精讲精练·专项突破 第七章《复数》单元能力提升（含详细解析） (2)

精讲精练·专项突破
2021-2022学年高一下学期人教版（2019）
第七章 《复数》 单元能力提升（含详细解析）
一、单选题
1．（2022·福建模拟）若复数满足，则在复平面内对应的点在（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．（2021高一下·江门月考）复数 ，则z的虚部是（　　）
A．1 B． C．-2 D．-1
3．（2021高二下·郴州期末）若复数 的模为5，虚部为-4，则复数 （　　）
A． B．
C． 或 D．
4．（2021·南京模拟）设复数 在复平面内的对应点关于实轴对称， 则 （　　）
A．25 B．-25 C． D．
5．（2021高二下·重庆期末）在复平面内，复数 对应的点位于（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
6．（2021·汕头模拟）在复平面内，复数 的共轭复数对应点的坐标所在的象限是（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
7．（2021高一下·江苏期中）设 为单位向量，满足 ，设 的夹角为 ，则 的可能取值为（　　）
A． B． C． D．
8．（2021·南平模拟）复数 满足 ，则复平面上表示复数 的点位于（　　）
A．第一或第三象限 B．第二或第四象限
C．实轴 D．虚轴
二、多选题
9．（2021高一下·肥城期中）已知 为虚数单位，以下四个说法中正确的是（　　）
A．
B．若 ，则复平面内 对应的点位于第二象限
C．已知复数 且 ，则
D．若复数 是纯虚数，则 或
10．（2021高一下·江门月考）已知复数z在复平面上对应的点为z ，i为虚数单位，则下列正确的是（　　）
A．z＝﹣1＋3i B． ＝10 C． ＝3＋i D．z＋i是实数
11．（2021高一下·台州期中）关于复数z的运算结论正确的有（　　）
A． B．
C． D．
12．（2021高一下·江苏期中）在复平面内，下列说法正确的是（　　）
A．若复数 （i为虚数单位），则
B．若复数z满足 ，则
C．若复数 ，则z为纯虚数的充要条件是
D．若复数z满足 ，则复数z对应点的集合是以原点O为圆心，以1为半径的圆
三、填空题
13．（2021高二下·淮南月考）设 ，则 　 　 ．
14．（2021高一下·顺德期末）如果复数 满足 那么 　 　.
15．（2021高二下·云浮期末）计算 　 　.
16．（2021高一下·宁波期末）设 ，若 ，则 的最大值为　 　．
四、解答题
17．（2021高一下·安徽期中）当实数满足什么条件时，在复平面内表示复数的点分别满足下列条件？
（Ⅰ）位于第三象限；
（Ⅱ）位于第二象限或第四象限；
（Ⅲ）位于直线上．
18．（2021高一下·江门月考）设复数 .
（1）求 及 ；
（2）求 .
19．（2021高一下·思明期中）已知复数 z=（m2-8m+15）+（m2-9m+18）i ，实数 取什么值时，
（1）复数 为实数？
（2）复数 为纯虚数？
20．（2021高一下·杭州期中）已知复数z＝a＋i(a>0，a∈R)，i为虚数单位，且复数为实数.
（1）求复数z；
（2）在复平面内，若复数(m＋z)2对应的点在第一象限，求实数m的取值范围.
21．（2021高一下·三明期末）在复平面内，O为坐标原点，复数 ， 所对应的向量分别为 ， .
（1）求 所对应的点C的坐标；
（2）求 的值
22．（2021高一下·无锡期末）设 是虛数， 是实数，且 ．
（1）求 的实部的取值范围；
（2）若 ，求 的最小值．
答案解析部分
1．【答案】D
【考点】复数的代数表示法及其几何意义；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：因为，所以复数在复平面内对应点的坐标为位于第四象限，
故答案为：D
【分析】首先根据复数代数形式的除法运算法则化简复数z，再根据复数的几何意义判断即可.
2．【答案】C
【考点】复数的基本概念
【解析】【解答】解：根据复数的概念易知 复数 的虚部时-2.
故答案为：C
【分析】根据复数的概念求解即可.
3．【答案】C
【考点】复数的代数表示法及其几何意义；复数求模
【解析】【解答】设 ， ，
∴ ，解得 ，
∴ .
