精讲精练·专项突破 第六章《平面向量及其应用》单元能力提升（含详细解析）教师版 (6)

精讲精练·专项突破
2021-2022学年高一下学期人教版（2019）
第六章 《平面向量及其应用》 单元能力提升（含详细解析）教师版
一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．已知 是三个平面向量，则下列叙述正确的是（　　）
A．若 ，则
B．若 ，且 ，则
C．若 ，则
D．若 ，则
【答案】D
【考点】向量的模；零向量；平行向量与共线向量；相等向量与相反向量；数量积判断两个平面向量的垂直关系
【解析】【解答】解：对于A，若时，显然满足，但 ，故A错误；
对于B，当时，显然满足 ，且 ， 但 不一定成立，故B错误；
对于C，当时，显然满足 ， 当 不一定成立，故C错误；
对于D，当时，则显然 成立，故D正确.
故答案为：D
【分析】根据向量的模，结合相等向量可判断A，根据向量垂直可判断B，根据零向量与平行向量可判断C，根据向量垂直，结合向量的模可判断D.
2．如图，已知 为 中 的角平分线，若 ， ，则 （　　）
A．1 B．2 C．3 D．
【答案】A
【考点】平面向量数量积的运算；余弦定理
【解析】【解答】解： 为 中 的角平分线， ， ，由余弦定理可得 ，即 ，所以 ，所以 ，所以 ，所以 ， ．
故答案为：A．
【分析】 利用已知条件，由余弦定理可得AC ，AD, 然后求解向量的数量积即可.
3．已知△ABC的面积等于2，AB=1，当△ABC三条高的乘积取最大值时，sinC的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【考点】基本不等式；余弦定理
【解析】【解答】解：设 中， 三条边长分别记为 ,对应边上的高分别为 ， ， ，
已知 , ,
，
，
，
， ，
，此时sinC随角 的增大而增大，
由图可知，点C在以与AB距离为4，且与AB平行的直线上运动，
当且仅当点C在AB的中垂线上，角 最大，
此时 ，
，
故答案为：A
【分析】设 中， 三条边长分别记为 ,对应边上的高分别为 ， ， ， 由面积公式可推导出，利用余弦定理、基本不等式及三角恒等变换可求得sin C的最大值,从而可得结论.
4．如图，在 中，已知D是 边延长线上一点，若 ，点E为线段 的中点， ，则 (　　)
A． B． C． D．
【答案】B
【考点】向量的减法及其几何意义；向量的共线定理；向量的线性运算性质及几何意义
【解析】【解答】解：由题意得,
又 ，
则 ，与 对比
得
故答案为：B
【分析】根据向量的共线定理易得 ， ，再结合向量的减法求得 ， ，进而利用向量的线性运算求得 ，从而得解
5．如图，在，，点P在以B为圆心，1为半径的圆上，则的最大值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【考点】函数的最值及其几何意义；数量积的坐标表达式
【解析】【解答】以点B为圆心，直线AB为x轴建立平面直角坐标系，如图，
则 ，设 ，因此， ， ，
于是得 ，其中锐角 由 确定，
而 ，则当 ，即 ， 时， 取最小值-1，
所以 的最大值为 .
故答案为：B
【分析】根据题意设出点的坐标，然后由数量积的坐标公式整理化简结合两角和的正弦公式，由正弦函数的图象和性质即可求出数量积的最大值。
6．已知平面向量，满足，，点D满足，E为的外心，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【考点】数量积的坐标表达式
【解析】【解答】，，
， ，
以O为原点，OA，垂直于OA所在直线为x，y轴建立平面直角坐标系，如图所示，
则 ， ， ，设
又 ，知 ，解得 ，
又E为 的外心， ，
， 为等边三角形， ，
∴，∴．
故答案为：A
【分析】首先由数量积的坐标公式计算出角的大小，然后建立直角坐标系，由此求出点的坐标，再由向量的坐标公式代入整理计算出向量的坐标，并把结果代入到数量积的坐标公式计算出结果即可。
7．已知平面向量 ， 的夹角为 ，且 ，则 （　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【考点】向量的模；平面向量数量积的运算
【解析】【解答】因为向量 ， 的夹角为 ，且 ，
所以 ，
，
所以 ．
故答案为：D
【分析】 根据条件可求得 , 再结合向数量积的运算性质即可求得答案.
