量的共线定理；平面向量的基本定理及其意义
【解析】【解答】由题意若两个向量不可以作为平面内所有向量的一组基底，则两个向量共线，
对于 ， ， 与 不共线， A 错误，
对于 ， （4） ， 与 不共线， B 错误，
对于 ， ， 与 共线，C 正确，
对于 ， ， 与 不共线， D 错误，
故答案为：C．
【分析】 根据向量的坐标的运算性质以及向量共线定理，判断各个选项的向量是否共线即可.
8．（2021高一下·台州期末）已知向量 满足： .设 与 的夹角为 ，则 的最大值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【考点】数量积表示两个向量的夹角；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】解：设 ，则 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，则 ，
，
因为 ，
所以 ，
令 ，则 ，
当 时， 取得最大值 ，即 取得最大值 ，
所以 的最大值为 ，
即 的最大值为 .
故答案为：A.
【分析】 根据题意,设 ，则 ，由数量积的计算公式用x表示， 由向量夹角公式可得cosθ的表达式，分析可得cosθ的最小值，结合同角三角函数基本关系式分析可得答案.
二、多选题
9．（2022高一下·深圳月考）如图，延长正方形ABCD的边CD至点E，使得DE=CD，动点P从点A出发，沿正方形ABCD的边按逆时针方向运动一周后回到点A，若，则下列判断正确的是（　　）
A．满足的点P必为BC的中点
B．满足的点P有两个
C．满足的点P有且只有一个
D．满足的点P有两个
【答案】C,D
【考点】平面向量的坐标运算
【解析】【解答】设，以为坐标原点，所在的直线为轴，所在的直线为轴，建立平面直角坐标系，
则 ，设点 ，则有
得 ，故
对于 选项，若 ，则 ，可知直线 与正方形边界交于点 和 的中点，故 选项错误；同理可得， 选项正确；对于 选项，若 ，则 ，可知直线 与正方形边界没有交点，故错误.
故答案为：CD.
【分析】由已知条件建立直角坐标系从而求出点的坐标，然后由共线向量的坐标公式，代入数值计算出 和的取值，由此对选项逐一判断即可得出答案。
10．（2022高一下·深圳月考）如图所示，已知P，Q，R分别是三边的AB，BC，CA的四等分，如果，，以下向量表示正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B,C
【考点】向量加减混合运算及其几何意义
【解析】【解答】由已知可得，D不符合题意；
因为P，Q，R分别是 三边的AB，BC，CA的四等分点，
由 ,A不符合题意；
，B符合题意；
，C符合题意.
故答案为：BC
【分析】根据题意已知条件结合向量的加减运算性质，对选项逐一判断即可得出答案。
11．（2022高一下·深圳月考）定义：，两个向量的叉乘的模.（　　）
A．若平行四边形的面积为4，则
B．在正中，若，则
C．若，，则的最小值为
D．若，，且为单位向量，则的值可能为
【答案】A,C,D
【考点】向量的模；平面向量数量积的运算
【解析】【解答】若平行四边形的面积为4，则，所以A符合题意；
设正 的边 的中点为 ，则 ，则 ，
故 ，所以B不正确；
由 ， ，得 ， ，则 ，
可得 ，当且仅当 时，等号成立，
故 的最小值为 ，所以C符合题意；
若 ， ，且 为单位向量，
则当 ， ， ， 时， 可以等于 ，
此时 .所以D符合题意.
故答案为：ACD
【分析】利用数量积的夹角公式以及已知的向量差乘公式，代入数值结合向量模的公式计算出结果，由此对选项逐一判断即可得出答案。
12．（2022高一下·深圳月考）已知向量，是与同向的单位向量，则下列结论错误的是（　　）
A．
B．向量在向量上的投影向量为
C．与的夹角余弦值为
D．若，则
【答案】A,B
【考点】单位向量；向量的共线定理；平面向量共线（平行）的坐标表示；向量的投影
【解析】【解答】由题意，向量，是与同向的单位向量，
可得 ，由 ，所以 与 不共线，所以A不正确；
由 ，可得 ，
所以向量 在向量 上的投影向量为 ，所以B不正确；
由 ，可得 ，
设 与 的夹角余弦值为 ，可得 ，所以C符合题意；
由 ，可得 ，所以D符合题意.
