精讲精练·专项突破 第六章《平面向量及其应用》单元能力提升（含详细解析）学生版 (3)

精讲精练·专项突破
2021-2022学年高一下学期人教版（2019）
第六章 《平面向量及其应用》 单元能力提升（含详细解析）学生版
一、单选题
1．（2021高三上·陕西月考）海上有A B两个小岛相距4海里，从A岛望C岛和B岛成60°的视角，从B岛望C岛和A岛成75°的视角，则A C间的距离是多少海里（　　）
A． B． C． D．
2．（2022·大连模拟）已知向量，，，，则（　　）
A．0 B． C． D．
3．（2021高二上·靖远期末）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，，则（　　）
A． B． C． D．
4．（2020高二上·东莞期末）2020年5月，《东莞市生活垃圾分类三年行动方案》出台.根据该方案，小明家所在小区设置了两个垃圾回收点A，B，他从自家楼下出发，向正北方向走80米，到达回收点A，再向南偏东60°方向走30米，到达回收点B，则他从回收点B回到自家楼下至少还需走（　　）
A．50米 B．57米 C．64米 D．70米
5．（2021·浙江会考）如图，正方体 中， 分别为棱 的中点，则异面直线DE与AF所成角的余弦值是（　　）
A． B． C． D．
6．（2021·青海模拟）已知向量a，b满足|a|=1，且a与b夹角为 ，则a·(-6a-b)=(　　)
A．6 B．-6 C．-7 D．7
7．（2021高三上·月考）如图所示， 是 的中线. 是 上的一点，且 ，若 ，其中 ，则 的值为（　　）
A． B． C． D．
8．（2021高二上·洛阳期中）在 中， ， ， 分别为三个内角 ， ， 的对边，已知 ，且 ， ， 成公差为 的等差数列，则 的最小角的余弦值为（　　）
A． B． C． D．
二、多选题
9．（2021高二上·河源月考）下列说法中，正确的是（　　）
A．直线 在y轴上的截距为3
B．直线 的倾斜角为60
C． ， ， 三点共线
D．过点 且在 轴上的截距相等的直线的方程为
10．（2021高一下·广东期末）下列说法中，正确的是（　　）
A．任意单位向量的模都相等.
B．若 ， 是平面内的两个不同的点，则
C．若向量 ， ，则
D．零向量与任意向量平行
11．（2021·新高考Ⅰ）已知O为坐标原点，点P1(cosα,sinα),P2(cosβ，-sinβ),P3(cos(α+β),sin(α+β))，A(1，0),则（　　）
A．| = B． =
C． = D．
12．（2021高一下·揭东期末）已知 中，角 的对边分别为 为 边上的高，以下结论：其中正确的选项是（　　）
A．
B． 为锐角三角形
C．
D．
三、填空题
13．（2021高一下·滨海新月考）已知甲、乙两船同时从 处出发，甲沿北偏东 的方向航行，乙沿正东方向航行至 处，然后沿一新航向继续航行，与甲在 处相遇，此时甲航行了60海里，乙由 至 航行了50海里，则 的大小是　 　.（精确到小数点后一位）
14．（2022·南宁模拟）已知向量，若，则实数　 　.
15．（2021高二上·湖南月考）如图，在平行六面体中，已知，，，，，则该平行六面体的体积为　 　．
16．（2021高二上·湖南月考）如图，在三棱柱中，底面，底面为直角三角形，，，，，是上一动点，则的最小值是　 　.
四、解答题
17．（2020高二上·南阳期末） ， ， 分别为 内角 ， ， 的对边，已知 .
（1）若 ， ，求 的面积.
（2）证明： .
18．（2021高一下·安徽期中）如图所示为一段环形跑道，中间的两段，为直跑道，且，两端均为半径为的半圆形跑道，以，，，四点为顶点的四边形是矩形．甲、乙两人同时从的中点处开始以的速率逆向跑步，甲、乙相对于初始位置点的位移分别用向量，表示．
（Ⅰ）当甲到达的中点处时，求；
（Ⅱ）求后，的夹角的余弦值．
注：的值取3．
19．（2021高二上·深圳期中）已知空间中三点 ， ， .
（1）求 的面积；
（2）若点 在A，B，C三点确定的平面内，求x的值.
20．（2021高三上·石家庄月考） 中，角 的对边分别为 ，且 .
