精讲精练·专项突破 第六章《平面向量及其应用》单元能力提升（含详细解析）学生版 (2)

精讲精练·专项突破
2021-2022学年高一下学期人教版（2019）
第六章 《平面向量及其应用》 单元能力提升（含详细解析）学生版
一、单选题
1．（2021高一下·肇庆期末）已知向量 ， ， ，则实数 （　　）
A．2 B． C．1 D．-1
2．（2020高二上·越秀期末）如图，在四棱锥 中，底面 是平行四边形，已知 ， ， ， ，则 （　　）
A． B．
C． D．
3．（2021高三上·浙江月考）边长为2的正三角形 内一点 （包括边界）满足： ，则 的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
4．（2021高二上·辽宁月考）已知四面体 各棱长为 ， 是棱 的中点，则异面直线 与 所成角的余弦值（　　）
A． B． C． D．
5．（2020高二上·农安期末）已知空间四边形 中， ， ， ，点M在OA上，且 ，N为BC的中点，则 等于（　　）
A． B．
C． D．
6．（2021高一下·蕲春月考）对于任意两个向量 和 ，下列命题正确的是（　　）
A．若 ， 满足 ，且 与 同向，则
B．
C．
D．
7．（2021高一下·浙江期中）在 中， ， ，且有 ，则线段 长的最大值为（　　）
A． B．2 C． D．
8．（2021·晋中模拟）在锐角 中， ，D为BC中点，若 ，则AD的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
二、多选题
9．（2021高二上·重庆期中）已知空间向量 ， ，且 ，则(　　)
A． B． C． D．
10．（2021高二上·浙江月考）以下说法正确的是（　　）
A．设 、 是两个空间向量，则 、 一定共面
B．设 、 是两个空间向量，则
C．设 、 、 是三个空间向量，则 、 、 一定不共面
D．设 、 、 是三个空间向量，则
11．（2021高三上·山东月考）如图，矩形 中， ， 为边 的中点，将 沿直线 翻折成△ ．若 为线段 的中点，则在 翻折过程中，下面四个命题中正确的是（　　）
A． 是定值
B．点 运动轨迹在某个圆周上
C．存在某个位置，使
D． 不在底面 上时，则 平面
12．（2021高一下·浙江月考）已知点O为 所在平面内一点， ，则下列选项正确的是（　　）
A．
B．直线AO必过BC边的中点
C．
D．若 ，则
三、填空题
13．（2021高一下·长春期末）已知非零向量 ， ， ，则 的最大值为　 　．
14．（2021高二上·河南月考）在 中，角 的对边分别为 ，已知 ，则 　 　．
15．（2021高一下·石家庄期末）如图，在 中， 是线段 上的一点，若 ，则实数 　 　．
16．（2021高一下·常熟期中）如图，在菱形ABCD中， ， ，E，F分别为BC，CD上的点， ， ，若线段EF上存在一点M，使得 ，则 　 　， 　 　.
四、解答题
17．（2021高三上·揭东期中）已知△ 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，若 ．
（1）求角 ．
（2）若 ， 求△ 的面积．
18．（2021高一下·浙江月考）在 中，已知 ， ， ， ， ，设点 为边 上一点，点 为线段 延长线上的一点.
（1）求 的值：
（2）若 ，求 的取值范围.
19．（2022·嘉定模拟）如图，直三棱柱中，，，点D是BC的中点.
（1）求三棱锥的体积；
（2）求异面直线与所成角的大小.（结果用反三角函数值表示）
20．（2021高一下·梅州期末）在① ；② ；③ 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题目．
在 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且_______．
（1）求角C；
（2）若 ， 的面积为 ，求 的周长．
（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）
21．（2021·毕节模拟）已知函数 ，在 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 ．
（1）求C；
（2）点D为 边中点，且 ．给出以下条件：① ；② ．
从①②中仅选取一个条件，求b的值．
22．（2020高二上·溧阳期末）圆锥曲线有着令人惊奇的光学性质，这些性质均与它们的焦点有关.如：从椭圆的一个焦点处出发的光线照射到椭圆上，经过反射后通过椭圆的另一个焦点；从抛物线的焦点处出发的光线照射到抛物线上，经反射后的光线平行于抛物线的轴.某市进行科技展览，其中有一个展品就利用了圆锥曲线的光学性质，此展品的一个截面由一条抛物线 和一个“开了孔”的椭圆 构成（小孔在椭圆的左上方）.如图，椭圆与抛物线均关于 轴对称，且抛物线和椭圆的左端点都在坐标原点， ， 为椭圆 的焦点，同时 也为抛物线 的焦点，其中椭圆的短轴长为 ，在 处放置一个光源，其中一条光线经过椭圆两次反射后再次回到 经过的路程为8.由 照射的某些光线经椭圆反射后穿过小孔，再由抛物线反射之后不会被椭圆挡住.
