精讲精练·专项突破 第七章《复数》单元能力提升（含详细解析） (1)

精讲精练·专项突破
2021-2022学年高一下学期人教版（2019）
第七章 《复数》 单元能力提升（含详细解析）
一、单选题
1．（2021·鹤壁模拟）已知复数 ，则 （　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【考点】复数代数形式的混合运算；复数求模
【解析】【解答】由题得 ，
所以 .
故答案为：C
【分析】根据题意首先由复数代数形式的运算性质整理再结合复数模的概念即可得出答案。
2．（2021高一下·青岛期中）已知i为虚数单位，下列与i相等的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【考点】复数代数形式的混合运算
【解析】【解答】对于A： ，A不符合题意；
对于B： ，B不符合题意；
对于C： ，C不符合题意；
对于D： ，D符合题意.
故答案为：D
【分析】比较简单，由复数的四则运算性质即可判断。
3．（2021·浙江模拟）已知 ，若 是纯虚数，则m的值为（　　）
A．0 B．-1 C．1 D．2
【答案】A
【考点】虚数单位i及其性质
【解析】【解答】因为 是纯虚数，
所以 .
故答案为：A.
【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部为0且虚部不为0列式求解。
4．（2021高二上·楚雄月考）若复数 满足 （i是虚数单位），则 （　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【考点】复数代数形式的混合运算
【解析】【解答】解：由题意得.
故答案为：B
【分析】根据复数的运算法则求解即可.
5．（2022·上饶模拟）已知复数，则下列说法正确的是（　　）
A．的虚部为-1
B．z的共轭复数为
C．
D．z在复平面内对应的点在第二象限
【答案】A
【考点】复数的代数表示法及其几何意义；复数代数形式的乘除运算；复数求模
【解析】【解答】由题意知，，
对于A，的虚部为-1，A符合题意；
对于B，的共轭复数为，B不符合题意；
对于C，，C不符合题意；
对于D，在复平面内对应的点在第四象限，D不符合题意.
故答案为：A
【分析】 利用复数代数形式的乘除运算化简，求出z，然后逐一计算四个选项，可得答案.
6．（2021高三上·顺德月考）已知复数 ，则下列说法正确的是（　　）
A．z的虚部为4i
B．z的共轭复数为1﹣4i
C．|z|＝5
D．z在复平面内对应的点在第二象限
【答案】B
【考点】虚数单位i及其性质；复数的代数表示法及其几何意义；复数代数形式的乘除运算；复数求模
【解析】【解答】∵ ，
∴ z的虚部为4, z的共轭复数为1﹣4i，|z| ，z在复平面内对应的点在第一象限.
故答案为：B
【分析】 利用复数代数形式的乘除运算化简，求出z，然后逐一核对四个选项得答案.
7．（2022·昆明模拟）在复平面内，复数，，，对应的点分别为，，，，则其中一个点不在以原点为圆心，半径为的圆上的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【考点】复数的代数表示法及其几何意义；复数求模
【解析】【解答】，
所以不在。
故答案为：C
【分析】利用已知条件结合复数求模公式，再结合复数的几何意义，从而找出其中一个不在以原点为圆心，半径为的圆上的点。
8．（2021高三上·如皋月考）已知复数 满足 ，则在复平面上 对应点的轨迹为（　　）
A．直线 B．线段 C．圆 D．等腰三角形
【答案】A
【考点】复数的代数表示法及其几何意义
【解析】【解答】设复数 ，
根据复数的几何意义知： 表示复平面内点 与点 的距离，
表示复平面内点 与点 的距离，
因为 ，即点 到 两点间的距离相等，
所以点 在线段 的垂直平分线上，所以在复平面上 对应点的轨迹为直线.
故答案为：A.
【分析】 利用两个复数的差的绝对值表示两个复数对应点之间的距离，分析已知等式的意义，推出结果.