8．在 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，且 ， ，若满足条件的 有两个，则 的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【考点】正弦定理；余弦定理
【解析】【解答】解：因为 ，所以 等价于 ，
即 ，展开化简为：
，所以有 或 （舍），即 ，因为 ，所以 .
由正弦定理可知： ，即 ，因为三角形有两解，所以 且 ，所以 ，则 .
故答案为：D
【分析】利用余弦定理化简，再结合满足条件的△ABC有两个,及其二次函数的单调性即可得出结论.
二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9．在 中，下列命题正确的是（　　）
A．若 ，则
B．若 ，则 定为等腰三角形或直角三角形
C．在等边 中，边长为2，则
D．若三角形的三边的比是 ，则此三角形的最大角为钝角
【答案】A,B,D
【考点】平面向量数量积的含义与物理意义；二倍角的正弦公式；正弦函数的单调性；余弦定理；三角形的形状判断
【解析】【解答】对于A选项，由正弦定理结合大角对大边得
，
A选项正确；
对于B选项，由于 ，
由于 ， 是三角形的内角，
所以 或 ，即 或 ，
因此 可能为等腰三角形或直角三角形，
B选项正确；
对于C选项，在等边 中，边长为2，
则 ,
C选项不正确；
对于D选项， 的三边之比为 ，
设三边长依次为 ， ， ，其中 ；
则最大角是 ，由余弦定理知，
，
，
．
D选项正确．
故答案为：ABD．
【分析】由正弦定理结合三角形大角对大边，再结合正弦函数的图像的单调性，从而得出
；由于已知条件结合诱导公式，得出 ，由于 ， 是三角形的内角，从而求出 或 ，从而判断出三角形 的形状；在等边 中，边长为2，再结合数量积的定义，从而求出 的值；再利用三角形 的三边之比为 ，所以设三边长依次为 ， ， ，其中 ，则最大角是 ，由余弦定理求出角C的余弦值，进而求出角C的值，从而找出真命题的选项。
10．如图， 的三个内角 ， ， 对应的三条边分别是 ， ， ， 为钝角， ， ， ， ，则下列结论正确的有（　　）
A． B．
C． D． 的面积为
【答案】B,C,D
【考点】二倍角的余弦公式；余弦定理
【解析】【解答】解：由 ，得： ，
又角 为钝角，解得： ，
因为 ， ，
由余弦定理 ，得： ，
解得 ，可知 为等腰三角形，即 ，
所以 ，
解得 ，A不符合题意，
可得 ，
在 中， ，得 ，可得 ，B符合题意，
，可得 ，可得 ，C符合题意，
所以 的面积为 ，D符合题意．
故答案为：BCD．
【分析】 由已知利用二倍角的余弦函数公式可求cos∠ABC的值，利用余弦定理求得a的值，再计算sinA，由同角的三角函数关系求出cosA，根据直角三角形边角关系求出AD,BD, CD的值，再计算△BCD的面积从而得解.
11．在 中， ，点 为直线 上的点.则（　　）
A．当 时，
B．当 时，
C．当 为 的角平分线时，
D．当 时， 为 的角平分线
【答案】A,B,C
【考点】正弦定理
【解析】【解答】解：A，当 时，在 中， ，A对；
B，当 时，在 中，由正弦定理得： ，解得 ，
因为 ，所以 ，即 ，B符合题意；
C，当 为 的角平分线时，则 ，在 中，由正弦定理得： ，则 ，C符合题意；
D，当 时，在 中，由正弦定理得： ，则 ，因为 ，所以 或 ， 或 ，当 时， 与 重合，故 不一定为 的角平分线，D不符合题意.
故答案为：ABC.