（1）求抛物线 的方程；
（2）若由 发出的一条光线经由椭圆 上的点 反射后穿过小孔，再经抛物线上的点 反射后刚好与椭圆相切，求此时的线段 的长；
（3）在（2）的条件下，求线段 的长.
答案解析部分
1．【答案】D
【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】【解答】解：因为 ，故
所以 ，解得 .
故答案为：D
【分析】 利用向量数乘的坐标表示以及向量相等的充要条件,列式求解即可.
2．【答案】A
【考点】向量的加法及其几何意义；平面向量的基本定理及其意义
【解析】【解答】连接 ，如图，
则
.
故答案为：A.
【分析】利用空间向量加法法则直接求解可得答案。
3．【答案】B
【考点】向量的线性运算性质及几何意义；平面向量数量积的运算
【解析】【解答】解：因为点M在 内部（包括边界），所以 ，
由
.
故答案为：B.
【分析】根据点M在 内部（包括边界），得到的取值范围，再根据向量的线性运算得，根据向量数量积的运算，即可得出答案。
4．【答案】C
【考点】异面直线及其所成的角；余弦定理
【解析】【解答】由已知可知该几何体为正四面体,取 中点 ,连接 ,
则 就是所求角,且 ,由余弦定理得 。
故答案为：C
【分析】由已知可知该几何体为正四面体,取 中点 ,连接 ,则 就是所求角,且 ,再由余弦定理得出异面直线 与 所成角的余弦值。
5．【答案】B
【考点】向量的三角形法则；平面向量的基本定理及其意义
【解析】【解答】因为N为BC的中点，所以 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，
故答案为：B
【分析】利用平行四边形法则结合中点的性质，所以 ，因为 ，再利用共线定理，所以 ，再利用三角形法则结合平面向量基本定理，从而推出。
6．【答案】B
【考点】向量的模；向量的共线定理；平面向量数量积的运算
【解析】【解答】A.向量不能比较大小，所以A不正确；
B.根据向量减法运算公式可知，当向量 与 不共线时，两边之和大于第三边，即 ，当 与 反向时，等号成立，B符合题意；
C. ，C不正确；
D.当向量 与 不共线时，根据向量减法法则可知，两边之差小于第三边，即 ，D不正确.
故答案为：B
【分析】 根据向量共线，数量积，向量的模的性质，逐一判断即可。
7．【答案】C
【考点】向量的加法及其几何意义；向量的减法及其几何意义；向量数乘的运算及其几何意义；二倍角的余弦公式；正弦函数的零点与最值
【解析】【解答】在 中，设角 、 、 的对边分别为 、 、 ，
由正弦定理可得 ，则 ， ，
，即 ，
所以，
，
所以， ，
，则 ，当 时，即当 时， 取最大值，
即 .
故答案为：C.
【分析】在 中，由正弦定理得到 ， ，由 可得 ，对此平方化简可得： ，进而由B得范围 可求出AD最大值。
8．【答案】C
【考点】向量加减混合运算及其几何意义；正弦定理
【解析】【解答】因为 ，所以 ，故 ，
因为AD为BC边上的中线，所以有 ， ，
两边平方化简得： ，
所以 ，
又因为 为锐角三角形，
所以 ， ， ，
解得： ，所以 ．
故答案为：C.
【分析】根据题意由正弦定理整理得到，再结合向量的加、减运算法则整理得到由此得出 为锐角三角形，结合三角形的几何关系即可得出边之间的关系，由此得出c的取值范围，从而得到AD的取值范围。
9．【答案】C,D
【考点】向量的模；数量积的坐标表达式；空间向量的数量积运算
【解析】【解答】因为 ，所以 ，解得 ，
因为 ，所以 ．
故答案为：CD.
