精讲精练·专项突破 第七章《复数》单元能力提升（含详细解析） (4)

精讲精练·专项突破
2021-2022学年高一下学期人教版（2019）
第七章 《复数》 单元能力提升（含详细解析）
一、单选题
1．（2021·自贡模拟）若复数 为纯虚数（ 是虚数单位），则实数 （　　）
A．-5 B．-2 C．2 D．5
2．（2021·昌平模拟）已知复数 ，则 的共轭复数 的虚部为（　　）
A．2 B．1 C．-1 D．-2
3．（2021高一下·连云港期末）计算 的结果是（　　）
A． B． C． D．
4．（2021高二上·杭州期末）若复数z满足 （其中i为虚数单位），则z的虚部是（　　）
A．2i B． C．2 D．-2
5．（2021·天河模拟）已知 为虚数单位，且 ，则复数 的虚部为（　　）
A． B． C． D．
6．（2021·深圳模拟）已知复数 ，则 （　　）
A． B． C． D．1
7．（2021·郑州一模）设复数 满足 ，则 （　　）
A． B． C．1 D．
8．（2021·江西模拟）已知 ，且 (其中 为虚数单位)，则 （　　）
A．-2 B．-4 C．2 D．4
二、多选题
9．（2021高一下·南通期末）在复平面内，复数 对应的点为 则（　　）
A． B． C． D．
10．（2021高三上·苏州期中）已知实数a满足， （i为虚数单位），复数 ，则（　　）
A．z为纯虚数 B． 为虚数 C． D．
11．（2022·衡阳模拟）复数，则下列选项一定正确的是（　　）
A． B． C． D．
12．（2021高一下·扬州期末）已知实数 和虚数单位 ，定义：复数 为单位复数，复数 为伴随复数，复数 为目标复数，目标复数的实部 和虚部 分别为实部函数 和虚部函数 ，则正确的说法有（　　）
A．
B．
C．若 ，则 ，
D．若 ， 且 ，则锐角 的正弦值
三、填空题
13．（2021高三下·河西模拟） 为虚数单位，复数 　 　.
14．（2021高一下·安庆期末）已知复数 为纯虚数（其中 为虚数单位），则 　 　.
15．（2021高二上·浙江开学考）已知复数 ， ，则 　 　．
16．（2021·温州模拟）已知 是虚数单位，若复数 满足 ，则 的虚部为　 　； 　 　．
四、解答题
17．（2021高一下·白城期末）已知：复数 ，其中 为虚数单位．
（1）求 及 ；
（2）若 ，求实数 ， 的值．
18．（2021高一下·杭州期中）已知是关于x的方程的一个根，其中为虚数单位．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）记复数，求复数的模．
19．（2021高一下·长沙期末）若复数 （ ），复数 ．
（1）求 ；
（2）若 ，求实数a的值；
（3）若a=2，求 ．
20．（2021高二下·普宁期中）已知复数z满足．
（1）求；
（2）在复平面内，为z的共轭复数．若和z对应的向量分别是、，其中O为坐标原点，求向量．
21．（2021高二下·蕲春期中）在①；②的实部与虚部互为相反数；③为纯虚数．这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答．
问题：已知复数 ．
注：若选择多个条件分别解答，按读一个解答计分．
（1）若________，求实数的值；
（2）若为整数，且，求在复平面内对应点的坐标．
22．（2021高二下·启东月考）设复数z的实部为正数，满足 ，且复数 在复平面上对应的点在第一、三象限的角平分线上.
（1）求复数z；
（2）若有 ， ，对任意 均有 成立，试求实数a的取值范围.
答案解析部分
1．【答案】C
【考点】复数代数形式的乘除运算；复数求模
【解析】【解答】 ，
因为复数 为纯虚数，所以 ， ，
故答案为：C.
【分析】根据复数乘除运算化简 再由复数定义即可求得。
2．【答案】C
【考点】复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】由题设， ，即 ，其虚部为-1。
故答案为：C
【分析】利用已知条件结合复数乘法运算法则，从而求出复数z，再利用复数与共轭复数的关系，从而求出复数z的共轭复数，再利用复数的虚部的定义，从而求出复数 的共轭复数 的虚部。
3．【答案】C
【考点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】 。
故答案为：C.