二、多选题
9．（2021高一下·联合期中）在复平面内，下列说法正确的是（　　）
A．若复数满足，则一定有
B．若复数满足，则一定有
C．若复数，则z为纯虚数的充要条件是
D．若复数z满足，则复数z对应点的集合是以原点O为圆心，以2为半径的圆
【答案】A,D
【考点】复数的基本概念；复数的代数表示法及其几何意义
【解析】【解答】若复数满足，则是实数，所以，故A正确
取，满足，但不能比较大小，故B错误
若复数，则z为纯虚数的充要条件是，，故C错误
若复数z满足，则复数z对应点的集合是以原点O为圆心，以2为半径的圆，故D正确
故答案为：AD
【分析】由复数的概念及模长的几何意义逐项判断即可。
10．（2021高一下·思明期中）已知i是虚数单位，复数 (z的共轭复数为 )，则下列说法中正确的是（　　）
A． 的虚部为1 B．
C． D．
【答案】A,C
【考点】复数的基本概念；复数代数形式的混合运算；复数求模
【解析】【解答】 ，所以，
对于A， 的虚部为1，A符合题意；
对于B， ，B不正确；
对于C， ，C符合题意；
对于D， ，D不正确.
故答案为：AC
【分析】先化简 ，再求其共轭复数，再通过复数运算，得到正确选项AC。
11．（2021高二下·荔湾期末）在复平面内，复数z＝a＋bi对应向量为 （O为坐标原点， ）．设 ，射线Ox为始边，OZ为终边逆时针旋转的角为 ，则 ．数学家棣莫弗发现：设 ，则 ，我们称这个结论为英弗定理，并由此定理推出了复数乘方公式： ，根据以上信息，下列说法正确的是（　　）
A．当r＝1， 时，
B．当r＝1， 时，
C．
D．当r＝1， 时，若n为偶数，则复数 为纯虚数
【答案】B,C
【考点】复数代数形式的混合运算；复数求模
【解析】【解答】解：对于A，当 ， 时， ，A不符合题意；
对于B，当 ， 时， ，
所以 ，B符合题意；
对于C， ，则 ，
所以 ，
又 ，
所以 ，C符合题意；
对于D，当 ， 时， ，
取 时，则 为偶数，此时 不是纯虚数，D不符合题意．
故答案为：BC．
【分析】 利用复数乘方公式即可判断选项A；利用复数的三角形式以及共复数的定义即可判断选项B；利用复数的三角形式与模的计算公式即可判断选项C；利用复数乘方公式化简z”，取n=4验证，即可判断选项D，由此即可得出答案。
12．（2021·湖南模拟）设复数 满足 ，则（　　）
A．
B．
C．若 ，则
D．若 ，则
【答案】B,C,D
【考点】复数代数形式的混合运算；复数求模
【解析】【解答】设复数 ，由 ，所以 ，
因此： ，A选项错误；
因为 ，所以B选项正确；
因为 ，所以 ，则
所以 ，所以C选项正确；
因为 ，
根据复数的几何意义可知，复数 所表示的点 的轨迹是以 为圆心，1为半径的圆，
则由对称性可知，复数 所表示的点 的轨迹是以 为圆心，1为半径的圆，
由 的几何意义表示点 与 间的距离，由图可知： ，D选项正确；
故答案为：BCD.
【分析】根据题意由复数代数形式的运算性质结合复数模的运算性质对选项逐一判断即可得出答案。
三、填空题
13．（2021高一下·昌平期末）设 ，复数 .若复数 是纯虚数，则 　 　；若复数 在复平面内对应的点位于实轴上，则 　 　.
【答案】1；-1
【考点】虚数单位i及其性质；复数的代数表示法及其几何意义
【解析】【解答】
①若复数 是纯虚数，则 ，解得 ；
②若复数 在复平面内对应的点位于实轴上，则 ，解得 .
故答案为: ①1；②-1
【分析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出答案。
14．（2021·普陀模拟）已知复数 为虚数单位）， 表示 的共轭复数，则 　 　.
【答案】1
【考点】复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】 ，
∴ 。
故答案为：1。
【分析】利用复数的乘除法运算法则求出复数z，再利用复数与共轭复数的关系，从而求出复数z的共轭复数，再利用复数的乘法运算法则，从而求出的值。
15．（2021高二下·河北期末）已知 是虚数单位，复数 满足 ，则复数 的共轭复数在复平面内对应的点位于第　 　象限.
【答案】四
【考点】复数的代数表示法及其几何意义
【解析】【解答】解：因为 ，所以 ，即 ，所以 ，再复平面内所对应的点的坐标为 位于第四象限，
故答案为：四
【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简，求出 的共轭复数，得到其坐标即可。
16．（2022高三上·杨浦模拟）已知复数z满足：（为虚数单位），则　 　.