故答案为：AB.
【分析】根据题意由共线向量的坐标公式以及向量投影公式，结合数量积的夹角公式由向量垂直的坐标公式，分别代入数值计算出结果由此对选项逐一判断即可得出答案。
三、填空题
13．（2022高一下·深圳月考）已知中，，，，I是的内心，P是内部（不含边界）的动点.若（，），则的取值范围是　 　.
【答案】
【考点】平面向量的坐标运算
【解析】【解答】解：建立如图所示平面直角坐标系，
则 ，
因为 是三角形 的内心，设三角形 内切圆半径为 ，
则 ，解得 .
所以 ， .
依题意点 在三角形 的内部（不含边界）.
因为 ，
所以 ，
所以 ，
令 ，则 ，
由图可知，当 过 时， .
当 ，过 ，即为直线 时， .
所以 的取值范围时 .
故答案为：
【分析】根据题意建立直角坐标系，由此求出点的坐标，结合直线与圆的位置关系计算出半径的大小，然后由向量共线的坐标公式，整理化简并对直线分情况讨论，代入数值计算出 和的取值，解已知条件即可得出的取值范围。
14．（2022高一下·深圳月考）菱形ABCD中，，，，，则　 　.
【答案】
【考点】数量积的坐标表达式
【解析】【解答】∵，
∴，
∵，
∴，
∴
.
故答案为： .
【分析】根据题意结合菱形的几何性质以及向量的加减运算公式，由数量积的运算公式代入数值计算出结果即可。
15．（2022高一下·深圳月考）设是平面内两个不共线的向量，，，，．若A，，三点共线，则的最小值是　 　．
【答案】4
【考点】基本不等式在最值问题中的应用；向量的共线定理
【解析】【解答】，．若A，，三点共线，
设 ，即 ，
是平面内两个不共线的向量，
，解得 ， ，即 ，
则 ，
当且仅当 ，即 ，即 ， 时，取等号，
故最小值为4，
故答案为：4
【分析】由已知条件结合共线向量的性质，把坐标代入整理化简结合基本不等式即可求出代数式的最小值。
16．（2021高一下·宁波期末）平面向量 满足： ，且 ．则 的取值范围为　 　．
【答案】
【考点】余弦定理
【解析】【解答】因为向量 满足 ，且 ，
所以 ， ， 对应的点 在单位圆上，且 是等边三角形，
且
即圆上的 点到点 的距离之和，即
若点 不与 重合，不妨设点 在 上，
则 ， ，
，
故点 在圆上运动时， ，
又因为 为单位圆的内接等边三角形，
所以 ，
所以 ，
由余弦定理可得： 且 ，
即 ，所以 ，
可得 ，当且仅当 即点 与点 重合时，等号成立，
又因为 ，所以 当且仅当点 是 、 、 的中点时，等号成立，
所以 的取值范围为 ，
故答案为： .
【分析】 由题意知向量 ， ， 对应的点 在单位圆上，且 是等边三角形，且 ，从而问题转化为圆上的E点到点A、B、C的距离的和，即|EA|十|EB|+ |EC|,再利用不等式的性质及三角形的性质求解.
四、解答题
17．（2022高一下·深圳月考）已知向量，，．若，求与的夹角大小．
【答案】解：设与的夹角为，则．因为，所以，又，所以，即与的夹角大小为．
【考点】数量积的坐标表达式；数量积表示两个向量的夹角
【解析】【分析】根据题意由数量积的坐标公式，代入计算出夹角的余弦值，结合夹角的取值范围即可求出角的大小。
18．（2022高一下·普宁月考）记 是内角 ， ， 的对边分别为 ， ， .已知 ，点 在边 上， .