【分析】利用已知条件结合复数的乘除法运算法则，从而计算出 的结果。
4．【答案】D
【考点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】因为 ，所以 ，
所以复数 的虚部为-2.
故答案为：D
【分析】 根据已知条件，结合复数的乘除法法则，以及复数虚部的概念，即可得答案.
5．【答案】B
【考点】复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】由题 ，又因为 ， ，所以复数 的虚部为 。
故答案为：B
【分析】利用复数的乘除法运算法则结合虚数单位i的性质，进而求出复数z，再利用复数虚部的定义，进而求出复数z的虚部。
6．【答案】A
【考点】复数代数形式的乘除运算；复数求模
【解析】【解答】 ,
所以 ，
故答案为：A.
【分析】 利用复数代数形式的除法运算化简，然后利用模的计算公式求模．
7．【答案】C
【考点】复数代数形式的乘除运算；复数求模
【解析】【解答】 ， ， ， ，
，
故 ， ，
故答案为：C.
【分析】利用复数的运算法则，共轭复数及模的计算公式即可得出答案。
8．【答案】B
【考点】复数相等的充要条件
【解析】【解答】 ， ，解得： ，
.
故答案为：B.
【分析】 利用复数代数形式的乘除运算化简等式左侧，再由复数相等的条件列式求解．
9．【答案】A,C
【考点】复数的基本概念；复数的代数表示法及其几何意义；复数代数形式的乘除运算；复数求模
【解析】【解答】
，A正确
，B错误
，C正确
，D错误
故答案为：AC．
【分析】利用已知条件结合复数的几何意义，从而求出复数z，再利用复数z与共轭复数的关系，再结合复数加法运算法则，从而求出复数；利用已知条件结合复数乘法运算法则，从而求出复数，利用已知条件结合复数与共轭复数的关系，再结合复数乘法运算法则，从而求出复数；利用复数的乘除法运算法则结合复数求模公式，从而求出的值，进而找出正确的选项。
10．【答案】A,C,D
【考点】复数的基本概念；复数相等的充要条件；复数代数形式的乘除运算；复数代数形式的加减运算
【解析】【解答】因为 ，所以 ，所以 ，所以 ， ，
所以 为纯虚数，A符合题意；
为实数，B不正确；
，C符合题意；
，D符合题意，
故答案为：ACD.
【分析】利用已知条件结合复数的乘除法运算法则和复数相等的判断方法，得出a的值，从而求出复数z,再利用纯虚数、虚数的定义，复数与共轭复数的关系，复数的乘法运算法则，进而找出正确的选项。
11．【答案】A,C
【考点】复数代数形式的混合运算
【解析】【解答】因为，所以.
A：因为 ， ，所以 ，因此本选项正确；
B：因为 ， ，所以 ，因此本选项不正确；
C：因为 ， ，所以 ，因此本选项正确；
D：因为 ，
所以 ，因此本选项不正确，
故答案为：AC
【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的运算性质及其有关知识即可判断出正误.
12．【答案】A,D
【考点】复数代数形式的乘除运算；三角函数中的恒等变换应用；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】解：因为 ，
所以 ， ，A正确，B错误；
因为 ，
所以 ， ，C错误；
因为 ，
所以 ，
又因为 为锐角，则 ，
所以 ，
故 ，D正确．
故答案为：AD．
【分析】 利用题中给出的信息，即可得到f (x)和g (x), 从而可判断选项A, B，利用两角和差公式化简f (x)，从而得到a和b的值，即可判断选项C，利用辅助角公式化简g (x )的解析式，利用角的变换以及三角恒等变换，求解sin x，即可判断选项D.
13．【答案】5+3i
【考点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】 。
故答案为：5+3i。
【分析】利用复数的乘除法的运算法则求出复数。
14．【答案】
【考点】虚数单位i及其性质
【解析】【解答】根据已知得 ，所以 ，于是 .
故答案为：
【分析】 利用纯虚数的定义列出方程组求解即可.
15．【答案】
【考点】复数代数形式的混合运算；复数求模
【解析】【解答】解：
故答案为：
【分析】根据复数的运算法则，结合复数的求模公式直接求解即可.