故答案为：C
【分析】 设复数 ， ， 根据复数的模求出x的值，即可求出复数z的值。
4．【答案】A
【考点】复数的代数表示法及其几何意义；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】复数 在复平面内的对应点关于实轴对称，
则 ，所以 。
故答案为：A
【分析】利用已知条件结合复数的几何意义，再结合点与点关于实轴对称的判断方法，进而求出，进而结合复数的乘法运算法则，从而求出复数。
5．【答案】D
【考点】复数的代数表示法及其几何意义
【解析】【解答】复数 对应的点为 ，所以位于第四象限，
故答案为：D.
【分析】 化简复数可得复数对应的点，由此可得答案.
6．【答案】C
【考点】复数的代数表示法及其几何意义；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】
其共轭复数为 ，对应点的坐标为 ，位于第三象限.
故答案为：C
【分析】 先利用复数的除法运算求出复数的代数形式，再结合共轭复数的定义以及复数的几何意义分析求解即可．
7．【答案】C
【考点】函数的最值及其几何意义；数量积表示两个向量的夹角；复数代数形式的混合运算
【解析】【解答】因为 为单位向量，
不妨设 ，且 ，
所以 ，
又因为 ，所以 ，
化简得 ，所以 ，
，
，
当 时， ，
故答案为：C
【分析】 利用复数模的平方等于复数的平方化简条件得，再根据向量夹角公式求出cosA函
数关系式，再根据函数单调性求出最值.
8．【答案】B
【考点】复数的代数表示法及其几何意义；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】设复数 ，则 ，
因为 ，
所以 ，即 ，
所以 a=-b，
所以在复平面上表示复数 的点位于第二或第四象限，
故答案为：B
【分析】 利用复数的除法的运算法则化简复数，求出对应点的坐标即可．
9．【答案】A,C
【考点】复数的基本概念；复数的代数表示法及其几何意义；复数代数形式的混合运算；复数求模
【解析】【解答】对于A选项： ，A符合题意；
对于B选项： ， 对应点 位于第三象限，B不正确；
对于C选项：因 ， ，则 ，化简得 ，C符合题意；
对于D选项：因 是纯虚数，则 得 ，D不正确.
故答案为：AC
【分析】 通由举例可判断A；由复数运算可判断出B；由复数的代数形式运算法则结合复数几何意义可判断出C；由复数代数形式的几何意义可判断出D，从而得出答案。
10．【答案】C,D
【考点】复数的基本概念；复数求模
【解析】【解答】解：由题意得z=3-i，故A错误，又，故B错误，
＝3＋i
则z+i=3-i+i=3是实数，故D正确.
故答案为：D
【分析】根据复数的概念求解即可.
11．【答案】A,C,D
【考点】复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】设，则，，A正确；
，当时，是虚数，而一定是实数，不可能相等，B错；
设，
.
，C正确；
，D正确．
故答案为：ACD．
【分析】设，得，再由复数的概念、四则运算、模长公式，逐项判断。
12．【答案】A,D
【考点】复数的基本概念；复数代数形式的混合运算；复数求模
【解析】【解答】解：对于A： ， ， ，所以 ，A符合题意；
对于B：设 ， ，所以 ，若 ，则 ，则 或 或 ，当 时 ，B不符合题意；
复数 ，则z为纯虚数的充要条件是 且 ，C不符合题意；
若复数z满足 ，则复数z对应点的集合是以原点O为圆心，以1为半径的圆，D符合题意；
故答案为：AD
【分析】根据题意选项A先化简.复数’根据复数的周期性及其运算法则即可得出z30，即可判断出正误.选项B举例 即可判断出正误.选项C.复数z=a+bi(a，bE R)，则z为纯虚数的充要条件是，即可判断出正误.D.根据复数的几何意义即可判断出正误.