（1）求角 的大小；
（2）若 ，△ 的面积为 ，求 的周长.
21．（2020高二上·宝安期末）在 中，角 的对边分别为 ，且满足 .
（Ⅰ）求角 的大小；
（Ⅱ）若 的面积为 ， ，求 和 的值.
22．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，边长均为正整数，且．
（1）若角B为钝角，求△ABC的面积；
（2）若，求a．
答案解析部分
1．【答案】B
【考点】正弦定理的应用
【解析】【解答】 ，
由正弦定理得
.
故答案为：B
【分析】根据题意把实际问题转化为数学问题，由三角形的内角和计算出角C的大小，然后由正弦定理代入数值计算出边AC的大小，从而得出答案。
2．【答案】B
【考点】数量积表示两个向量的夹角
【解析】【解答】∵，，，∴，∵向量夹角的范围是，∴.
故答案为：B.
【分析】根据题意由已知条件结合数量积的运算公式，代入数值计算出夹角的余弦值，从而即可求出夹角的大小。
3．【答案】A
【考点】同角三角函数间的基本关系；正弦定理
【解析】【解答】因为，
所以，
由正弦定理得。
故答案为：A
【分析】利用已知条件结合同角三角函数基本关系式，从而得出角A的正弦值，再利用正弦定理得出角B的正弦值。
4．【答案】D
【考点】余弦定理
【解析】【解答】由题意，可知李华的行走路线，如图所示，
由余弦定理可得
，
即他从回收点B回到自家楼下至少还需要走70米.
故答案为：D.
【分析】画出图形，利用余弦定理转化求解即可。
5．【答案】A
【考点】异面直线及其所成的角；余弦定理
【解析】【解答】取 的中点 ，连接
由 分别为 的中点，则 且
在正方体中 且 ,所以 且
所以四边形 为平行四边形，所以
则 （或其补角）为异面直线DE与AF所成角.
设正方体的棱长为2，则在 中， ,
所以
故答案为：A
【分析】根据题意由正方体的几何性质即可得出线线平行，由此即可得出异面直线所成角再把数值代入到余弦定理计算出结果即可。
6．【答案】B
【考点】平面向量数量积的含义与物理意义；平面向量数量积的运算
【解析】【解答】由|a|=1，且a，b夹角为 ，得a·b=|a||b|·cos =0，所以a·(-6a-b)=-6a2-a·b=-6。
【分析】利用已知条件结合数量积的运算法则和数量积的定义，从而求出a·(-6a-b)的值。
7．【答案】C
【考点】平面向量的基本定理及其意义；三角形五心
【解析】【解答】因为 是 的中线， 是 上的一点，且 ，
所以 是 的重心，
则
，
又因为 ，
所以 ， ，可得 。
故答案为：C.
【分析】 利用 是 的中线，所以 是 上的一点，且 ，所以 是 的重心，再利用重点的性质结合平行四边形法则和平面向量基本定理，得出 ，再利用 ，从而求出 和 的值 ，进而求出的值 。
8．【答案】D
【考点】等差数列的通项公式；两角和与差的正弦公式；余弦定理
【解析】【解答】因为 ，所以 ，
即 ， ，
所以 或 ，所以 或 （舍），
又 ， ， 成公差为 的等差数列，则可设 ，
为最小的边， 为最小角，
，
又 ，则 ，所以 ,所以 ，
所以 ，则有 ，解得 ，
所以 ，
故答案为：D
【分析】首先由正弦定理和两角和的正弦公式整理化简即可得到，结合等差数列的通项公式结合余弦定理计算出，由已知条件即可得出，进而得到关于n的方程，由此求解出n的取值，再把数值代入计算出结果即可。
9．【答案】B,C
【考点】平行向量与共线向量；直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系
【解析】【解答】对于A：直线 在y轴上的截距为-3，故A错误；
对于B： ，所以直线的斜率为 ，
则倾斜角 ，故B正确；
对于C：由 可得 ，
所以 ，A、B、C三点共线，故C正确；
对于D：过点 且在x、y轴截距相等的直线的方程为 或 ，故D错误.
故答案为：BC.
【分析】根据直线的方程与性质，结合共线向量与三点共线的判断求解即可.