（1）证明： ；
（2）若 ，求 .
【答案】（1）证明：由题设， ，由正弦定理知： ，即 ，∴ ，又 ，
∴ ，得证.
（2）解：由题意知： ，
∴ ，同 ，
∵ ，
∴ ，整理得 ，又 ，
∴ ，整理得 ，解得 或 .......10分
由余弦定理知： ，
当 时， 不合题意；当 时， ；
综上， .
【考点】正弦定理的应用；余弦定理的应用
【解析】【分析】（1）根据正弦定理的边角关系有,结合已知即可证结论.
（2）分别应用余弦定理求得cos∠ADB与cos∠CDB，求得边a与c的关系，然后利用余弦定理即可求得 cos∠ABC的值.
19．（2022高一下·深圳月考）设向量，，其中.
（1）若，求实数x的值；
（2）已知且，若，求的值域.
【答案】（1）解：因向量，，则，
又，则有，即，于是得，
而，解得，
所以实数x的值是.
（2）解：因为且，则，即，有，
，因，则，，即，
所以的值域.
【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示；数量积的坐标表达式；正弦函数的单调性
【解析】【分析】(1)根据题意由共线向量的坐标公式整理化简，结合同角三角函数的基本关系式计算出，由此求出x的取值。
(2)由数量积的坐标公式整理化简函数的解析式，然后由两角和的正弦公式以及正弦函数的单调性即可求出函数的最值，从而得出函数的值域。
20．（2021高一上·南阳月考）中，内角，，所对的边分别为，，，，且．
（1）求的大小；
（2）若的周长为，求边上中线的长度．
【答案】（1）解：因为，
所以由正弦定理边角互化得：，
因为，
所以，所以
因为，所以，，
所以，即，
所以
（2）解：由（1）得为等腰三角形，设，
故，代入数据解得：，
因为的周长为，所以，解得，
所以,,
在中，，
所以，即，解得，
所以边上中线的长度为.
【考点】正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】（1）根据正弦定理进行边角互化，再由角的范围可求得 的大小；
（2） 设， 根据三角形的周长可求得 ， 在中 ，运用余弦定理可求得 边上中线的长度．
21．（2021高一下·长春期末）平面内给定三个向量 ， ， .
（1）求满足 的实数 ， ；
（2）若 ，求实数 的值.
【答案】（1）因为 ， ， ，且
， ， ， ， .
，解得 ， .
（2） ， ， ， .
， ， ， .
，解得 .
【考点】平面向量的基本定理及其意义；平面向量的坐标运算；平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】【分析】（1）根据平面向量的基本定理，结合向量线性运算的坐标表示求解即可；
（2）根据向量平行的充要条件，结合向量线性运算的坐标表示求解即可.
22．（2021高一下·台州期末）已知 的内角 所对的边分别为 ，且__________.请从下面三个条件中任选一个，补充在题目的横线上，并作答.
① ；② ：③ 的面积为 .
（1）求角 的大小；
（2）若点 满足 ，且 ，求 的最小值.
【答案】（1）若选①，
因为 ，
所以 ，即 ，解得 或 (舍去)
又 ，所以 .
若选②，
因为 ，
所以由正弦定理边角互化得 ，即 ，
所以
又 ，所以 .
若选③，
因为 ， 的面积为 ，
所以 ，即 ，
所以 ，
又 ，所以 .
（2）因为 ，
所以 ，即
所以 ，即 ，
所以 ，即
所以
当且仅当 ，即 ， 有最小值9.
【考点】基本不等式；正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】 (1)若选择①,由所给条件可得 ，解方程可得 ，结合范围0若选择②,所给条件可得bc= - 2bccos A,可得cos A的值,进而可求A的值;
若选择③,由题意，利用三角形的面积公式，同角三角函数基本关系式可求tan A，进而可求A的值.
(2)由题意可求 即 ，进而可得 ，利用基本不等式即可求解 。
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