【分析】根据题意由空间向量的坐标公式代入数值计算出k的取值，再结合向量模的定义代入数值计算出结果即可。
10．【答案】A,B,D
【考点】平面向量数量积的运算；共线向量与共面向量
【解析】【解答】对于A选项，任意两个空间向量都共面，A对；
对于B选项，由空间向量数量积的定义可知 ，B对；
对于C选项，在 中， ， ， ，则 、 、 共面，C不符合题意；
对于D选项，由空间向量数量积的运算性质可得 ，D对.
故答案为：ABD.
【分析】利用已知条件结合向量共面的判断方法、数量积的定义、数量积的运算法则，从而找出说法正确的选项。
11．【答案】A,B,D
【考点】平面与平面平行的性质；向量的投影；余弦定理
【解析】【解答】如图所示，取 中点 ，连接 ， ， ，
则 ， ，
平面 平面 ，
平面 ，D选项正确；
由 ， 定值， 定值，
由余弦定理 ，
为定值，A选项正确；
是以点 为圆心， 为半径的圆周上，B选项正确，
在平面 中的射影为 ，且 与 不垂直，
所以不存在某个位置，使 ，C选项错误；
故答案为：ABD.
【分析】 取CD中点F，利用面面平行的性质判断D选项，再利用余弦定理判断A、B选项，利用投影的性质可判断C选项.
12．【答案】A,C,D
【考点】向量加减混合运算及其几何意义；向量的线性运算性质及几何意义；数量积表示两个向量的夹角
【解析】【解答】由题意，点O为 所在平面内一点， ，
可得 ，
即 ，即 ，可得 ，
所以A符合题意，B不符合题意；
如图所示，分别延长 于点 ，
使得 ，
因为 ，可得 ，所以 为 的重心，
设 的面积为 ，
可得 ， ，
，
所以 ，可得 ，所以C符合题意；
若 ，可得 ，
因为 ，可得 ，所以 ，
可得 ，即 ，即 ，
则 ，所以D符合题意.
故答案为：ACD.
【分析】 利用向量加法公式、向量数量积公式对选项逐一判断即可得出答案。
13．【答案】13
【考点】向量的模；平面向量数量积的运算
【解析】【解答】解：
则当时，则
故答案为：13
【分析】根据向量的模，以及向量的数量积求解即可.
14．【答案】
【考点】解三角形；正弦定理；余弦定理
【解析】【解答】 ，由正弦定理可得 ，又 ，
由余弦定理可得 ，
， .
故答案为： .
【分析】根据题意由正弦定理整理化简得到，再由余弦定理计算出cosA的值，由此得到角C的大小。
15．【答案】
【考点】平面向量的基本定理及其意义
【解析】【解答】设 ，
则
，
，
，解得 。
故答案为： 。
【分析】利用已知条件结合三角形法则和平面向量基本定理，从而结合向量相等的判断方法，再解方程组求出实数的值。
16．【答案】；
【考点】向量的共线定理；平面向量的基本定理及其意义；平面向量数量积的含义与物理意义；平面向量数量积的运算
【解析】【解答】由 ， ，则 ，
由题意，设 ，根据向量的线性运算，
可得
，
则 ，解得 ，所以 ，
从而有
。
故答案为： ， 。
【分析】设 ，再利用已知条件结合菱形的结构特征，再利用共线定理，从而结合平面向量基本定理得出 ，再利用对应相等，从而解方程组求出，从而得出，再利用数量积的运算法则结合数量积的定义，从而求出数量积的值。
17．【答案】（1）解：由正弦定理， ，又 ，
，即 ，由 ，得
（2）解：由余弦定理知： ，
∴ ，解得 ，
【考点】正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】(1)首先由正弦定理整理化简原式，结合同角三角函数的基本关系式计算出，由角的取值范围计算出角A的取值。
(2)利用余弦定理代入数值计算出b的值，再把数值代入到三角形的面积公式计算出结果即可。
18．【答案】（1）解：
（2）解：如下图所示，设 ，其中 ，
，
设 ，其中 ，
，
，
所以，
，
因为 ，所以， ，所以， ，
且 ，可得 ，
，
因此， 的取值范围是
【考点】函数的最值及其几何意义；平面向量数量积的运算
【解析】【分析】 （1）利用平面向量数量积的运算性质计算出结果即可。
(2)根据题意设出 ，其中 整理化简 再设出即可得出，再由整理得到关于和t的方程，即可得出整理结合二次函数的性质即可求出函数的最值。
19．【答案】（1）由题意得
所以三棱锥的体积.