13．【答案】2
【考点】复数代数形式的混合运算；复数求模
【解析】【解答】 ，所以 。
故答案为：2。
【分析】利用已知条件结合复数乘除法运算法则，进而求出复数z,再利用复数求模公式，进而求出复数z的模。
14．【答案】
【考点】复数代数形式的乘除运算；复数求模
【解析】【解答】解：设z＝a+bi，
则由z2﹣2z+2＝0得（a+bi）2﹣2（a+bi）+2＝0，
即a2﹣b2﹣2a+2+（2ab﹣2b）i＝0，
则a2﹣b2﹣2a+2＝0①且2ab﹣2b＝0②，
由2ab﹣2b＝0得ab﹣b＝0，
即b＝0或a＝1，
若b＝0，由①得a2﹣2a+2＝0此时a无解，
若a＝1由①得b2＝1，即b＝1或b＝﹣1，
即z＝1+i或z＝1﹣i，
则|z|＝ ，
故答案为：
【分析】 设z=a+bi,利用待定系数法建立方程组求出a,b的值，结合复数的模长公式进行计算即可.
15．【答案】
【考点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：原式 ，
故答案为： .
【分析】 利用复数的运算法则即可得出.
16．【答案】3
【考点】复数的代数表示法及其几何意义
【解析】【解答】解： ， ，设 ， ，则 ，所以 ，所以 ，因为 ，所以 ，
，
所以 ，所以
则 的最大值为3，
故答案为：3．
【分析】根据已知条件，结合不等式的公式，即可求解.
17．【答案】解：（Ⅰ）由题可知，
即，
解得的取值范围为．
（Ⅱ）由题知，或，
即，或，
解得的取值范围为．
（Ⅲ）由题可知，
即，
解得．
【考点】复数的代数表示法及其几何意义
【解析】【分析】（Ⅰ）利用复数的几何意义，列不等式求解；
（Ⅱ）利用复数实部和虚部的几何意义，列式求解；
（Ⅲ）由条件可知 ,解方程即可求解m的值.
18．【答案】（1）解：由题意 ，
（2）解：
【考点】复数的基本概念；复数代数形式的混合运算；复数求模
【解析】【分析】（1）根据复数的模，以及共轭复数求解即可；
（2）根据复数的运算法则求解即可.
19．【答案】（1） 解得: 或 ;
（2） 所以: 所以: .
【考点】复数的基本概念
【解析】【分析】（1），由虚部为零，可以求了m的值；
（2）由实部为零，而虚部不为零，求得m的值。
20．【答案】（1）解：因为z＝a＋i(a>0)，
所以z＋＝a＋i＋
＝a＋i＋
＝a＋i＋
＝，
由于复数z＋为实数，所以1－＝0，
因为a>0，解得a＝1，因此，z＝1＋i.
（2）解：由题意(m＋z)2＝(m＋1＋i)2
＝(m＋1)2－1＋2(m＋1)i＝(m2＋2m)＋2(m＋1)i，
由于复数(m＋z)2对应的点在第一象限，则，解得m>0.
因此，实数m的取值范围是(0，＋∞).
【考点】复数的基本概念；复数的代数表示法及其几何意义；复数代数形式的乘除运算；复数代数形式的加减运算
【解析】【分析】（1）由复数的四则运算及 复数为实数. 即可求出结果；
（2）由（1）可得 (m＋z)2＝(m2＋2m)＋2(m＋1)i，由其对应的点在第一象限，可列出不等式组，求解即可。
21．【答案】（1）解：因为 ， ，
所以 ，.
所以点C的坐标为 ；
（2）依题意 ， ， ，
从而 ， 所以 .
【考点】复数的代数表示法及其几何意义；复数代数形式的乘除运算
【解析】【分析】 (1)根据已知条件,结合复数的乘法原则和复数的几何含义，即可求解；
(2)根据已知条件,结合向量之间的夹角公式，以及三角形面积公式，即可求解.
22．【答案】（1）解：设 ，（ ， ， ），
则
因为 是实数， ，
所以 ，所以 ，
由 得 ，
所以 的实部的取值范围是 ；
（2） ，
．
因为 ，
所以 ，
因为 ，所以 ，
所以
当且仅当 ，即 时， 取到最小值 ．
【考点】基本不等式；复数代数形式的混合运算
【解析】【分析】（1） 设 ，（ ， ， ），则 ，因为 是实数， ，所以 ，所以 ，由 ，得 的实部的取值范围；
（2） ， ，由 得 ，利用基本不等式即可求出 的最小值 。
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