16．【答案】1；2
【考点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】由 ，则
则 的虚部为1.
故答案为：1；2
【分析】先由复数的除法运算化简复数 ，可得其虚部，然后再由复数的乘法运算计算求解 。
17．【答案】（1） ，
．
（2）由 得：
，
即 ，
所以 ，
解之得 ．
【考点】复数的基本概念；复数相等的充要条件；复数代数形式的混合运算；复数求模
【解析】【分析】（1）根据复数的运算，结合复数的模求解即可；
（2）根据复数的运算，结合共轭复数以及相等复数的概念求解即可.
18．【答案】解：（Ⅰ）因为是关于x的方程的一个根，由方程复数根性质得也是方程的根.
，
，
（Ⅱ）
【考点】复数的基本概念；复数代数形式的混合运算；复数求模；一元二次方程
【解析】【分析】(1)根据一元二次方程的解法，结合复数的运算求解即可；
(2)根据复数的运算，结合复数的概念求解即可.
19．【答案】（1）解：
（2）解：∵z1+z2=1+ai+3-4i=4+（a-4）i
又∵
∴a-4=0，即a=4
（3）解：
【考点】复数代数形式的混合运算；复数求模
【解析】【分析】（1）根据复数的求模公式求解即可；
（2）根据复数的概念求解即可；
（3）根据复数的运算法则求解即可.
20．【答案】（1）解：令复数，
∵复数z满足，∴
∴，，∴，
∴
（2）解：的共轭复数
∵和对应的向量分别是、
∴，
【考点】复数的基本概念；复数的代数表示法及其几何意义；复数代数形式的混合运算；复数求模
【解析】【分析】（1）由复数的除法运算求得z,代入模长公式即可。
（2）由题意确定 、 结合 ，即可求解。
21．【答案】（1）解：若选①：
，则 ，解得 m = 3 ；
若选②：
z 的实部与虚部互为相反数，则 m 2 m 6 + m 2 9 = 0 ，
解得 m = 3 或 m = 5 2 ；
若选③：
z 为纯虚数，则 m 2 m 6 = 0 m 2 9 ≠ 0 ，解得 m = 2
（2）解：因为 | z | = 1 0 ，
所以 ( m 2 m 6 ) 2 + ( m 2 9 ) 2 = 1 0 0 ，
即 ( m 3 ) 2 ( 2 m 2 + 1 0 m + 1 3 ) = 1 0 0 ，
因为 m 为整数，
所以 ( m 3 ) 2 为平方数， 2 m 2 + 1 0 m + 1 3 为奇数，
又因为 1 0 0 = 1 0 2 × 1 或 1 0 0 = 2 2 × 2 5 ，
所以验证可得 m 3 = 2 ，即 m = 1 ，
因为 m = 1 ，所以 z = 6 8 i ，
所以 z 在复平面内对应点的坐标为 ( 6 , 8 )
【考点】复数的代数表示法及其几何意义；复数求模
【解析】【分析】（1） 若选① ，由实部大于0,且虚部等于0即可求解； 若选② ，由实部与虚部互为相反数列式求解；若选③：为纯虚数， 实部为0，虚部不等式列式求解；
（2）由 ，得，结合为整数，为平方数，为奇数， 求解m的值，进一步确定 在复平面内对应点的坐标．
22．【答案】（1）解：设
， ①，
，且在一、三象限角平分线上，
②
由①、②得 或
， ， ，
；
（2）解： ， ， ，
，
均有 成立，
∴ ，即 对 恒成立，
① 时， 恒成立，
② ， ，解得 ，
综上所述，
【考点】函数恒成立问题；复数的代数表示法及其几何意义；复数求模
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合复数求模公式，进而求出a,b的第一个方程，再利用复数的乘除法运算法则结合复数的几何意义，再结合已知条件复数 在复平面上对应的点在第一、三象限的角平分线上，进而求出a,b的第二个方程，联立方程组求出a,b的值，从而求出复数z。
（2）利用已知条件结合复数与共轭复数的关系和复数乘法运算法则，再结合复数求模公式和已知条件对任意 均有 成立，再结合分类讨论的方法，进而求出实数a的取值范围。
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