10．【答案】A,D
【考点】向量的模；零向量；单位向量；平行向量与共线向量；相等向量与相反向量
【解析】【解答】解：对于A：根据单位向量的定义可知任意单位向量的模都相等，A符合题意；
对于B： 与 互为相反向量，B不符合题意；
对于C：若 时， 与 不一定共线，C不符合题意；
对于D：零向量与任意向量平行，D符合题意。
故答案为：AD
【分析】利用已知条件结合单位向量的定义和向量的模的定义，从而得出任意单位向量的模都相等；再利用已知条件结合相等向量和相反向量的判断方法， 从而推出 与 互为相反向量；利用已知条件结合平行向量的判断方法和平行的传递性，从而推出若 时， 与 不一定共线；再利用零向量的定义结合平行向量的定义，从而推出零向量与任意向量平行，进而选出正确的选项。
11．【答案】A,C
【考点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量数量积的运算；两角和与差的余弦公式；两角和与差的正弦公式
【解析】【解答】解：，故A正确；
因为，故B错误；
因为，
，
所以
故C正确；
因为，
，
所以D错误
故答案为：AC.
【分析】根据向量的数量积，及向量的求模直接求解即可.
12．【答案】A,C,D
【考点】平面向量数量积的运算；数量积表示两个向量的夹角；余弦定理；三角形的形状判断
【解析】【解答】 ，
，所以 ，A符合题意；
若 ，则 为锐角，无法得到其他角的关系，故无法判断 的形状，B不符合题意；
，
而 ，C符合题意；
，
由余弦定理有 ，
故有 ，D符合题意。
故答案为：ACD
【分析】利用已知条件结合数量积的运算法则，从而得出；利用已知条件结合数量积求向量的夹角公式，再结合三角函数值在各象限的符号，从而判断出三角形的形状；利用已知条件结合数量积求向量的夹角公式，再结合正弦函数的定义，从而得出；利用已知条件结合余弦定理和数量积的运算法则，进而得出，从而找出正确的选项。
13．【答案】55.7
【考点】余弦定理
【解析】【解答】如图所示：
在 中，由余弦定理得 ，
，
，
所以
故答案为：55.7海里
【分析】根据题意由余弦定理代入数值计算出结果即可。
14．【答案】-1
【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】【解答】由题意，
由 得 ， ，
故答案为：-1．
【分析】利用向量坐标运算法则求出 ，再由，利用向量平行的性质列方程，能求出实数m.
15．【答案】
【考点】平面向量数量积的运算；棱柱、棱锥、棱台的体积；余弦定理
【解析】【解答】因为，所以
，
又，所以，即，，
过作平面ABCD于O，连接AO，交于点，可知点为的中点，AO为的平分线，
连接，则，所以
，
因此，
在中，由余弦定理有，可得，
所以在中，由勾股定理的逆定理可知为直角三角形，且，
所以，所以，，
故该平行六面体的体积为。
故答案为：。
【分析】利用已知条件结合平面向量基本定理，得出，再利用数量积求向量的模的公式结合数量积的运算法则和数量积的定义，再结合，从而得出的值，过作平面ABCD于O，连接AO，交于点，可知点为的中点，AO为的平分线，连接，再利用中点的性质结合平面向量基本定理，则，再利用数量积求向量的模的公式结合数量积的运算法则和数量积的定义，从而得出的长，在中，由余弦定理可得的长，所以在中，由勾股定理的逆定理可知为直角三角形，且，再利用余弦函数的定义得出的值，再结合同角三角函数基本关系式，从而得出的值，进而求出的长，再结合棱柱的体积公式得出该平行六面体的体积。
16．【答案】
【考点】余弦定理
【解析】【解答】连接，沿将展开至与在同一个平面内，如图所示，
连接，则的长度就是所求的最小值.
在三棱柱中，底面，底面为直角三角形，
，，，，
则，，，，，
即，，所以.
在中，由余弦定理得，
故的最小值是.
故答案为：
【分析】连接，沿将展开至与在同一个平面内，利用两点之间线段最短，则的长度就是所求的最小值，然后利用余弦定理即可求出的值，进而求出 的最小值 .
17．【答案】（1）解：因为 ， ，所以 .
