精讲精练·专项突破 第七章《复数》单元能力提升（含详细解析） (6)

精讲精练·专项突破
2021-2022学年高一下学期人教版（2019）
第七章 《复数》 单元能力提升（含详细解析）
一、单选题
1．（2022·甘肃模拟）复数(为虚数单位)的共轭复数（　　）
A． B． C． D．
2．（2021·榆林模拟）若复数z为纯虚数，且 ，则 （　　）
A． B． C．-2 D．2
3．（2021·常德模拟）已知复数 ，其中 是虚数单位，则复数 等于（　　）
A． B． C． D．
4．（2021·菏泽模拟）若复数 ，则 =（　　）
A．0 B．2 C．4 D．6
5．（2021高一下·宣城期末） 是虚数单位，则复数 （　　）
A． B． C． D．
6．（2021·潍坊模拟）已知复数 （ 为虚部单位），则 的最大值为（　　）
A．1 B． C．2 D．4
7．（2021高二下·平顶山期中）已知为虚数单位，且，复数满足，则复数对应点的轨迹方程为（　　）
A． B．
C． D．
8．（2021·千阳模拟）复数 在复平面内对应的点位于第四象限，且 ，则 （　　）
A． B． C． D．
二、多选题
9．（2021高一下·盐城期末）若复数 满足 ，复数 的共轭复数为 ，则（　　）
A．
B．
C．
D．复数z在复平面内对应的点在第一象限
10．（2021高三上·邢台月考）若复数z满足 （其中 是虚数单位），则（　　）
A．z的实部是2 B．z的虚部是
C． D．
11．（2021高二下·茂名期末）已知复数z满足 ，则（　　）
A．z的虚部为
B．z的共轭复数为
C．
D．z在复平面内对应的点位于第二象限
12．（2021高一下·徐州期末）已知复数z满足(3+4 )z=|3-4 |(其中 为虚数单位)，则（　　）
A．z的虚部为
B．复数 在复平面内对应的点位于第一象限
C．
D．当θ∈[0，2π)时，|5z-cosθ-isinθ|的最大值为6
三、填空题
13．（2021高二下·广州期中）设复数 满足 ，复数 的共轭复数记为 ，则 　 　．
14．（2021高一下·江苏期中）设复数z满足 ，则 　 　.
15．（2021·山西模拟）若 （其中i为虚数单位），则 　 　．
16．（2021高一下·滁州期中）若复数满足，则复数的共轭复数　 　.
四、解答题
17．（2021高二下·郑州期末）已知复数 ．
（1）当实数 取什么值时，复数 是纯虚数；
（2）当实数 取什么值时，复平面内表示复数 的点位于第一、三象限．
18．（2021高二下·顺德期末）已知复数 ，（ ），
（Ⅰ）若 在复平面内对应的点在虚轴的上半轴（不含原点），求复数 ；
（Ⅱ）若 ，求实数 的值．
19．（2021高一下·普宁期末）复平面内有A、B、C三点，点A对应复数是3＋i，向量 对应复数是－2－4i，向量 表示的复数是－4－i，求B点对应复数．
20．（2021高一下·宣城期末）已知复数 是关于 的方程 的一个根，复数 .
（1）求复数 ；
（2）将复数 所对应的向量 以坐标原点为中心按逆时针旋转 得到对应的复数 ，求 的值.
21．（2021高一下·盐城期末）已知复数 ( ， )，若存在实数 使得 成立.
（1）求证： 为定值；
（2）若 ，求 的取值范围.
22．（2021高一下·湛江期末）设复数 ， ，且它们在复平面上对应的点分别为 ， ， .
（1）求 ；
（2）求 .
答案解析部分
1．【答案】B
【考点】复数的基本概念；复数代数形式的混合运算
【解析】【解答】，
，
故答案为：B
【分析】首先由复数代数形式的运算性质整理，再结合共轭复数的概念即可得出答案。
2．【答案】D
【考点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】由题意，复数 ，
因为复数 为纯虚数，所以 ，解得 .
故答案为：D.
【分析】根据复数的运算法则，化简复数为，根据复数z为纯虚数，即可求解。
3．【答案】A
【考点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：因为复数 ，
所以复数 .
故答案为：A.
【分析】将 代入复数 ，利用复数的四则运算，化简计算及得结果。
4．【答案】B
【考点】复数代数形式的混合运算；复数求模
【解析】【解答】由题意可得： ，则 ，所以 ．
故答案为：B．
【分析】根据已知条件，运用复数的运算法则以及复数模的公式，即可求出答案。
5．【答案】A
【考点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解： ,
故答案为：A
【分析】根据复数的乘除运算性质化简，即可得出答案。
6．【答案】C
【考点】复数求模
【解析】【解答】由题意知： ，
∴当 时， 的最大值为2.
故答案为：C
【分析】 求出z-1，得到其模长，再结合余弦函数的性质即可求解结论．
7．【答案】C
【考点】复数的代数表示法及其几何意义；复数代数形式的乘除运算；轨迹方程
【解析】【解答】，由题意知，则复数对应点的轨迹方程为.
故答案为：C．
【分析】先求 ，再根据求轨迹方程.
8．【答案】D
【考点】复数的基本概念；复数的代数表示法及其几何意义；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：由题意得3-a<0，则a>3，
又由得a=7或a=-1，所以z=2-4i
则=
故答案为：D
【分析】根据共轭复数的定义，结合复数的运算，以及复数的几何意义求解即可
9．【答案】B,C
【考点】复数的代数表示法及其几何意义；复数代数形式的乘除运算；复数求模
【解析】【解答】由题知， ， ，
则 ，A不符合题意；
，B符合题意；
，C符合题意；
复数z对应的点为 在y轴负半轴上，D不符合题意；
故答案为：BC
【分析】 先利用复数的除法运算，求出z的代数形式，然后对四个选择逐一判断即可.