【答案】
【考点】复数代数形式的乘除运算；复数求模
【解析】【解答】解：因为，所以，所以，所以，所以
故答案为：
【分析】 把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，然后利用复数模的计算公式求解即可.
四、解答题
17．（2021高一下·抚顺期末）已知复数 ．
（1）求复数z．
（2）若 ，求实数 的值．
【答案】（1）
（2）把 代入 ，
得 ，
整理得 ，
所以
解得
【考点】复数相等的充要条件；复数代数形式的乘除运算
【解析】【分析】 (1) 由复数乘除法则化简整理即可；
(2) 把 代入 ， 整理成x+yi形式，由复数相等知识实部、虛部分别相等,列方程组求解.
18．（2021高一下·宣城期中）已知复数是虚数单位是关于的实系数方程根．
（1）求的值；
（2）复数，求复数的值．
【答案】（1）解：实系数方程的虚根是互为共轭复数的，
所以另一根是，根据韦达定理可得，
（2）解：由（1）得
则.
【考点】一元二次方程的解集及其根与系数的关系；复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算
【解析】【分析】（1）利用已知条件得出实系数方程的虚根是互为共轭复数，再结合复数域共轭复数的关系得出方程的另一个根，再结合韦达定理得出p,q的值。
（2）利用p,q的值求出复数w，再利用复数的乘除法运算法则求出复数 的值。
19．（2021高二上·房山期中）如图，在复平面内，复数 对应的点为 .
（1）写出复数 及 的值；
（2）若 ，求 ，并在复平面内标出 对应的点B.
【答案】（1）复数
（2） 且
对应的点 ，如图所示.
【考点】复数的代数表示法及其几何意义；复数代数形式的混合运算；复数求模
【解析】【分析】 (1)由图可知，再由复数模的计算公式求出|z|的值。
(2)利用复数代数形式的乘除运算求，由此得到B的坐标，从而即可在复平面内标出对应的点。
20．（2021高一下·沈阳期末）设复数 ，其中 ．
（1）若复数 在复平面内对应的点在直线 上，求 的值；
（2）求 的取值范围．
【答案】（1）由复数 ，
可得 ，
因为复数 在复平面内对应的点在直线 上，
所以 ，即 ，所以 .
（2）因为 ，
所以 ，
又因为 ，可得 ， ，
所以 ，所以 的取值范围 .
【考点】复数代数形式的乘除运算；复数求模
【解析】【分析】 (1)由已知条件 ，可得 ，再结合条件复数 在复平面内对应的点在直线y = 2x上，即可求解；
(2)根据已知条件，结合复数模公式和三角函数的图象，即可求解.
21．（2021·株洲模拟）已知复数 ，满足 ，其中i为虚数单位， 表示 的共轭复数.
（1）求 的值；
（2）求 .
【答案】（1）解：由题意知， ，
；
（2）解： ；
，
又 ，
则 是以 为首项， 为公差的等差数列，
，
故 ．
【考点】复数求模
【解析】【分析】（1） 由题意知， ， ，再根据模长公式得出 的值 ；
（2）由 ，得 ， 则 是以 为首项， 为公差的等差数列， 进而得出 .
22．（2020高二上·上海期末） 为虚数单位， 且 是纯虚数，
（1）求 的取值范围；
（2）若 ， ， ，求 的最小值.
【答案】（1）解： ，
因为 为纯虚数，
所以 且 ，
所以 或 ，
当 时，
，
当 时，
， ，
所以 ，
综上： .
（2）解：由（1） 或 ，又 ，
所以 ， ，
， ，
由题意知 ，
所以 ，
，
当且仅当 时，等号成立，
所以 的最小值为 .
【考点】复数代数形式的混合运算；复数求模
【解析】【分析】(1)根据题意首先整理代数式结合已知条件为纯虚数，即可计算出a、b的关系式，分情况讨论即可求出的代数式，结合a的取值范围即可得出结果。
(2)由(1)的结论得出a的取值范围，结合题意整理即可得出；再由即可求出，整理化简结合基本不等式即可求出最小值。
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