解得 ，则 ，所以 ，
故 的面积
（2）证明：因为 ，
所以 ，
即 ，
由正弦定理得 ，
故
【考点】同角三角函数间的基本关系；解三角形；正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】(1)根据题意整理化简即可计算出c的值，然后再由余弦定理代入计算出cosC的值，由同角三角函数的基本关系式，计算出sinc的值，再把数值代入到三角形的面积公式计算出结果即可。
(2)由已知条件整理即可得出，然后由正弦定理整理结合同角三角函数的基本关系式即可得证出结论。
18．【答案】解：（Ⅰ）如图，以点为坐标原点，所在直线为轴建立如图所示的直角坐标系．
当甲到达的中点处时，乙到达的中点处，
设此时甲的位置为点，乙的位置为点，
则，，
，，
∴．
（Ⅱ）后甲、乙的路程均为，
，的长度均为，
∴后甲、乙分别到达点，处．
∴，．
设，的夹角为，
则．
∴后，的夹角的余弦值为．
【考点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；数量积表示两个向量的夹角
【解析】【分析】（Ⅰ） 先建立恰当的平面直角坐标系 ,当甲、乙分别到达、的中点E、F处时，易得，， 从而求出 ．
（Ⅱ） 根据题意易知20s后甲、乙的路程均为140m,易得 、的长度，并求得，， 进而利用求解即可．
19．【答案】（1）解：由题意三点 ， ， .
可得 ，可得 ，所以 ，
即 ，所以 为直角三角形，
又由 ，
所以 的面积 .
（2）解：由 ，可得 ，
因为点 在 三点确定的平面内，所以存在实数 使得 ，
即 ,解得 .
【考点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；数量积的坐标表达式；数量积判断两个平面向量的垂直关系；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1） 由题意，三点 ， ， 。再利用向量的坐标表示求出向量 的坐标 ，再利用数量积的坐标表示结合数量积为0两向量垂直的等价关系，可得 ，所以 为直角三角形，再利用勾股定理 的值 ，再结合向量的模的坐标表示求出 的值 ， 再利用三角形面积公式得出三角形 的面积。
(2) 由 结合向量的坐标表示求出向量 的坐标 ，再利用点 在 三点确定的平面内，所以存在实数 使得 ，再结合向量共线的坐标表示和向量的坐标运算，从而解方程组求出 的值。
20．【答案】（1）由 及正弦定理得 ，
所以 ，∴ ，
又∵ ，∴ ，
又∵ ，∴ ；
（2） ， ，根据余弦定理得 ，
由 的面积为 ，得 ,
所以 ，得 ，
所以 周长 .
【考点】正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】 (1)由已知等式及正弦定理化简可求cosA的值，结合范围0(2)根据余弦定理和三角形的面积公式即可求出b+c的值，即可求出△ABC的周长.
21．【答案】解：（Ⅰ）由正弦定理可知： ,已知 ，所以
， ,
所以有 .
（Ⅱ） ，由余弦定理可知：
,
,
.
【考点】两角和与差的余弦公式；两角和与差的正弦公式；同角三角函数基本关系的运用；正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合正弦定理和两角和的正弦公式，再结合三角形中角A的取值范围，从而利用同角三角函数的基本关系式，从而结合三角形中角C的取值范围，进而得出角C的值。
（2）利用已知条件结合三角形的面积公式，从而求出ab的值，再结合已知条件，从而解方程组求出a,b的值，再利用余弦定理求出c的值，再结合余弦定理求出角A的余弦值，再利用同角三角函数的基本关系式，从而求出角A的正弦值，再利用二倍角的正弦公式和余弦公式，充沛求出角2A的正弦值和余弦值，再结合两角差的余弦公式，从而求出 的值。
22．【答案】（1）由角B为钝角，则，即；
又∵，即，且a，，因此或符合题意．
故，则，
因此△ABC的面积为．
（2）由，得，由正弦定理，可得；
由余弦定理，得，∵，．
若，则，故，
则，，此时，不符合题意．
∴，由，得，
又，即，则．
∵a，，故当时，有，而，故能构成三角形，故．
【考点】解三角形；余弦定理
【解析】【分析】(1)根据题意结合余弦定理代入数值整理即可得到不等式，结合已知条件即可得出不等式组，求解出a与c的取值再把结果代入到三角形的面积公式计算出结果即可。
(2)首先根据题意结合正弦定理整理化简原式，从而即可得出，并把结果代入到余弦定理计算出角之间的关系，从而计算出角的大小，利用三角形中的几何关系计算出，再代入验证求解出a的值即可。
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