【分析】 对于A,由题意可得∠ADB = 90°，由正弦定理可得 ，即可判断；对于B,由题意在△ABD中，由正弦定理解得sin∠ADB= 1，又 ，可得∠ADB= 90° ,可得AD⊥BC，即可判断；对于C,由题意可得 ，在△ABD中,由正弦定理可得 ，即可判断；对于D,由题意，在△ABD中，由正弦定理可得，结合，可得 或 ， 或 ，当 时， 与 重合，故 不一定为 的角平分线，即可判断.
12．已知向量 ， ，下列结论中正确的是（　　）
A．若 ，则
B．与 共线的单位向量一定为
C．当 时， 在 上的投影向量为
D．当 时， 与 的夹角为锐角
【答案】A,C
【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示；数量积表示两个向量的夹角；向量的投影
【解析】【解答】由题意，向量 ， ，
对于A中，若 ，可得 ，解得 ，所以A符合题意；
对于B中，由 ，所以与 共线的单位向量为 或 ，所以B不正确；
对于C中，当 时，可得 ， ，
可得 在 上的投影为 ，
则 在 上的投影向量为 ，所以C符合题意；
对于D中，由 ，
当 时，可得 ，所以 与 夹角为锐角或零度角，
例如当 时， 与 共线，夹角为零度角，所以D不正确.
故答案为：AC
【分析】 对于A:若 ，可得 ，进而解得x，即可判断A是否正确；
对于B:由 ，得与 共线的单位向量为 或 即可判断B是否正确；
对于C:当 时， 在 上的投影为 ，则 在 上的投影向量为 ，即可判断C是否正确；
对于D:由 ，当 时，可得 ，所以 与 夹角为锐角或零度角，即可判断D是否正确.
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上）
13．在中，，M为AC边的中点，则当最大时，　 　.
【答案】
【考点】基本不等式在最值问题中的应用；数量积表示两个向量的夹角；余弦函数的单调性
【解析】【解答】解：以点C为坐标原点，建立直角坐标系如下图所示，
设， ，则，所以，
则，
令，则，
因为，所以，当且仅当，即时，取等号，此时取得最小值，取得最大值，
此时，
故答案为：.
【分析】根据题意建立直角坐标系求出点和向量的坐标，然后由数量积夹角的坐标公式代入计算出，设出整理化简原式利用基本不等式即可求出夹角余弦值的最小值，结合余弦公式的单调性即可求出角的最大值，结合正切公式代入计算出结果即可。
14．已知同一平面上的 和 分别是边长为1和2的正三角形（其中 ， ， 和 ， ， 均按逆时针排列），则 的取值范围是　 　．
【答案】 ，
【考点】平面向量数量积的运算
【解析】【解答】设 ，如图：
，
， ， ， ， ， ，
， ．
故答案为： ， ．
【分析】，然后转化为关于 的三角函数可解决此题.
15．已知平面向量 ， ，满足 ， ， ，则 的最大值是　 　．
【答案】
【考点】向量的模
【解析】【解答】由题意可设 ， ，
， ，
，
，
令 ， ，
则 ，
，
令 ， ，则
，
由 ，解得 或 ，
又因为 ， 恒成立，
所以 在 单调递减，
，
故答案为：
【分析】由题意可设 ， ， ，，令 ， ，，令 ， ，求导可得单调性，进而求出 的最大值 。
16．在锐角 中，角 的对边分别为 ，若 ， ，则边 的取值范围是　 　．
【答案】
【考点】正弦定理；余弦定理
【解析】【解答】在锐角 中，有 ， ， ，
由余弦定理得 ，
把 代入得， ，
又 ，所以 .有 ，
由 ，得 .
在 中由正弦定理得， ，
，
因为 ，所以 ， .
故答案为： .
【分析】 由已知利用余弦定理可得，结合A为锐角，可得A的值，由题意可求范围，利用正弦函数的性质可得 ，进而根据正弦定理可得的范围.
四、解答题（本大题共6小题，17题10分，其余每小题各12分，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．已知 与 的夹角都是 ， ⊥ ， ， ， ，计算：
（1）
（2） .
【答案】（1）解：
.
（2）解：
∴ .
【考点】向量的模；平面向量数量积的运算
【解析】【分析】（1）利用向量的数量积运算即可求出答案；
（2）利用向量的模长等于所对应向量平方再开方，即可得到答案.