10．【答案】C,D
【考点】复数的基本概念；复数代数形式的混合运算
【解析】【解答】依题意 ，两边乘以 得 ，
所以 的实部为1，虚部为2，所以AB不符合题意.
，所以C符合题意.
，所以D符合题意.
故答案为：CD
【分析】首先由复数代数形式的运算性质整理，再结合复数模的概念即可得出答案。
11．【答案】A,B,D
【考点】复数的代数表示法及其几何意义；复数代数形式的乘除运算；复数求模
【解析】【解答】因为 ，
所以z的虚部为 ，z的共轭复数为 ，它在复平面内对应的点 位于第二象限，A、B、D符合题意； ，故C错误.
故答案为：ABD.
【分析】 直接利用复数的运算,复数的共轭运算,复数的模，复数表示的几何意义的应用判断A、B、CD的结论.
12．【答案】B,C,D
【考点】复数的代数表示法及其几何意义；复数求模
【解析】【解答】由(3+4 )z=|3-4 |得： ，
z的虚部为 ，A不正确；
，复数 在复平面内对应的点坐标为 ，它位于第一象限，B符合题意；
，C符合题意；
因 ， ，于是有复数 在复平面内对应的点的集合是以原点为圆心的单位圆，
而 ，它表示上述单位圆上的点到复数 所对应点的距离，
从而得 的最大距离为复数 所对应点到原点距离加上半径，即： ，D符合题意.
故答案为：BCD
【分析】 先化简复数z，然后对应各个选项逐个判断即可求解.
13．【答案】
【考点】复数代数形式的混合运算；复数求模
【解析】【解答】解：由题意得，则
故答案为：
【分析】根据复数的运算，结合共轭复数，以及复数的模的求法直接求解即可
14．【答案】
【考点】复数代数形式的混合运算；复数求模
【解析】【解答】设 在复平面中对应的向量为 ， 对应的向量为 ，如下图所示：
因为 ，所以 ，所以 ，
又因为 ，所以 ，
所以 ，
所以 ，又 ，
故答案为： .
【分析】 首先设出复数的代数形式，然后结合已知四则运算及复数的模长公式，即可求出答案.
15．【答案】8
【考点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】由复数 ，可得 ，
进而可得 .
故答案为：8
【分析】 直接利用复数代数形式的乘除运算化简即可．
16．【答案】2+i
【考点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】因为，则，
所以复数 的共扼复数 .
故答案为：2+i
【分析】 把已知等式变形，再利用复数代数形式的乘除运算化简，再由共扼复数的定义可得答案.
17．【答案】（1）
当复数 是纯虚数时，有 ，解得 ．
所以当实数 时，复数 是纯虚数．
（2）当表示复数 的点位于第一、三象限时，有 ，解得 或 ，
所以当实数 时，表示复数 的点位于第一、三象限．
【考点】复数的基本概念；复数的代数表示法及其几何意义；复数代数形式的混合运算
【解析】【分析】(1)根据题意由复数的概念即可计算出m的值。
(2)由复数代数形式的几何意义整理即可得到关于m的不等式，求解出m的取值范围即可。
18．【答案】（Ⅰ）由题意，得 且 =0，解得m= 3，所以 ；
（Ⅱ）因为 ，所以 或 =0，解得m = - 2或3或1.
【考点】复数的代数表示法及其几何意义；复数代数形式的混合运算
【解析】【分析】 （Ⅰ） 根据题意由复数代数形式的几何意义即可得出关于m的不等式，求解出m的取值范围即可。
（Ⅱ） 由已知条件即可得出关于m的方程，求解出m的值即可。
19．【答案】∵ 表示的复数是2＋4i， 表示的复数是4＋i，
∴ 表示的复数为(4＋i)－(2＋4i)＝2－3i，故 ＝ ＋ 对应的复数为
(3＋i)＋(2－3i)＝5－2i，∴B点对应的复数为zB＝5－2i.
【考点】复数的代数表示法及其几何意义；复数代数形式的加减运算
【解析】【分析】利用已知条件结合复数的几何意义结合复数的加减法运算法则，从而求出点B对应的复数。
20．【答案】（1）依题意可知 和 是方程 的两个根，
由韦达定理得 ，解得 ， ，所以 .
（2）由（1）得 ，则复数 对应的向量 ，所以 ，故 .
【考点】一元二次方程的解集及其根与系数的关系；复数代数形式的混合运算
【解析】【分析】 (1)由实系数一元二次方程虚根成对原理及根与系数的关系求得p与q，从而得到 ；
(2)先求出复数 ，再由共轭复数及复数的运算求解即可.
21．【答案】（1）解：因为 ， ， ， ，
所以 ， ，
由 得 （ ），
所以 ，得 ，
所以 .
（2） ， ，
，得 ，
且 ，或 ，
，
令 ，（ 且 ，或 ），
因为抛物线 的对称轴为 ，且开口向上，
所以 ，且
所以 ，且
所以 .
【考点】二次函数的性质；复数代数形式的加减运算；复数求模
【解析】【分析】 (1 )根据已知条件,运用复数的加法原则，即可证明；
(2)由于 ， ，再结合 ,可得 且 ，或 ，再结合向量模的公式，即可求解.
22．【答案】（1）解：因为 ，
所以 .
又因为 ，
所以 ， .
（2）因为 ，
所以 .
由（1）知 ，
所以 ，
所以 .
【考点】复数代数形式的乘除运算；复数代数形式的加减运算；复数求模
【解析】【分析】 (1)根据已知条件，运用复数加法的运算法则，即可求解；
(2)运用复数的乘法法则，可得 ，再结合复数模的公式,即可求解.
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