即所求三棱锥的体积为.
（2）连接，由题意得，，且，
所以直线与所成的角就是异面直线与所成的角.
在中，，，，
由余弦定理得，
因为，所以.
因此所求异面直线与所成角的大小为.
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；异面直线及其所成的角；余弦定理
【解析】【分析】（1） 利用已知条件结合三角形面积的关系以及三角形的面积公式，进而得出的值，再利用三棱锥的体积公式，进而得出三棱锥的体积。
（2） 连接，由题意结合勾股定理得出BC的长，再利用中点的性质得出AD的长，再结合，所以直线与所成的角就是异面直线与所成的角，在中，，从而结合勾股定理得出的长和的长，再由余弦定理得出的值，再利用三角形中，从而结合反三角函数值求解方法，进而求出异面直线与所成角的大小。
20．【答案】（1）解：若选①， ，
由正弦定理可得 ，
即 ，
又在 中， ，
，
，
，
；
若选②， ，
由正弦定理得 ，又在 中， ，
，
，
；
若选③， ，
，即 ，
由余弦定理可得 ，
，
；
（2）因为 ， ， 的面积为
，
，
又由余弦定理有 ，即 ，
所以 ，
所以 的周长为 .
【考点】两角和与差的正弦公式；正弦定理；余弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1） 若选①，利用已知条件结合正弦定理和两角和的正弦公式，再结合三角形中内角和为180度的性质结合诱导公式，再结合三角形中角A的取值范围，进而求出角C的余弦值，再利用三角形中角C的取值范围，进而求出角C的值。 若选②，利用已知条件结合正弦定理结合三角形中角B的取值范围，进而结合同角三角函数基本关系式，进而求出角C的正切值，再利用三角形中角C的取值范围，进而求出角C的值。 若选③，利用已知条件结合余弦定理，从而求出角C的余弦值，再利用三角形中角C的取值范围，进而求出角C的值。
（2） 利用（1）中角C的值结合已知条件，再结合三角形的面积公式，进而求出ab的值，再利用余弦定理求出a+b的值，再结合三角形的周长公式，进而求出三角形 的周长。
21．【答案】（1）解：∵
∴
∵
∴
∴ ，
（2）解：若选①
∵
∴两边平方得：
∴ ；
解得 或 （舍去）
∴ ；
若选②
由
得：
由（1）得
解得：
解得： 或
由 ，得
【考点】两角和与差的正弦公式；余弦定理
【解析】【分析】(1)根据题意由两角和的正弦公式整理函数的解析式，再由正弦函数的性质求出最值以及其对应的角C的大小。
(2) 若选①由向量加法和数量积的运算性质整理计算出b的值即可。 若选②利用余弦定理结合(1)的结论计算出CD的值并由已知条件计算出a与b的值即可。
22．【答案】（1）解：设椭圆 的长轴长为 ，短轴长为 ，焦距为 ，
由题可知： ， ， ，
则 ，
故抛物线 的焦点 ，抛物线 的方程为
（2）解：因为光线经过抛物线的焦点，所以光线经过抛物线反射后平行与 轴，所以 纵坐标为 ，故设 ，代入抛物线 的方程得 ，即 ，
又 ，故
（3）解：由（2）知 ，即 ，
又 ，得 ，
又 ，故 .
设 ， ，
又 ，在 中，由余弦定理知
.
故线段 的长为 .
【考点】椭圆的简单性质；抛物线的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题；余弦定理
【解析】【分析】(1)根据题意由已知条件即可得出a与b的值，再由椭圆的 a、b 、c 三者的关系计算出c的值，从而即可求出抛物线的焦点坐标，由此即可得出抛物线的方程。
(2)结合光的反射性质即可得设出点的坐标，再把数值代入到抛物线的方程计算出结果，由此得出点的坐标，然后由两点间的距离公式代入数值计算出结果即可。
(3)结合直线的斜率公式结合倾斜角的取值范围，即可求出，由已知条件设出，，由三角形中的几何计算关系结合余弦定理计算出x的值，由此即可求出线段的大小。
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