18．已知不共线的向量、，其中．
（1）若向量与共线，求实数的值；
（2）若，求与的夹角的正切值．
【答案】（1）解：根据题意，向量与共线，可得，
（2）解：，
所以，，
因为，则，因此，
【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示；数量积表示两个向量的夹角
【解析】【分析】(1)根据题意由向量的坐标公式，结合共线向量的坐标公式计算出k的取值。
(2)利用数量积的坐标公式代入计算出夹角的余弦值，再由同角三角函数的基本关系式计算出结果即可。
19．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知，，记．
（1）试用向量表示向量，并求向量的坐标；
（2）若函数的最大值为，求实数的值．
【答案】（1）解：
（2）解： ，
记
①当 时
②当 时 舍去；
③当 时 舍去；
综上
【考点】函数的最值及其几何意义；数量积的坐标表达式
【解析】【分析】(1)根据题意由向量的加减运算性质，整理化简即可得出答案。
(2)由数量积的坐标公式结合二倍角的正弦公式，然后由二次函数的图象和性质即可求出函数的最值，结合已知条件即可求出m的取值。
20．已知在直角坐标系xOy中，P（1，1），A（x，0）（x＞0），B（0，y）（y＞0）
（Ⅰ）若x=，⊥，求y的值；
（Ⅱ）若△OAB的周长为2，求向量与的夹角．
【答案】解：（Ⅰ）若x=，P（1，1），A（，0），B（0，y）（y＞0），
可得=（-1，y-1），=（-，y），
由⊥，可得 =+y2-y=0，
解得y=；
（Ⅱ）若△OAB的周长为2，
即为x+y+=2，
即有2-x-y=，
平方可得4-4x-4y+2xy=0，
即1-x-y=-xy，
又=（x-1，-1），=（-1，y-1），
=1-x+1-y=2-x-y=，
|| ||=
=
=
=
== ，
则cos＜，＞==，
由0≤＜，＞≤π，
可得向量与的夹角为．
【考点】数量积的坐标表达式；数量积表示两个向量的夹角
【解析】【分析】 （Ⅰ） 首先设出点的坐标，然后由向量的坐标公式以及数量积的坐标公式，代入计算出y的取值即可。
（Ⅱ） 根据题意由已知条件代入整理，整理化简结合数量积的坐标公式以及向量模的公式，代入整理化简即可求出夹角的余弦值，由基本不等式即可求出夹角的取值。
21．已知椭圆 过点 ，离心率 .
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设过定点 的直线l与椭圆相交于A,B两点，且 为锐角（其中O为坐标原点),求直线l斜率的取值范围.
【答案】（Ⅰ）由题意得 ，
结合 ，解得
所以，椭圆的方程为 .
（II）设 ， ，则 ， .
设直线 的方程为： .
由 得
即 .
所以 ， ，
.
由 解得 或 .
故 或 为所求.
【考点】数量积的坐标表达式；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】 （Ⅰ） 根据题意由椭圆的简单性质即可求出b的值，再由椭圆里a、b、c的关系计算出a的值，由此得出椭圆的方程。
（II） 由设而不求法，设出点的坐标并由斜截式设出直线的方程再联立直线与椭圆的方程，消去y等到关于x的一元二次方程结合韦达定理即可得到关于k的两根之和与两根之积的代数式，然后由数量积的坐标公式整理结合题意即可得到k的取值范围。
22．如图，在 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足asinB+bcosA=c ，线段BC的中点为D.
（1）求角B的大小；
（2）已知 ，求 的大小.
【答案】（1）由正弦定理得 .
而 .
由以上两式得 ，即 .
由于 ，所以 ，又由于得 ，得 .
（2）设 ，在 中，由正弦定理有 .
由余弦定理有 ，整理得，由于 ，所以 ， .
在 中，由余弦定理有 .
所以 ，所以 ， .
【考点】两角和与差的正弦公式；正弦定理的应用；余弦定理的应用
【解析】【分析】（1）根据正弦定理，结合两角和的正弦公式求解即可；
（2）根据正弦定理及余弦定理求解即可.
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